코프랜드의 방법

Copeland's method
정치 시리즈의 일부
선거제도
Ballot box
주요성/농촌성
  • 다원투표
비례 대표제
혼합 시스템
  • 표현 유형별
  • 비보상 혼합 시스템
  • 보상 혼합 시스템
기타 체계 및 관련 이론
A coloured voting box.svg 정치포털

코플랜드의 방식은 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 2인 1조 원, 3인 1조 원, 3인 1조이 방법은 긴 역사를 가지고 있다.

  • 라몬 렐은 1299년에 이 시스템을 기술하였으므로, 때때로 "롤의 방법"이라고 일컬어지기도 한다.
  • 드 콘도르셋 후작은 1780년대에 비슷한 제도를 설명했기 때문에 그 방법을 '콘도르셋의 방법'이라고 할 수 있었지만, 그 대신 콘도르셋의 승자를 선택하는 다른 시스템들이 뒤이어 고안되었다.
  • 아서 허버트 코프랜드(Arthur Herbert Copeland)는 1950년대에 이 제도를 기술했기 때문에 "코프랜드의 방법"[1]이라고 자주 불려왔다.

각 유권자는 선호도 순으로 후보 순위를 매겨야 한다.A 후보는 A보다 B보다 A를 선호하는 유권자가 많으면 B 후보보다 다수 선호도가 높고, A보다는 B를 선호하는 유권자가 많으면 B 후보보다 선호도가 높다고 한다.코프랜드 점수는 자신이 다수당 선호도를 가진 다른 후보의 수에 선호 동점이 있는 후보 수의 절반을 더한 것이다.코프랜드의 방법에 따른 선거의 승자는 코프랜드 점수가 가장 높은 후보인데, 콘도르셋의 방식에서는 n이 후보수인 n - 1의 가능한 최대 점수를 얻어야 이 후보가 승리한다.따라서 이 시스템 하에서의 승리는 콘도르셋 기준을 만족시키는 것이다.[2]

콘도르셋 당첨자 기준을 만족하는 투표 방법은 때때로 "콘도르셋 방법"으로 언급될 수 있다.콘도르케트 수상자 기준을 충족하는 다른 방법으로는 케메니-가 있다.영 메서드, 슐체 메서드, 미니맥스.

역사

코프랜드의 방법은 1299년 논문 아르스 오르페니스에서 라몬 렐이 고안했고 15세기[3] 쿠사의 니콜라스가 토론했으며 18세기에는 콘도르셋 후작(그와 관련된 기준에 주목했다)이 토론했다.그러나 1951년 강연에서 독자적으로 주창했던 아서 허버트 코프랜드의 이름을 따서 자주 붙여진다.[1]

투표 메커니즘

투표하다

Preferential ballot.svg

이 입력은 다른 순위 투표 시스템에 대한 입력과 같다. 각 투표자는 동점이 허용되는 후보(엄격한 취약 순서)에 대해 순서 선호 목록을 제공해야 한다.

이는 각 유권자에게 가장 선호하는 후보에 대해 "1"을, 두 번째 선호도에 대해 "2"를 쓸 수 있는 후보자 목록을 제공함으로써 이루어질 수 있다.일부 후보의 순위를 공백으로 두는 유권자는 그들 사이에 무관심하지만 그들보다 모든 순위 후보를 선호하는 것으로 추정된다.

연산

결과 행렬 r은 다음과 같이 구성된다:[4] r은 다음과ij 같다.

  • 만약 유권자들이 엄격하게 후보 j보다 후보 i를 선호한다면 i보다 j를 선호한다.
  • 숫자가 같을 경우 1/2
  • 많은 유권자들이 j보다 j를 선호한다면 j보다 더 많은 유권자가 j를 선호한다.

이를 "1/"라고 할 수 있다.1⁄2/0" 방법(승점, 동점, 패점 각각 1자리 숫자).

관례상 r은ii 0이다.

