일관성 기준

만약 유권자들이 (임의적으로) 여러 부분으로 나뉘어지고 그 부분들에서 선거가 같은 결과를 얻을 때마다 전체 유권자들의 선거 또한 그 결과를 얻을 수 있다면, 투표 시스템은 일치한다. 스미스는^[1] 이것을 분리성이라고 부르고, 우달은^[2] 이것을 볼록성이라고 부른다.

순위표제는 "점수 기능인 경우만 일치한다"^[3] 즉, 포지셔닝 투표 시스템이라는 것이 입증되었다. 보르다 카운트는 이것의 한 예다.

일관성 기준의 실패는 심슨의 역설의 한 예로 볼 수 있다.

아래 케메니영에 따르면 일관성 기준을 통과하거나 통과하지 못하는 것은 단일 당선자를 선정하느냐 아니면 전체 당선자를 선정하느냐에 따라 달라질 수 있다(일부 순위 일관성이라고도 함). 사실 아래의 구체적인 예들은 sa와 다른 두 순위를 선택하여 단일 당선자의 불일치를 찾아내는 것에 의존한다.내가 종합우승을 했는데, 그건 그들이 순위 일관성에 적용되지 않는다는 뜻이야.

예

코프랜드

이 예는 코프랜드의 방법이 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호도를 가진 27명의 유권자와 함께 A, B, C, D, E 후보 5명을 가정해 보십시오.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음 코프랜드의 첫 번째 유권자 집단에 대한 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: 1차 투표 그룹의 투표로 A는 4명의 반대자 중 3명을 이길 수 있는 반면, 다른 어떤 후보도 2명 이상의 반대자를 이길 수 없다. 따라서 A는 첫 번째 유권자 그룹에 의해 Copeland 승자로 선출된다.

제2의 유권자 그룹

이제, 두 번째 유권자들의 코프랜드 승자가 결정되었다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: 두 번째 그룹의 투표만 고려한다면, 다시 말하지만, A는 네 명의 반대자 중 세 명을 이길 수 있는 반면, 다른 어떤 후보도 두 명 이상의 반대자를 상대로 이길 수 없다. 따라서 A는 두 번째 유권자 그룹에 의해 Copeland 승자로 선출된다.

모든 유권자

마침내 전체 유권자 집단의 코프랜드 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: C는 콘도르셋 우승자여서 Copeland는 C를 우승자로 선택한다.

결론

A는 첫 번째 유권자 그룹 내에서 그리고 두 번째 유권자 그룹 내에서 코프랜드의 승자다. 하지만 두 그룹이 합쳐지면 C가 코프랜드 우승자로 선출된다. 따라서 코프랜드는 일관성 기준을 통과하지 못한다.

즉석 결선투표

이 사례는 즉각적인 결선투표가 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호를 가진 후보 A, B, C와 23명의 유권자를 가정해 보자.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음 번 투표에서 첫 번째 그룹의 즉석 결선 우승자가 결정된다.

B는 2표 밖에 없고 먼저 탈락한다. 그것의 표는 A로 옮겨진다. 현재 A는 6표, C는 4표로 이긴다.

결과: A는 B가 탈락한 후 C에게 승리한다.

제2의 유권자 그룹

이제, 두 번째 유권자들의 즉각적인 결선 투표 승자가 결정되었다.

C는 가장 적은 표, 즉 3의 수를 가지고 있으며 탈락한다. C의 모든 표를 모으면서 그것으로부터 이익을 얻는다. 이제 7표면 A가 6표로 B에게 승리한다.

결과: A는 C가 탈락한 후 B에게 승리한다.

모든 유권자

마지막으로, 전체 유권자 집단의 즉각적인 결선 투표 승자가 결정된다.

C는 첫 번째 선호도가 가장 적어서 먼저 탈락하고, 표가 분산된다. 4는 B로, 3은 A로 이동한다. 따라서 B는 A의 11표와 12표로 승리한다.

