미니맥스 콘도르세트법

정치 시리즈의 일부
선거제도
주요성/농촌성 다원성 포스트 맨 처음 다원성(농성블록투표) 일반 티켓(당사자 블록 투표) 다원투표 2회전 완전투표권 다수결 (2라운드 블록투표) 순위/우선 순위 시스템 즉석 결선투표(대안투표) 조건부 투표 쿰스의 방법 콘도르셋 방법(코프랜드, 도드슨, 케메니–)영, 미니맥스, 낸슨스, 랭크 페어, 슐제, 얼터너티브 스미스) 포지셔날 투표(Borda count, Nauru/Dowdall 방법) 버클린 투표 오클라호마 경선제 우선블록투표 추기경/등급 시스템 스코어 투표 승인투표 통합승인투표 통합 경선 평소의 판단 만족도 승인 투표 다수결 스타 투표
비례 대표제 파티리스트 (열린 목록, 닫힌 목록, 로컬 목록) 최고 평균(D'Hondt, Sainte-Laguer, Huntington-Hill) 최대 잔차(Hare, Droop, Imperiali, Hagenbach-Bischoff) 순위투표의 비례적 형태 단일 양도 가능 투표(그리거리, 라이트) CPO-STV 슐제 STV 승인투표의 비례적 형식 비례승인투표 순차비례승인투표 양방향 배분법 공정 다수결 가중투표 직접 표현 대화형 표현 액체 민주주의
혼합 시스템 표현 유형별 혼성원 메이저리시 혼합회원비례 비보상 혼합 시스템 평행투표 다수결 상여금 보상 혼합 시스템 부가회원제 혼합단일투표(긍정투표이양) 전갈자리 (부정투표 이양) 혼합 투표 양도 가능 투표 얼터너티브 투표 플러스 이중 멤버 비례 농어촌비례
기타 체계 및 관련 이론 다수양도불가투표 반비례적 표현 단일 비양도 투표 제한투표 누적투표 이항 투표 이중동시투표 대리투표 위임 투표 무작위 선택(구획, 무작위 투표) 선거제도 비교 사회선택론 애로우 정리 기바르-사테르스와이트 정리 공공선택론
정치포털
v t

투표 시스템에서 Minimax Condorcet 방법(흔히 "Minimax 방법"이라고 함)은 단일 승자 선거에서 순위 투표를 사용할 때 표를 작성하고 승자를 결정하는 데 사용되는 여러 가지 Condorcet 방법 중 하나이다. 심슨-크레이머 방식, 연이은 역전 방식이라고도 한다.^{[citation needed]}

Minimax는 다른 어떤 후보보다 페어웨이즈에서 가장 큰 패배를 당한 후보를 우승자로 선정한다. 또는 다른 방법으로, "페어웨이즈 경쟁에서 지지도가 절대 [N]% 이하로 떨어지지 않는 유일한 후보"를 선택한다.

방법 설명

미니맥스 콘도르셋 방식은 다른 후보자에게 가장 높은 쌍끌이 점수가 모든 후보 중에서 가장 낮은 점수를 받은 후보를 선정한다.

형식 정의

공식적으로 ${\displaystyle \mathrm{점수}}$ ${\displaystyle (X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {score}(X,Y)}$은(는) $Y{\displaystyle }$ {\$displaystyle Y}$에$$대한 X {\$displaystyle$ X$}$의 쌍별 점수를 나타내며$$$,$ 미니맥스(승자라고도 함)가 선택한$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaysty W}$에 의해 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle W=\arg \min _{X}\left(\max _{Y}\operatorname {score}(Y,X)\right)}$

페어웨이즈 점수 변형

후보를 평등하게, 또는 모든 후보를 평준화하지 않는 것이 허용될 때, 그 규칙에 대한 세 가지 해석이 가능하다. 유권자가 모든 후보의 순위를 매겨야 할 때는 세 가지 변종이 모두 같다.

$d{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle d(X,Y)}$을 Y에 대한 X 순위를 매기는 유권자$$ 수로 한다. 변형에서는 Y에 대한 후보 X의 점수$$${\displaystyle \mathrm{score}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \operatorname {score} (X,Y)}$을(를) 다음과 같이 정의한다.