Copeland 점수는 r의ij 합이다.n - 1(여기서 n은 후보 수)의 점수를 가진 후보가 있다면, 이 후보는 (필요적으로 독특한) 콘도르셋과 코프랜드의 우승자다.그렇지 않으면 콘도르셋 방법은 결정을 내리지 않으며 가장 높은 점수를 받은 후보가 코프랜드 우승자(단, 독특하지는 않을 수 있음)이다.

결과 매트릭스를 구성하는 대안(및 동등한) 방법은 유권자가 i보다 후보 i를 엄격히 선호할 경우 1로ij, 숫자가 같을 경우 0으로, j보다 j를 선호할 경우 -1로 하는 것이다.이 경우 행렬 r은 비대칭이다.

묶인 선호도

앞에서 설명한 방법을 "1/1⁄2/0"이라고 부르기도 한다.렐 자신도 반반씩의 방법을 내놓아, 두 후보 모두 동등한 지지를 받은 후보가 다른 후보를 이긴 것처럼 똑같이 신용을 얻도록 했다.[5]

유권자 수가 증가함에 따라 선호 관계는 점점 더 어려워진다.

스포츠 경기에서 사용

코프랜드와 관련된 방법은 보통 라운드 로빈 토너먼트에서 사용된다.일반적으로 각 선수 쌍이 서로 동일한 수의 경기를 치르는 것으로 가정한다. r은ij 선수 j에 승리한 선수와 그들 사이의 무승부 횟수의 절반을 더한 것이다.

그것은 정확히 19세기 중반에 국제 체스에서 채택되었다.[6]그것은 처음에 1/0/0 시스템 사용을 고려했던 잉글랜드 풋볼 리그의 첫 번째 시즌 (1888–1889)에 채택되었다.편의상, 즉 시스템은 1/1/0이 아니라 1/2/0으로 작성되었다.

스포츠 용도는 객관적 진실에 대한 강조가 덜한 채 채 채점제가 경기 규칙 중 하나로 보인다는 점에서 정치와 다르다.이러한 이유로 3/1/0 점수를 사용한 수정된 Copeland 시스템이 일반적으로 채택된다.

(보르다 카운트는 스포츠 대회와도 유사하다.코프랜드의 방식은 각 한 쌍의 선수가 한 경기를 치르는 토너먼트와 유사하며, 보다 카운트는 완성된 투표용지가 한 쌍의 모든 선수들 간의 경기 결과를 결정하는 토너먼트와 유사하다.)

이론적 근거

코프랜드의 방법에 의해 결정되는 많은 경우에서 승자는 콘도르셋 기준을 만족하는 유일한 후보자다. 이 경우, 그 기준에 대한 주장(강력하지만 보편적으로 받아들여지지[7] 않음)은 코프랜드의 방법에 동일하게 적용된다.

콘도르케트 우승자가 없을 때 코프랜드의 방법은 단순한 덧셈에 의한 선호도를 결합하여 콘도르케트 방식의 자연적인 연장에 의한 결정을 추구한다.이에 대한 정당성은 어떤 논리적인 주장보다 직관적인 호소력에 더 있다.

보르다 카운트는 선호도를 더욱 돋보이게 하는 또 다른 방법이다.눈에 띄는 차이점은 유권자가 한 후보를 다른 후보보다 선호한다는 것이 보르다 제도에서 무게감이 있다는 것인데, 보르다 제도에서는 이들 후보 사이에 순위가 매겨질수록 늘어난다.보르다 카운트의 관점에서 볼 때, 간섭하는 후보의 수가 선호의 강도를 나타내는 것이라는 주장이고, 반론은 어느 후보가 선거에 나섰는지에 따라 우려되는 정도에 달려 있다는 것이다.

파르타 다스굽타와 에릭 마스탱은 유명한 저널에서 코프랜드의 방법을 정당화하려고 노력했는데, 여기서 그들은 그것을 보르다 카운트 및 복수 투표와 비교한다.[8]그들의 주장은 콘도르셋 기준의 장점에 따라 결정되며, 스펙트럼에 놓여 있는 의견에 특히 주의를 기울인다.코프랜드의 방법을 첫 번째 사례에서 사용한 다음, 동점자가 없는 선거를 결정하는 것은 콘도르셋 방법에 대한 "아마도 가장 간단한 수정"으로 제시된다.

