반선형 지도

수학에서 $f:V\to W$ f : $f:V\to W$ → $f:V\to W$ ${\displaystyle$ f $:$ 두 개의 복잡한 벡터 공간 사이의 $f:V\to W$ $V\to W}$ 는 다음과 같은 경우 반선형 또는 결합선형이라고 한다.

{\requiredat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&\qquad {\text{\cHB(sx)&}={\coverline{s}f(x)&\qquad{}}}}}}\\\end{liged}}}}}

모든

벡터

x,y\in V

, y

x,y\in V

V

x,y\in V

및

x,y\in V

모든 스칼라

s

,

{\displaystyle

s

}

에 대해 고정(hold

s,

{\overline {s}}

여기서

{\overline {s}}

"{\

displaystyle

s

}는

s .

{\

displaysty

s}

의 복잡한 결합을

\overline {s}

나타낸다

.

반선형 지도는 선형 지도와 대조적으로 나타나는데, 이는 결합 균형이 아닌 동질의 부가 지도다.벡터 공간이 실제인 경우 반선형성은 선형성과 동일하다.

반선형 지도는 시간 역전의 연구에서는 양자역학, 스핀러 미적분학에서 발생하는데, 여기서 기본 벡터 위에 막대들을 교체하고 지수 위에 점으로 기하학적 물체의 구성요소를 교체하는 것이 관례다.스칼라 값이 매겨진 반선형 지도는 복잡한 내부 제품과 힐버트 공간을 다룰 때 종종 발생한다.

정의 및 특성화

함수는 첨가물과 결합이 균일하면 반선형 또는 결합선형이라고 한다.벡터 공간 $V$ $V$ 의 반선형 기능은 $V$ 스칼라 값 반선형 맵이다.

함수 $f$ $f$ 을(를) 다음과 같은 경우 가법이라고 한다 $f$ .

모든 벡터에 대해 {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\properties {\text{}

만약의 경우에 그것은 conjate 균질하다고 불리우는 반면에.

f(ax)={\overline {a}f(x)\cHB(모든 벡터){}x{\text} 및 모든 스칼라 }a.

이와 대조적으로, 선형 지도는 가법적이고 동질적인 함수인데,

f

서 f

{\displaystyle

f

}

은 다음과

f

같은 경우 동종이라고 한다.

모든 벡터에 대해 {\displaystyle f(ax)=af(x)\text{\text{} 및 모든 스칼라 }a.}

반선형 지도 $f:V\to W$ : $f:V\to W$ → W ${\displaystyle f:$ $V\to W}$ 은(는) 선형 지도 ${\overline {f}}:V\to {\overline {W}}$ V → W.{\ $displaystyle$ $V$ $V$ 에서 ${\overline {f}}:V\to {\overline {W}}$ 복합 $V$ 결합 벡터 공간 ${\overline {W}}.$ 까지 ${\displaystyle {W}($ 으 ${\overline {W}}.$ 로 V $\to {\$ $overline$ ${W}.$ $}$

예

반선형 이중지도

1등급의 $V$ 벡터 공간 V $V$ 을(를) 감안할 때, 우리는 반선형 지도인 반선형 이중 지도를 구성할 수 있다.

l:V\to \mathb {C}

x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}

x_{1}+iy_{1}

1

x_{1}+iy_{1}

+ i

x_{1}+iy_{1}

x_{1}+iy_{1}

{\

}{1

}:{

1},

x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}

1

x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}

x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}

{\

에

x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}

전송

{\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}mapsto a_

a_{1},b_{1}.

고정된

a_{1},b_{1}.

a 1,

a_{1},b_{1}.

1

a_{1},b_{1}.

.

a_{1},b_{1}.

표준 기준 e 1,

e_{1},\ldots ,e_{n}

{\

displaystyle e_{1}, 각

표준 기준 요소를 다음과 같이 적는 유한 치수 복합 벡터 공간으로 확장할 수 있다

a_{1},b_{1}.

.

e_{k}=x_{k}+iy_{k}}

\mathbb {C}

C

{\

에 대한 비선형 복합 맵이 형식이 될 것이다

\mathbb {C}

.

\sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}}}}}}}}}}}{k}y_{k}}}}}}}}}}}

a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .

,

a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .

a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .

a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .

a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .

.

a_{k},b_{k}\in \mathb {R} .