결과: C가 탈락한 후 B가 A에게 승리한다.

결론

A는 첫 번째 유권자 그룹 내에서 그리고 두 번째 유권자 그룹 내에서 즉석 결선투표 승자다. 그러나 두 조가 합쳐져 B를 즉석 결선 우승자로 선출했다. 따라서 즉석 결선투표는 일관성 기준을 충족하지 못한다.

케메니영법

이 예는 케메니-이것을 보여준다.젊은 방법은 일관성 기준을 위반한다. 다음과 같은 선호를 가진 후보 A, B, C, 38명의 유권자를 가정해 보자.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

이어 케메니-영 당선자가 결정된다.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 랭킹 A > B > C가 랭킹 점수가 가장 높다. 따라서 A는 B와 C에 앞서 승리한다.

제2의 유권자 그룹

이제, 두 번째 투표 그룹의 케메니-영 승자가 결정되었다.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 랭킹 A > C > B가 랭킹 점수가 가장 높다. 따라서 A는 C와 B보다 앞서 이긴다.

모든 유권자

마침내, 케메니 영의 완전한 유권자 집단의 승자가 결정된다.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 순위 B > A > C는 순위 점수가 가장 높다. 그래서 A와 C보다 B가 먼저 이긴다.

결론

A는 1차 선거인단 내에서도, 2차 선거인단 내에서도 케메니-영 당선자다. 그러나 두 그룹이 합쳐져 B를 케메니영 우승자로 선출했다. 그래서, 케메니-젊은 방법은 일관성 기준을 충족하지 못한다.

순위 일관성

케메니-영 방식은 순위 일관성을 만족시키는 것으로, 임의로 두 부분으로 나뉘어 각 부분에서 선거가 분리되어 동일한 순위를 선택하면 전체 유권자가 그 순위를 선택하게 된다.

비공식증거

The Kemeny-Young score of a ranking ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is computed by summing up the number of pairwise comparisons on each ballot that match the ranking ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Thus, the Kemeny-Young score ${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$ for an electorate ${\dis$$playstyle V}$ can be computed by separating the electorate into disjoint subsets ${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$ (with ${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$), computing the Kemeny-Young scores for these subsets and adding it up:

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$.

이제 유권자 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$과(와)의 선거를 고려해 보십시오$.$ 일관성 기준의 전제는 유권자를 임의로 $V{\displaystyle }$= V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$2}}로 $나누고$ 각 파트에서 동일한 순위 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 선택한다$$. 즉, 각 유권자의 순위$$ $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 Kemeny-Young 점수가 다른 순위 $R{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$′ ${\$ {$R}$보다 크다는 것을 의미한다$.$

${\displaystyle {\reasoned}{\text{()II)}}}\quad \{\mathcal{R}}}}}{{V_{1}({\mathcal{R})>s_{V_{1}}({\mathcal {R})\\\text{{}().III)}}}\quad \{\mathcal{R}}}}}}{{V_{{{{\mathcal{R}}}}>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}}}}}\end{arged}}}}}}}$

이제, 전체 유권자의$$ 순위 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 케메니영 점수가 다른 모든 $순위{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ R ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle {\mathcal {R}$의 케메니영 점수보다 크다는 것을 보여줘야 한다$.$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

따라서 케메니영 방식은 전체 순위에 대해 일관성이 있다.

다수결

이 사례는 다수결의 판단이 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음 등급의 A와 B 후보 2명과 10명의 유권자를 가정해 보자.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음에서 첫 번째 유권자 집단의 다수결 승자가 결정된다.

분류된 등급은 다음과 같다.

결과: 1차 투표 집단의 투표로 A는 중위 등급이 "우수", B는 중위 등급이 "우수", B는 중위등급이 "우수"이다. 따라서, A는 첫 번째 유권자 집단에 의해 다수결 심판의 승자로 선출된다.