동점 결과

다른 투표 방식과 마찬가지로, 코프랜드도 두 후보가 같은 득표수를 얻으면 동점 결과를 낼 수 있지만, 대부분의 방식과 달리, 유권자가 커질수록 사라지지 않는 대의명분과의 연계를 초래할 수도 있다.이는 다음 예에서 예시한 바와 같이 투표 선호도에 콘도르셋 주기가 있을 때마다 발생할 수 있다.

에이블, 베이커, 찰리, 드러먼드 등 4명의 후보가 있고, 그 중 2명은 A-B-C-D, 2명은 B-C-D, 1명은 D-A-B-C로 투표한다고 가정해 보자.후보 쌍 간의 결과는 아래 표의 주요 부분에 표시되며, 추가 컬럼에서 첫 번째 후보의 코프랜드 점수가 표시된다.

두 번째
첫 번째
 A B C D 점수를 매기다
A — 3:2 3:2 2:3 2
B 2:3 — 5:0 4:1 2
C 2:3 0:5 — 4:1 1
D 3:2 1:4 1:4 — 1

콘도르케트 기준을 만족하는 후보는 없으며, A와 B 사이에 코프랜드가 결부되어 있다.100배 이상의 유권자가 있었지만 (표본 추출 변동에 따라) 거의 동일한 비율로 투표했다면, 투표 수는 증가하지만 코프랜드 점수는 그대로 유지될 것이다. 예를 들어, 'A' 행은 다음과 같이 읽힐 수 있다.

A — 317:183 296:204 212:288 2

특히 코프랜드의 방법의 주요 목적은 콘도르셋 기준을 만족하는 후보가 없을 경우 우승자를 배출하는 것이기 때문에 유착의 위험성이 특히 우려된다.리처드 달링턴에 의해 수행된 시뮬레이션은 최대 10명의 지원자가 있는 분야의 경우 절반도 안 되는 시간에 이 과제에 성공할 것이라는 것을 암시한다.[9]

일반적으로 유권자가 스펙트럼을 따라 선호도에 따라 투표하는 경우, 중간 투표자 정리는 콘도르셋 주기의 부재를 보장한다.따라서 그러한 순환은 유권자의 선호도가 스펙트럼에 따라 결정되지 않거나 유권자가 선호도에 따라 투표하지 않기 때문에(예: 전술적 이유 때문에) 발생할 수 있다.

니콜라우스 티드먼과 플로렌스 플래스먼은 보고된 선거 선호도에 대한 대규모 연구를 실시했다.[10]그들은 이번 재보선에서 상당한 수의 주기를 발견했지만, 그들이 전적으로 또는 대부분 유권자들의 수가 적은 데 기인할 수 있다고 말했다.이들은 "유권자가 많은 선거에서는 투표 주기가 매우 드물게 발생할 것"이라고 추정할 수 있는 자료와 일치한다고 결론지었다.

제안된 타이 브레이크

순간유출(IRV), 미니맥스, 보르다 카운트는 자연스러운 동점골이다.처음 두 가지는 이러한 용도에 대해 자주 주장되지는 않지만, 유사한 고려사항이 적용되는 스미스의 방법과 관련하여 논의되기도 한다.

Dasgupta와 Maskin은 Copeland tie-break로 보르다 카운트를 제안했다: 이것은 Dasgupta-Maskin 방법으로 알려져 있다.[11]이전에는 'OBO'(=1대 1) 규칙이라는 이름으로 피겨 스케이팅에 사용했었다.[5]던컨 블랙은 콘도르셋 기준과 함께 보르다 타이브레이크를 사용했는데, 이것이 블랙의 방법이다.

대안들은 위의 '어블베이커' 예에서 설명될 수 있는데, 에이블과 베이커는 코프랜드의 공동 우승자들이다.찰리와 드러먼드는 탈락해 투표용지가 A-B 3개, B-A 2개로 줄었다.어떤 동점자라도 Ability를 선출할 것이다.[12]

특성.