실제 이중성을 갖는 반선형 이중의 이형성

복합 벡터 공간 $V$ $V$ 의 반선형 이중^[1]^{pg 36}

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathb {C}}}}}}(V,\mathb {C})

V

,

V,

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

V,

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

, R

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

)

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

.

{\text{

의 기본 리얼 벡터 공간의 실제 이중과 이형성이기 때문에 특별한 예다.

홈}_{\mathb {R}}(V,\mathb {R} )}

이것은

{\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).

지도에서 반선형 지도를 보내면서 주어진다.

\displaystyle \ell :V\to \mathb {C}}

로

\operatorname {Im}(\ell ):V\to \mathb {R}

다른 방향에는 실제 이중 벡터를 보내는 역 지도가 있다.

[\displaystyle \lambda:V\to \mathb {R} }

로

\displaystyle \ell(v)=-\boda(iv)+i\boda(v)}

원하는 지도를 주는 것.

특성.

두 개의 반선형 지도가 합쳐진 것은 선형 지도다.반선형 지도의 등급은 반선형 지도의 등급을 일반화한다.

반이중공간

벡터 스페이스 $X$ $X$ 에 있는 모든 반선형 형태의 벡터 공간을 $X.$ 의 대수적 반이중 $공간$ 이라고 부른다 $X$ $.$ [\ $displaystyle$ X $}$ 만약 X ${\displaystyle$ X}이 위상학적 벡터 공간이라면 $X.$ $X$ , $X$ , ${\displaystyty$ X $,}$ 에 $X,$ 있는 모든 연속 반선 기능의 벡터 ${\overline {X}}^{\prime },$ 은 ${\overline {X}}^{\prime },$ X 공간이다 ${\overline {X}}^{\prime },$ ${\overline{X}^{\prime}}$ 을(를) 연속적인 반듀얼 공간 또는 단순히 $X$ $X$ 의 $X$ ^[2] 반듀얼 공간이라고 한다 ${\overline {X}}^{\prime },$ .

When $H$ is a normed space then the canonical norm on the (continuous) anti-dual space ${\overline {X}}^{\prime },$ denoted by $\ f\ _{{\overline {X}}^{\prime }},$ is defined by using this same equation:^[2]

\ \f\{\overline{X}^{\\premy}~:=~\suppy_{\leq 1,x\in X}f(x) \quad {\text{{{}}}{\overline}}}}

$이$ 공식은 X, $X,$ 의 $X^{\prime }$ 연속 이중 공간 $X^{\prime }$ $′$ {\ $displaystyle X^{\prime }$ 에 대한 이중 표준 공식과 동일하며, 이 $X,$ 공식은 다음과 같이^[2] 정의된다.

\f\{X^{\prime }~:=~\super_{\leq 1,x\in X}f(x) \quad {\text{{{} 매 }f\in X^{\preme}}

이중과 반이중 사이의 표준 등분법

기능적 $f$ $f$ 의 ${\overline {f}}$ 복잡한 ${\overline {f}}$ f ${\$ 은(는) $x\in \operatorname {domain} f$ domain $x\in \operatorname {domain} f$ $x\in \operatorname {domain} f$ $x\in \operatorname {domain} f$ $x\in \operatorname {domain$ f}을(는 ${\overline {f(x)}}.$ f ${\overline {f(x)}}.$ ( )로 $x\in \operatorname {domain} f$ 전송하여 정의된다 $f$ ${\overline {f(x)}}.$ $.$ {\ $displaystyle$ {\{ $f(x)}.$

\ f\ _{X^{\prime }}~=~\left\ {\overline {f}}\right\ _{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\ {\overline {g}}\right\ _{X^{\prime }}~=~\ g\ _{{\overline {X}}^{\prime }}

f\in X^{\prime }

f\in X^{\prime }

f\in X^{\prime }

X

f\in X^{\prime }

{\

및

f\in X^{\prime }

g\in {\overline {X}}^{\prime }.

g

g\in {\overline {X}}^{\prime }.

g\in {\overline {X}}^{\prime }.

의

g\in {\overline {X}}^{\prime }.

g\in {\overline {X}^{\prime}}}}

이

g\in {\overline {X}}^{\prime }.

(가) 정의한 표준 반선 편향 편향에 대해 정확히 다음과 같이 표시된다.