제2의 유권자 그룹

이제 두 번째 유권자의 다수결 승자가 결정된다.

분류된 등급은 다음과 같다.

결과: 두 번째 그룹의 투표만 고려했을 때, A의 중위 등급은 "Fair"이고, B의 중위 등급은 "Fair"이다. 따라서 A는 두 번째 유권자 집단에 의해 다수결 심판의 승자로 선출된다.

모든 유권자

마지막으로 전체 유권자 집단의 다수결 승자가 결정된다.

분류된 등급은 다음과 같다.

A와 B의 중간 등급은 모두 "Fair"이다. 동점이 있기 때문에, "Fair" 등급은 그들의 중위수가 다를 때까지 둘 다에서 제거된다. 각 투표에서 20%의 "공정" 등급을 제거한 후, 분류된 등급은 다음과 같다.

결과: 현재 A의 중위 등급은 "불량"이고 B의 중위 등급은 "공정"이다. 따라서 B는 다수결 심판의 승자로 선출된다.

결론

A는 1차 투표자 그룹 내에서 그리고 2차 투표자 그룹 내에서 다수결 승자다. 그러나 두 집단을 합치면 다수결 승자로 B가 선출된다. 그러므로 다수결은 일관성 기준을 충족하지 못한다.

미니맥스

이 예는 미니맥스 방법이 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음 선호도를 가진 43명의 유권자와 함께 4명의 후보 A, B, C, D를 가정해 보십시오.

모든 선호도는 엄격한 순위(동등한 순위는 없음)이기 때문에 세 가지 미니맥스 방법(승부표, 득표율, 득표율, 상대편) 모두 동일한 당첨자를 선출한다.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음에서 첫 번째 유권자 그룹의 미니맥스 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: 후보 B, C, D는 확실한 패배로 사이클을 형성한다. 상대적으로 3명 모두에게 밀려서 A의 가장 큰 패배는 모든 후보 중 가장 가까운 것이기 때문에 얻는 이득이다. 따라서, A는 첫 번째 유권자 그룹에 의해 미니맥스 우승자로 선출된다.

제2의 유권자 그룹

이제, 두 번째 유권자 집단의 미니맥스 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: 다시 두 번째 그룹의 투표만 고려한다면, B, C, D는 확실한 패배를 가지고 사이클을 형성하고, 그로부터 A가 이득을 얻는 것은 세 사람 모두에게 비교적 가까운 패배를 했기 때문이다. 따라서 A의 가장 큰 패배는 모든 후보 중에서 가장 가까운 것이다. 따라서 A는 두 번째 유권자 그룹에 의해 미니맥스 우승자로 선출된다.

모든 유권자

마지막으로, 전체 유권자 집단의 미니맥스 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: 다시 B, C, D가 순환을 형성한다. 하지만 이제, 그들의 상호 패배는 매우 가까워졌다. 따라서 A가 세 가지 모두 겪는 패배는 비교적 분명하다. B와 D에 비해 조금 유리한 C는 미니맥스 우승자로 선출된다.

결론

A는 첫 번째 유권자 그룹 내에서 그리고 두 번째 유권자 그룹 내에서 미니맥스 승자다. 하지만 두 그룹이 합쳐지면 미니맥스 우승자로 C가 선출된다. 따라서 미니맥스는 일관성 기준을 충족하지 못한다.

순위 쌍

이 예는 순위 쌍 방법이 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호도를 가진 39명의 유권자와 함께 세 명의 후보 A, B, C를 가정해 보십시오.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음에서 첫 번째 유권자 그룹의 순위 쌍 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

승부의 분류된 목록은 다음과 같다.

결과: B > C와 A > B는 1번(그리고 그 이후에는 C > A가 잠글 수 없으므로, 전체 순위는 A > B > C이다. 따라서, A는 첫 번째 유권자 그룹에 의해 2인 1조로 선출된다.