Copeland의 방법은 많은 표준 바람직한 특성을 가지고 있다(아래 표 참조).특히 콘도르셋 기준(즉, 2진표에서 각 경쟁자를 상대로 이길 후보가 있다면, 이 후보가 승자다.Copeland 방법은 시야가 스펙트럼을 따라 놓여 있다면, 중간 투표자가 선호하는 후보가 될 것이라는 중간 투표자 정리를 만족시키는 것이다.

코프랜드의 방법과 스포츠 토너먼트의 유사성은 (빈센트 멀린에 의해) 다른 콘도르셋 알고리즘보다 유권자들이 더 받아들일 수 있는 요소로 진전되었다.[13]

다른 시스템과의 비교

선호선거제도 비교
시스템 모노슈토닉 콘도르케트 우승자 불가항력 콘도르케트 루저 다수결 패자 상호 과반수 스미스 ISDA 리아 클론의 독립성 반전대칭 참여, 일관성 후기 무해 나중-노-도움말 다항식 시간 확인가능성
슐제 네 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
순위 쌍 네 네 네 네 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
티데만의 대안 아니요. 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
케메니-영 네 네 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네
코프랜드 네 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요.
난슨 아니요. 네 네 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
블랙 네 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
즉석 결선투표 아니요. 아니요. 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 네 네 네 네
스미스/IRV 아니요. 네 네 네 네 네 네 네 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
보르다 네 아니요. 아니요. 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 아니요. 네 네 네
볼드윈 아니요. 네 네 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
버클린 네 아니요. 네 아니요. 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 네
다원성 네 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 네 네 네
조건부 투표 아니요. 아니요. 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 네 네
쿰스[14] 아니요. 아니요. 네 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
미니맥스 네 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네
반농림성[14] 네 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 네 네
스리랑카 우발투표 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 네 네
보충투표 아니요. 아니요. 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네 네 네 네
도그슨[14] 아니요. 네 네 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 아니요. 네

코프랜드 방법의 예

Condorcet 당첨자의 예

Tennessee and its four major cities: Memphis in the south-west; Nashville in the centre, Chattanooga in the south, and Knoxville in the east

테네시가 수도의 위치를 놓고 선거를 하고 있다고 상상해 보라.테네시 주의 인구는 주 전역에 퍼져 있는 4대 도시를 중심으로 집중되어 있다.이 예를 들어, 전체 유권자가 이 네 도시에 살고 있고 모든 사람들이 가능한 한 수도 근처에 살고 싶어한다고 가정해보자.

수도 후보지는 다음과 같다.

  • 주 최대 도시 멤피스는 42%의 유권자를 보유하고 있지만 다른 도시와는 멀리 떨어져 있다.
  • 유권자가 26%인 내슈빌, 주의 중심 가까이
  • 녹스빌, 17%의 유권자
  • 15%의 유권자를 확보한 채타누가가

유권자들의 선호도는 다음과 같이 나뉘게 될 것이다.

유권자의 42%
(Memphis에 가깝다) 		유권자의 26%
(내슈빌 근처) 		유권자의 15%
(채터누가에 가깝다) 		유권자 17%
(녹스빌 근처)
  1. 멤피스
  2. 내슈빌
  3. 차타누가
  4. 녹스빌
  1. 내슈빌
  2. 차타누가
  3. 녹스빌
  4. 멤피스
  1. 차타누가
  2. 녹스빌
  3. 내슈빌
  4. 멤피스
  1. 녹스빌
  2. 차타누가
  3. 내슈빌
  4. 멤피스

콘도르셋의 우승자를 찾기 위해서는 모든 후보가 일련의 가상 일대일 대결에서 다른 모든 후보와 대결해야 한다.각각의 쌍에서, 각 투표자들은 물리적으로 그들의 위치와 가장 가까운 도시를 선택할 것이다.각 페어링에서 승자는 다수의 유권자가 선호하는 후보가 된다.가능한 모든 쌍에 대한 결과가 발견되면 다음과 같다.