1. 유권자 수는 Y보다 X위지만, 이 점수가 X위보다 Y위보다 높은 유권자 수를 초과할 때만 그렇다. 그렇지 않다면, X 대 Y의 점수는 0이다. 이 변형은 때때로 이기는 투표라고 불린다.
   • ${\displaystyle \operatorname {score}(X,Y):={\begin{case}d(X,Y),&d(X,Y)>d(Y,X)\0,{\text{else}\end{case}}}}}}}$
2. Y 위 X인 유권자 수에서 Y인 이상 Y인 유권자 수를 뺀 것이다. 이 변형은 여백을 이용하여 부른다.
   • ${\displaystyle \operatorname {score}(X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)}$
3. 더 많은 유권자가 Y보다 X위인지, 그 반대인지에 관계없이, Y보다 X위인지 X위인지의 유권자 수는 더 많다. 이 변형은 때때로 쌍방향 반대라고 불린다.
   • ${\displaystyle \operatorname {score}(X,Y):=d(X,Y)}$

처음 두 변종 중 하나를 사용하면 "한 명의 후보가 무패가 될 때까지 가장 약한 쌍끌이 패배를 인정하라"는 식으로 이 방법을 다시 쓸 수 있다. "무패" 후보는 0점 또는 마이너스인 최대 점수를 가지고 있다.

만족 및 실패 기준

득표수나 마진을 이용한 미니맥스는 콘도르셋과 다수결 기준을 충족시키지만 스미스 기준, 상호 다수결 기준 또는 콘도르케트 패배자 기준은 충족시키지 못한다. 득표율을 사용할 경우 미니맥스는 다원성 기준도 만족한다. 미니맥스는 클론 간의 승리가 좁기 때문에 클론 기준의 독립성을 충족시킬 수 없다. 이는 미니맥스가 1위, 2위, 3위 등 3개의 클론이 좁은 패망의 주기를 형성할 수 있고, 2위 승자를 제거하는 것은 클론 기준의 독립성을 충족시킬 수 없다는 것을 의미한다.3등을 차지하여 당선되다

쌍방향의 반대변형을 사용할 경우 미니맥스도 콘도르셋 기준을 충족하지 못한다. 그러나, 동등한 지위가 허용될 때, 자신의 첫 번째 선택 후보를 다른 후보보다 낮은 순위를 자신의 순위에 올릴 동기는 결코 없다. 그것은 또한 자신의 순위에 추가적이고 낮은 선호도를 나열함으로써 선호 후보가 지는 것을 야기할 수 없다는 것을 의미하는 후기 무해한 기준을 만족시킨다.

Smith/Minimax로서 Smith 집합에 구속되었을 때, 미니맥스는 Smith 기준과 함축적으로 상호 다수, Smith가 지배하는 대안의 독립성, Condorcet 패배자 기준을 만족한다.

Markus Schulze는 위의 몇 가지 기준을 충족시키기 위해 미니맥스를 수정했다. 스미스/미니맥스에 비해 니콜라우스 티데만의 순위 쌍 방식은 클론 독립성과 관련 없는 대안의 국소 독립성을 추가로 만족시킨다.

예

Condorcet 당첨자의 예

테네시가 수도의 위치를 놓고 선거를 하고 있다고 상상해 보라. 테네시 주의 인구는 주 전역에 퍼져 있는 4대 도시를 중심으로 집중되어 있다. 이 예를 들어, 전체 유권자가 이 네 도시에 살고 있고 모든 사람들이 가능한 한 수도 근처에 살고 싶어한다고 가정해보자.

수도 후보지는 다음과 같다.

• 주 최대 도시 멤피스는 42%의 유권자를 보유하고 있지만 다른 도시와는 멀리 떨어져 있다.
• 유권자가 26%인 내슈빌, 주의 중심 가까이
• 녹스빌, 17%의 유권자
• 15%의 유권자를 확보한 채타누가가

유권자들의 선호도는 다음과 같이 나뉘게 될 것이다.

유권자의 42% (Memphis에 가깝다)	유권자의 26% (내슈빌 근처)	유권자의 15% (채터누가에 가깝다)	유권자 17% (녹스빌 근처)
멤피스 내슈빌 차타누가 녹스빌	내슈빌 차타누가 녹스빌 멤피스	차타누가 녹스빌 내슈빌 멤피스	녹스빌 차타누가 내슈빌 멤피스

쌍방향 점수의 결과는 다음과 같이 표로 작성될 것이다.

쌍방향 선택 결과

		X
		멤피스	내슈빌	차타누가	녹스빌
Y	멤피스		[X] 58% [Y] 42%	[X] 58% [Y] 42%	[X] 58% [Y] 42%
	내슈빌	[X] 42% [Y] 58%		[X] 32% [Y] 68%	[X] 32% [Y] 68%
	차타누가	[X] 42% [Y] 58%	[X] 68% [Y] 32%		[X] 17% [Y] 83%
	녹스빌	[X] 42% [Y] 58%	[X] 68% [Y] 32%	[X] 83% [Y] 17%
쌍방향 선거 결과(원-티-손실):		0-0-3	3-0-0	2-0-1	1-0-2
최악의 쌍끌이 패배(승부):		58%	0%	68%	83%
최악의 페어웨이즈 패배(패스트):		16%	−16%	36%	66%
최악의 쌍방향 반대:		58%	42%	68%	83%

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: 세 가지 대안 모두 실생활의 수도인 내슈빌이 가장 낮은 가치를 가지고 있으며, 당선자로 선출된다.