제2의 유권자 그룹

이제, 두 번째 유권자 그룹의 순위 쌍 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

승부의 분류된 목록은 다음과 같다.

결과: 두 번째 그룹의 투표만 참작하면 A > C와 C > B는 1위(그리고 B > A는 그 후 잠글 수 없음)로 되어 있으므로, 전체 순위는 A > C > B이다. 따라서 두 번째 유권자 그룹에 의해 A가 순위 쌍으로 선출된다.

모든 유권자

마지막으로 전체 유권자 세트의 순위 쌍 승자가 결정된다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

승부의 분류된 목록은 다음과 같다.

결과: 이제 세 쌍(A > C, B > C, B > A) 모두 사이클 없이 잠글 수 있다. 전체 순위는 B > A > C이다. 따라서 순위 쌍들은 사이클이 없기 때문에 콘도르셋 우승자인 B를 우승자로 선택한다.

결론

A는 첫 번째 유권자 그룹과 두 번째 유권자 그룹 내에서 순위 쌍을 이룬 수상자다. 그러나 두 그룹을 합치면 B가 순위 쌍 우승자로 선출된다. 따라서 순위 쌍 방법은 일관성 기준을 충족하지 못한다.

슐체법

이 예는 슐제 방법이 일관성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다시, 다음과 같은 선호도를 가진 39명의 유권자와 함께 세 명의 후보 A, B, C를 가정해보자.

이제 모든 유권자의 집합은 굵은 선에서 두 그룹으로 나뉜다. 선을 넘는 유권자들은 첫 번째 유권자 집단이고, 다른 유권자들은 두 번째 유권자 집단이다.

첫 번째 유권자 그룹

다음 슐체 승자는 유권자의 첫 번째 그룹에 결정된다.

쌍방향 환경설정은 다음과 같이 표로 작성된다.

이제 가장 강한 경로를 파악해야 하는데, 예를 들어 A > B > C 경로는 직접 경로 A > C (A의 손실이기 때문에 무효가 된다)보다 강하다.

결과: A > B, A > C가 우세하므로 전체 순위는 A > B > C이다. 따라서 A는 첫 번째 유권자 그룹에 의해 슐체 수상자로 선출된다.

제2의 유권자 그룹

이제, 슐제 당선자는 두 번째 유권자 그룹의 승자가 결정되었다.

쌍방향 환경설정은 다음과 같이 표로 작성된다.

이제 가장 강한 경로를 파악해야 하는데, 예를 들어 A > C > B 경로가 직접 경로 A > B보다 강하다.

결과: A > B, A > C > B가 우세하므로 전체 순위는 A > C > B이다. 따라서 A는 두 번째 유권자 그룹에 의해 슐체 승자로 선출된다.

모든 유권자

마침내, 슐츠가 전체 유권자 집단의 승자가 결정된다.

쌍방향 환경설정은 다음과 같이 표로 작성된다.

이제 가장 강력한 경로를 파악해야 한다.

결과: A > C, B > A, B > C가 우세하므로 전체 순위는 B > A > C이다. 그래서 슐제는 B를 우승자로 선택한다. 사실 B도 콘도르셋 우승자다.

결론

A는 첫 번째 유권자 그룹 내에서 그리고 두 번째 유권자 그룹 내에서 슐체 승자다. 그러나 두 집단을 합치면 B가 슐체 우승자로 선출된다. 따라서 슐제 방법은 일관성 기준을 충족하지 못한다.

스타 투표

참조

1. ^John H Smith, "변수 유권자와 선호의 분류", Econometrica, Vol. 41 (1973) 페이지 1027–1041.
2. ^ D. R. 우달, "우선 선거 규칙의 속성", 투표 문제, 이슈 3 (1994년 12월), 페이지 8–15.
3. ^ H. P. Young, "사회적 선택 채점 기능", SIAM Journal on Applied Mathics Vol. 28, No. 4(1975), 페이지 824–838.