비교 결과 위너
멤피스 vs 내슈빌 42 v58 내슈빌
멤피스 vs 녹스빌 42 v58 녹스빌
멤피스 vs 채타누가 42 v58 차타누가
내슈빌 vs 녹스빌 68 v 32 내슈빌
내슈빌 vs 채터누가 68 v 32 내슈빌
녹스빌 vs 채타누가 17 v83년 17 v 83 차타누가

각 후보의 승패는 다음과 같다.

후보 이김. 손실 그물 r
멤피스 0 3 −3 0 0 0 0
내슈빌 3 0 3 1 0 1 1
녹스빌 1 2 −1 1 0 0 0
차타누가 2 1 1 1 0 1 0

내슈빌은 무패의 콘도르셋 우승자다.1/0/-1 방법에 따른 코프랜드 점수는 내슈빌이 최대화한 순승 수다.유권자들이 한 쌍의 후보자들 사이에서 이런저런 선호도를 나타냈기 때문에 1/+1/2/0 방식의 점수는 내슈빌이 마찬가지로 극대화시킨 승수일 뿐이다.이 채점 시스템의 r 매트릭스는 마지막 열에 표시된다.

Condorcet 승자가 없는 예제

5명의 후보가 1석을 놓고 경쟁하는 선거에서는, 순위 투표 방식(4종목 100표)으로 다음과 같은 표를 던졌다.

31: A > E > C > D > B 30:B > A > E 29: C > D > B 10: D > A > E

이 예에서는 동점 표가 있다. 예를 들어, 10%의 유권자가 자신의 순위에서 B나 C에게 어떤 직위도 부여하지 않았다. 따라서 그들은 D, A, E 이하의 순위를 매기는 동안 이 후보들을 서로 동점 처리한 것으로 간주된다.

10가지 가능한 후보 쌍별 비교 결과는 다음과 같다.

비교 결과 위너 비교 결과 위너
A v B 41 v 59 B B v D 30 v 70 D
A v C 71 v 29 A B v E 59 v41 B
A v D 61 v 39 A C v D 60 v 10 C
A v E 71 v 0 A C v E 29 v71 E
B v C 30 v 60 C D v E 39 대 61 E

각 후보의 승패는 다음과 같다.

후보 이김. 손실 그물 r
A 3 1 2 0 0 1 1 1
B 2 2 0 1 0 0 0 1
C 2 2 0 0 1 0 1 0
D 1 3 −2 0 1 0 0 0
E 2 2 0 0 0 1 1 0

콘도르케트 수상자(쌍끌이 비교에서 다른 모든 후보를 이기는 후보)는 존재하지 않는다.A 후보는 코프랜드의 승자다.다시 말하지만 유권자들이 선호하지 않는 후보는 한 쌍도 없다.

다른 방법의 표 작성을 위해 사용

코프랜드의 방식은 점수별 후보 순서가 집계되고 계산이 간단하기 때문에 전체 순서가 산출되지 않는 다른 투표 방식과 연계해 후보 정렬 목록을 작성하는데 유용한 경우가 많다.예를 들어, 슐츠와 랭크된 페어 방법은 후보들에 대한 전이적 부분 순서를 생성하는데, 일반적으로 단일 우승자를 배출하지만, 2위를 표로 작성하는 독특한 방법은 아니다.각각의 방법의 부분순서에 따라 코프랜드의 방법을 적용하면 방법의 부분순서와 호환이 보장되는 전체 순서(위상순서)가 산출되며, 인접행렬에 의해 부분순서가 주어졌을 때 깊이우선 검색보다 간단하다.

보다 일반적으로 Copeland 점수는 S의 모든 후보가 S가 아닌 모든 후보를 이길 수 있는 후보 S의 하위 집합이 있다면, Copeland 점수가 above 이상인 모든 후보가 S에 있는 반면 Copeland 점수가 θ 이하인 모든 후보가 S에 있는 것과 같은 임계값 θ이 존재한다는 유용한 속성을 가지고 있다.이로써 코프랜드 점수는 스미스 세트나 우세한 상호 3세트와 같이 관심 있을 수 있는 후보군의 다양한 하위 세트를 찾아내는 데 실용적이다.