Condorcet 당첨자가 아닌 경우 예(쌍방향 반대)

다음과 같은 선호를 가진 A, B, C 후보 3명과 유권자를 가정해 보자.

유권자의 4%	유권자의 47%	유권자 43%	유권자의 6%
1. A와 C	1. A	1. C	1. B
	2. C	2. B	2. A와 C
3. B	3. B	3. A

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

쌍방향 선택 결과

		X
		A	B	C
Y	A		[X] 49% [Y] 51%	[X] 43% [Y] 47%
	B	[X] 51% [Y] 49%		[X] 94% [Y] 6%
	C	[X] 47% [Y] 43%	[X] 6% [Y] 94%
쌍방향 선거 결과(원-티-손실):		2-0-0	0-0-2	1-0-1
최악의 쌍끌이 패배(승부):		0%	94%	47%
최악의 페어웨이즈 패배(패스트):		−2%	88%	4%
최악의 쌍방향 반대:		49%	94%	47%

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: 다른 대안들이 투표와 마진을 얻음으로써, 콘도르케트 우승자 A는 미니맥스 우승자로 선언된다. 그러나, 쌍방향의 반대 대안을 사용하는 경우, C는 A와의 최악의 쌍방향 점수에 대해 강하게 반대하는 유권자가 A보다 적기 때문에 승자로 선언된다.

Condorcet 승자가 없는 예제

A, B, C, D 후보 4명을 가정해 보자. 유권자는 일부 후보를 고려하지 않을 수 있으므로(표에서 n/a를 나타냄) 해당 후보의 쌍별 점수를 고려하지 않는다.

30명의 유권자	유권자 15명	14명의 유권자	유권자 6명	유권자 4명	유권자 16명	14명의 유권자	유권자 3명
1. A	1. D	1. D	1. B	1. D	1. C	1. B	1. C
2. C	2. B	2. B	2. C	2. C	2. A와 B	2. C	2. A
3. B	3. A	3. C	3. A	3. A와 B
4. D	4. C	4. A	4. D
					n/a D	n/a A와 D	n/a B와 D

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

쌍방향 선택 결과

		X
		A	B	C	D
Y	A		[X] 35 [Y] 30	[X] 43 [Y] 45	[X] 33 [Y] 36
	B	[X] 30 [Y] 35		[X] 50 [Y] 49	[X] 33 [Y] 36
	C	[X] 45 [Y] 43	[X] 49 [Y] 50		[X] 33 [Y] 36
	D	[X] 36 [Y] 33	[X] 36 [Y] 33	[X] 36 [Y] 33
쌍방향 선거 결과(원-티-손실):		2-0-1	2-0-1	2-0-1	0-0-3
최악의 쌍끌이 패배(승부):		35	50	45	36
최악의 페어웨이즈 패배(패스트):		5	1	2	3
최악의 쌍방향 반대:		43	50	49	36

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: 세 가지 대안 각각은 또 다른 승자를 제공한다.

• 승자 대안은 A를 승자로 선택하는데, 이는 승자가 가장 큰 패배에서 35표라는 최저가치를 가지고 있기 때문이다.
• 마진 대안은 B를 승자로 선택했다. 왜냐하면 B는 그의 가장 큰 패배에서 가장 낮은 득표 차이를 가지고 있기 때문이다.
• 그리고 쌍끌이 반대자들은 콘도르셋 패배자 D를 승자로 선택한다. 왜냐하면 콘도르셋은 쌍끌이 점수에서 가장 큰 상대 중 가장 낮은 표를 가지고 있기 때문이다.

참고 항목

• Minimax – 주요 Minimax 제품
• 월드의 맥시민 모델 - 월드의 맥시민 모델
• Multiwner 투표 - Minimax Condorcet의 일부 다승자 모델에 대한 정보를 포함한다.

참조

• 레빈, 조나단, 그리고 배리 날레부프. 1995. "투표-카운팅 제도의 도입" 경제관점 저널, 9(1): 3–26.

외부 링크

• 순위 투표 방법에 대한 설명: 심슨 by Rob LeGrand
• 미니맥스 방법의 세 가지 변형을 포함하여 여러 가지 콘도르셋 방법을 지원하는 콘도르셋 클래스 PHP 라이브러리.
• 엘렉토위키: minmax