프로젝티브 힐버트 공간

수학 및 양자역학의 기초에서 복잡한 힐버트 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 투사형 힐버트 $공간{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle H}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$ P$($$H)}$은 $H{\displaystyle }$$$$$${\$$displaystyle$ $H$에서 0이 아닌 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$$$v}의 동등성 클래스 집합이다$.$$(\displaystyle H}$이(가) 제공됨

${\displaystyle w}$~ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w\sim v}$ 만일$$ $v{\displaystyle }$= 0이 아닌 일부 복합 $번호$에 대해$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle$$v=\$$data$ $w$$}$인 경우만 해당$.$

관계${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$에 대한$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 동등성 클래스를 광선 또는 투영광이라고도 한다$$.

이것은 복잡한 힐버트 공간에 적용되는 일반적인 프로젝트화 시공이다.

개요

투영 힐버트 공간의 물리적 의미는 양자 이론에서 파동 함수 $functions{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$과 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle$\$lambda \neq$$$0$}$에 대해 동일한 물리적 상태를 나타낸다는$$ 것이다.$$$\psi {\displaystyle }$ ${\displaysty \psi }$을 광선으로부터$$ 선택하는 것은 관례적이다.단위 규범인 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi \mathrm{\psi }}$ = 1 ${\displaystyle \langle$\ \ $\angle$ =1$}을($를) 가지고 있으며$,$ 이 경우 표준화된 파형 기능이라고 한다.$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$을(를) 절대값 1(U(1) 동작)의$$ $any{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$과(와) 곱하고 정규화를 유지할 수 있으므로$$ 단위 규범 제약조건이 Ray 내에서 completely$$ ${\displaysty \psi }$을 완전히 결정하지는 않는다.이러한 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) $\lambda {\displaystyle }$= e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\$로 쓸 수$$ 있으며$$, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaysty \phi}$은 글로벌 페이즈라고 불린다$$.

이러한 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 의해 차이가 나는 광선은 동일한 상태(cf)에 해당한다$$.$관측{\displaystyle }$ 가능성의 C*-알지브라와 H {\$displaystyle$ H$}$에 표현된 양자 상태($알지브라$ 정의).어떤 측정도 광선의 위상을 회복할 수 없고, 관측할 수 없다.$하나$는 U${\displaystyle }$( $){\displaystyle U(1)}$가 제1종 게이지 그룹이라고 한다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 관측 가능성의 대수인 경우, 광선은 순수 상태를 유도한다.광선의 볼록한 선형 결합은 자연적으로 밀도 행렬을 발생시키며, 이 행렬은 (여전히 되돌릴 수 없는 표현인 경우) 혼합 상태에 해당한다.

실제 힐버트 공간에도 같은 구조를 적용할 수 있다.

In the case ${\displaystyle H}$ is finite-dimensional, that is, ${\displaystyle H=H_{n}}$, the set of projective rays may be treated just as any other projective space; it is a homogeneous space for a unitary group ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ or orthogonal group ${\displaystyle \mathrm$복합 사례와 실제 사례에서 각각 ${O}(n$유한차원 복합 힐버트 공간의 경우 글을 쓴다.

${\displaystyle P(H_{n}}=\mathb {C} P^{n-1}$

예를 들어, 2차원 복합 힐버트 공간(한 쿼빗을 설명하는 공간)의 투사화가 복합 투사선 C $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ P$^{1}$가 되도록 한다$.$이것은 Bloch 구체로 알려져 있다.이 경우 프로젝트화 시공에 대한 자세한 내용은 Hopf 진동(Hopf 진동)을 참조하십시오.

복잡한 투영 힐버트 공간에는 힐버트 공간의 규범에서 파생된 자연 측정지표인 푸비니-스터디 측정지표가 주어질 수 있다.

제품

투영적인 힐버트 공간의 데카르트 산물은 투영적인 공간이 아니다.세그르 매핑은 두 개의 투영적인 공간의 데카르트 제품을 텐서 제품에 내장한 것이다.양자 이론에서, 그것은 복합 시스템의 상태를 그것의 구성 요소들의 상태로 만드는 방법을 설명한다.그것은 단지 내장일 뿐 추론이 아니다; 텐서 제품 공간의 대부분은 그것의 범위에 있지 않고 얽힌 상태를 나타낸다.

참고 항목

• 일반적인 개념에 대한 투영 공간
• 복잡한 투영 공간
• 투영적 표현

참조

Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1997). "Geometrical Formulation of Quantum Mechanics". arXiv:gr-qc/9706069.