외부 링크

참고 항목

참조

  1. ^ a b Copeland, Arthur Herbert (1951), A 'reasonable' social welfare function, Seminar on Mathematics in Social Sciences, University of Michigan (발표)
  2. ^ Pomerol, Jean-Charles; Sergio Barba-Romero (2000). Multicriterion decision in management: principles and practice. Springer. p. 122. ISBN 0-7923-7756-7.
  3. ^ 조지 G. 스즈피로 "Numbers Rule:민주주의의 베싱 수학, 플라톤에서 현재에 이르기까지"(2010년)
  4. ^ 코프랜드 메서드.https://www.jstor.org/stable/25054952?seq=1
  5. ^ a b 발린스키, 미셸, 리다 라라키 "판사:투표하지 마!"(2014), esp. 각주 4.
  6. ^ 체스 토너먼트의 채점 시스템.[unreliable source?]
  7. ^ 에릭 파쿠이트, "투표 방법", 스탠포드 철학 백과사전 (Fall 2019 Edition), 에드워드 N. 잘타 (edd)
  8. ^ P. Dasgupta와 E.마스킨, "모든 사람 중에서 가장 공정한 투표"(2004)
  9. ^ R. B. 달링턴, "미니맥스는 결국 최고의 선거 제도다" (2016년)
  10. ^ T. N. Tideman과 F.Plassman, "2012년 실제 선거에서 투표-캐스팅의 결과 모델링"
  11. ^ P. Dasgupta와 E.마스킨, "모든 사람 중에서 가장 공정한 투표"(2004)그들의 방법의 사양은 97페이지에 있다. 여기서 그들은 "만약 어느 누구도 모든 상대에게 과반수를 얻지 못한다면, 정면 비교에서 가장 많은 상대를 이긴 후보 중에서 가장 높은 순위 점수를 가진 후보를 우승자로 선택하라"고 썼다.
  12. ^ 타이브레이크를 적용하는 대안적인 방법은 보르다 카운트(이 경우 8,11,6,5)를 제안한다. 보르다 카운트는 후보별 점수(이 경우 8,11,6,5)를 계산하여 보르다 점수가 가장 높은 코프랜드 우승자를 선출하는 것이다. 이 경우 베이커가 될 것이다.이는 보르다 승자가 코프랜드 승자의 세트 내에 있지 않을 수 있다는 단점이 있으며, 관련 보르다 승자가 선출되지 않은 상태에서 보르다 카운트가 최종 결정자였다면 결과를 위임하는 것으로 볼 수도 있다.
  13. ^ J.F.라일리어 "그리고 패자는...복수 투표(2012년).
  14. ^ a b c Anti-plurality, 쿰스와 도지슨:동등하게 상장되지 않은 대안의 가능한 순위 apportioning에 의해;예를 들어, 투표 한 을 절단한 선호도를 받는 경우이고, B=C12{\displaystyle{\tfrac{1}{2}로}}한 을 계산된다;B.C와 12{\displaystyle{\tfrac{1}{2}}}<>를 사용하여 가정 된다면 C>b.만약 이러한 방법이 아닌 것으로 가정한다.잘린 기본 설정을 수신하면 나중에 해를 끼치지 않고 도움말을 사용할 수 없다.

메모들

  1. E Stensholt, "AV에서의 비모노토닉성"; 투표 문제; 이슈 15, 2002년 6월 (온라인)
  2. V.R. 멀린과 D.G. 사리 "코플랜드 메서드.II. 조작, 단조, 역설"; 경제 이론 저널; 제72권, 제1호; 1997년 1월; 148–172.
  3. D.G. 사리와 V.R.멀린 "코프랜드 메서드.I. 관계와 사전"; 경제 이론; Vol. 8, No. l; 1996년 6월; 51–76.