\operatorname {Cong} ~:~X^{\premy }\\overline {X}^{\premy }\quad {\text{ 여기서 }\quad \operatorname {Cong}(f):={\overline{f}

그

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

-

:

:

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

의

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

→ → X

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

{

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

\

displaystyle \operatorname {Cong}^{-1}:~{\overline{X}^{\prime}}{\prime}}}}

은

\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }

반선형 등각이며 결과적으로 동형이다.

If $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ then $X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }$ and this canonical map $\operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }$ reduces down to the identity map.

내부 제품 공간

$X$ $X$ 이(가) 내부 제품 공간인 $X$ 경우, $X^{\prime }$ $X^{\prime }$ ${\$ 과 X ${\overline {X}}^{\prime }$ ${\$ 의 표준 규범 모두 평행사변형 법칙을 충족하며 ${\overline {X}}^{\prime }$ , 이는 양극성 정체성을 $X^{\prime }$ 하여 X $X^{\prime }$ ${\$ 에 표준 내제품을 정의할 수 있음을 의미한다. $Playstyle X^{\prime }}$ 과 $X^{\prime }$ ${\overline {X}}^{\prime },$ 와) ${\overline {X}}^{\prime },$ 의 ${\overline {X}}^{\prime },$ 에도 ${\overline{X}^{\prime}}$ 이(가) 표시되며, 이 ${\overline {X}}^{\prime },$ 글은 다음과 같은 기호로 표시된다.

\langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

이 내부 제품은 힐버트 공간에

X^{\prime }

{\overline {X}}^{\prime }

′{\

과

{\overline {X}}^{\prime }

{\

}을

(

를) 만든다.내부 제품

\langle f,g\rangle _{X^{\prime }}

,

\langle f,g\rangle _{X^{\prime }}

⟩

\{\

langle_{\

\langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

}}과

\langle f,g\rangle _{X^{\prime }}

(와)

\langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

\langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

g

\langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

X

′ {\

는 두 번째 주장에서 반선이다

\langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}

.Moreover, the canonical norm induced by this inner product (that is, the norm defined by

f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}

) is consistent with the dual norm (that is, as defined above by the supremum over the unit ball); explicitly, this means that the following holds for every

f\in X^{\prime }:

f\in X^{\prime }:

f\in X^{\prime }:

f\in X^{\prime }:

:

{\displaystyle

f\

in

X

^{\premy }}

\sup _{\x\in X}f(x) =\f\prime _{X^{\langle f,f\rangele }}}~{X^{\langle f\langle _{X^{\langle f\mid frangle _{X^{primed.}}}}}.

If $X$ is an inner product space then the inner products on the dual space $X^{\prime }$ and the anti-dual space ${\overline {X}}^{\prime },$ denoted respectively by ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\pr$ $ime }}$ 과 $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}$ $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ 와) $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ x $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ \ \ \ \ $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ {\ $displaystyle \langle \,\cdot \\,\cdot$ \, {\ $langle _{\X}^{\operline{$ X}^{\ $prim }}}}}}}},}}}}}}}}}}}}}$ 에 의해 관련된다 $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},$ .

\langle \,{\overline {f}}\, \,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\, \,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\, \,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }

그리고

\langle \,{\overline {f}}\, \,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\, \,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\, \,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.

참고 항목

Cauchy의 함수 방정식 – 함수 방정식
복합 결합 - 수학 개념
복잡한 결합 벡터 공간 – 수학 개념
힐버트 공간의 기본 정리
내부 제품 공간 – 도트 제품의 일반화, Hilbert 공간을 정의하는 데 사용
선형 지도 – 수학적 함수, 선형 대수
매트릭스 유사성
리에즈 표현 정리
Sesquilinar 형식 – 이선형식의 일반화
시간역전 – 물리학의 시간역전 대칭

인용구

^ Birkenhake, Christina (2004). Complex Abelian Varieties. Herbert Lange (Second, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558.
^ ^a ^b ^c 트리에브 2006, 112-123페이지.

참조

부디니치, P.와 트라우트만 A.스피노럴 체스 보드.스프링거-베를라크, 1988년ISBN 0-387-19078-3 (반선 지도는 섹션 3.3에서 논의한다.)
Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.ISBN 0-521-38632-2. (반선 지도는 섹션 4.6에서 논의한다.)
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

이 선형 대수 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

[:0-1] Birkenhake, Christina (2004). Complex Abelian Varieties. Herbert Lange (Second, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558.

[FOOTNOTETrèves2006112–123-2] 트리에브 2006, 112-123페이지.

[1]

[2]

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