토우플리츠 연산자

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연산자 이론에서 토플리츠 연산자는 원의 곱셈 연산자를 하디 공간에 압축하는 것이다.

세부 사항

표준적인 르베그 측도로¹ S를 원이 되게 하고², L(S¹)을 제곱합성 함수의 힐버트 공간이 되게 한다.S의¹ 경계 측정 가능 함수 g는 L²(S¹)의 곱셈 연산자 M을_g 정의한다.P를 L²(S¹)에서 Hardy 공간 H로² 투영하도록 한다.기호가 g인 토우 플리츠 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}$

여기서 "는 제한을 의미한다.

H의² 경계 연산자는 매트릭스 표현이 기준 {zⁿ, n ≥ 0}에서 일정한 대각선을 갖는 경우에만 Toeplitz이다.

정리

• 정리:If ${\displaystyle g}$ is continuous, then ${\displaystyle T_{g}-\lambda }$ is Fredholm if and only if ${\displaystyle \lambda }$ is not in the set ${\displaystyle g(S^{1})}$. If it is Fredholm, its index is minus the winding number of the curve traced out by ${\displaystyle g}$ with re기원을 살피다

증거는 더글러스(1972, 페이지 185)를 참조한다.그는 이 정리를 마크 크레인, 해롤드 위덤, 앨런 데비나츠에게 돌렸다.이것은 아티야-싱어 지수 정리의 중요한 특수한 경우라고 생각할 수 있다.

• 액슬러-창-사라손 정리:연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ T ${\displaystyle g_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ g ${\$ 스타일 $T_{f}$$T_{g}-T_{fg}}$ is compact if and only if ${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C}$.

Here, ${\displaystyle H^{\infty }}$ denotes the closed subalgebra of ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$ of analytic functions (functions with vanishing negative Fourier coefficients), ${\displaystyle H^{\infty }[f]}$ is the closed subalgebra of ${\displaystyle L$$^{\$$displaystyle f}$ 및$$ H ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ H$^{\infit$ $\}\}$에 의해 생성된$$^{\$displaystyle$$$C$}$는 $원$의 연속적인 기능이다$$.S.Axler, S-Y. Chang, D.를 참조하십시오. 사라슨(1978년).

참조

• S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), "Products of Toeplitz operators", Integral Equations and Operator Theory, 1: 285–309{{citation}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000), Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5.
• Böttcher, A.; Silbermann, B. (2006), Analysis of Toeplitz Operators, Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-32434-8.
• Douglas, Ronald (1972), Banach Algebra techniques in Operator theory, Academic Press.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), Hardy Classes and Operator Theory, Oxford University Press. 도버 출판사에서 재인쇄, 1997, ISBN 978-0-486-69536-5.