토로이드 좌표

토로이드 좌표는 3차원 직교 좌표계로, 2차원 양극 좌표계를 그것의 두 초점을 분리하는 축을 중심으로 회전시킴으로써 생긴다. 따라서 양극 좌표에 있는$$ $두{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {개}_{}}$의 초점 $F{\displaystyle {}_{}}$ 1 {\$displaystyle F_{$1}$$및 ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2 {\displaystyle $F_{2}}$개는$$ 토로이드 좌표계의 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ 면에$$ $있는$ ${\displaystyle a}$ 반경의 링이 되고, $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$축은$$ 회전 축이다. 초점 링은 참조 원이라고도 한다.

정의

토로이드 좌표의 가장 일반적인${\displaystyle }$정의는 $displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$이다$.$

${\displaystyle x=a\\\\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\coses \coses \pi }}$

${\displaystyle y=a\\\\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\coses \cosh \phi }}}$

${\displaystyle z=a\\\\frac {\sin \sin \sigma }{\cosh \tau -\coses \cosma }}}$

$s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ (${\displaystyle \sigma }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle s\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$(${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$sign}(\$displaystyle \mathrm {sign$})(\mathrm$ {sign$}=\mathrm {sign}(z})$과 함께). 점 $P{\displaystyle }${\$displaystyle P}$의 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 좌표는$$ F $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$각도와 같다$$.$PF_{2$}} 및 $and${\displaystyle \tau} 좌표는$$ 초점 링의 반대편에 대한$$ 거리 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 $d$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 비율의 자연 로그와 같다.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}:{d_{2}}.}$

좌표 범위는 -< ≤ { {{ {\$displaystyle$ -$\pi <\sigma \leq \pi$},${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="-\backslash pi\; <\backslash sigma\; \backslash leq\; \backslash pi\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/be83a6e32813744e127cb9da62684e5f6f6b28d0"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:11.999ex;\; height:2.176ex;">}}$ $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau \geq 0},$ ≤ ${\displaystyleq \pi i$.

좌표면

상수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$의 표면은 서로 다른 반경의 구에 해당함$$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\2}\right)+\좌(z-a\a\ma \sigma \right)^{2}={\frac{a^{2}}{\sin ^{2}\ma}}}}}}}$

모든 것이 초점 고리를 통과하지만 동심원이 아니다. 상수 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 표면은 서로 다른 반경의 비절연 토리이다$$.

${\displaystyle z^{2}+\left\sqrt {x^{2}+y^{2}}-a-\cot \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}}}}}$

초점 링을 둘러싸고 있는. 상수 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 구의$$ $중심$은 z ${\displaystyle z}$ -axis를$$ 따라 놓여 있는 반면, ${\displaystyle }$ { ${\displaystyle \tau$}$토리$는 x ${\displaystyle y}$ ${\displaysty xy}$ 평면에$$ 중심화되어 있다.

역변환

(${\displaystyle \sigma }$ ,${\displaystyle \tau }$ ,${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ 좌표는$$ 다음과 같이 데카르트 좌표(x, y, z)에서 계산할 수 있다. 방위각 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 공식에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}}$

P 지점의$$ 원통형 반지름 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\왼쪽(a{\frac {\\sinh \tau }{\cosh \tau -}{\cos \cos \}{2}}:$

$and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$에 의해 정의된 평면의 초점까지의 거리는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

좌표 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 초점 거리의 자연 로그와 같다$$.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}:{d_{2}}:$

반면 ${\displaystyle whereas}$ $displaystyle \sigma}$은(는) 코사인 법칙에 따라 결정될 수 있는 포커스에 대한 광선 사이의 각도와 같다$$.

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}}^{2}-4a^{2}}:{2d_{1}d_{2}}.}$

아니면 그 간판을 포함해서

${\displaystyle \mathrm {sign}(z)\arccos {\r^{2}-a^{2}}:{\sqrt{(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}}:}$

여기서 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle \rho \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$}$}}}}$.

원통형 좌표와 토로이드 좌표 사이의 변환은 다음과 같이 복잡한 표기법으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\cots {\frac {\tau +i\i\ma}{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\i\ma \=\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z-i(\rho -a)}}.}$

척도계수

토로이드 좌표 $coordinates{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$과($)$ $display$ {\displaystyle \$tau }$의 스케일 계수가 동일함$$

${\displaystyle h_{\buma }=h_{\\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\coses \ma}}}}$

방위 척도 계수가 동일한 반면

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\coses \ma}}}}$

따라서 최소 볼륨 요소는 동일하다.

${\dplaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau \}{\\\cos \sigma \right)^{3}}\,d\tau \,d\tau \,d\pi }}$

차등 연산자

라플라시아인은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\nowled +\왼쪽.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

For a vector field ${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\$$hat {e}_{\phi$ $\}\},$ 벡터 라플라시안에는 다음이 주어진다.

${\displaystyle \delta {n}(\tau ,\sigma ,\phi )=\nabla(\nabla \cdot {\\vec{n}}}-\nabla \times{\n})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac{\frac}{2}n_{\tau }}{{{\n1}n_{\pi }^{2}}:{\frac {(\cosh \tau -\cos \cos \fla )^{2}}:{\sinh ^{2}\}}\오른쪽\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\frac }{2}n_{\\properties \phi }^{2}}:\left \frac {(\cosh \tau -\cos \pos \frac )^{2}}:{\sinh ^{2}\}}}\오른쪽\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\ldots \right.}$

$왼쪽.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

토로이드 고조파

표준분리

3변수 라플라스 방정식

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

변수의 분리를 통해 용액을 승인한다. 대체하기

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\coses \sigma}}$

그런 다음 분리 가능한 방정식을 구한다. 변수의 분리에 의해 얻어지는 특정한 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\coses \sigma }\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

여기서 각 함수는 다음과 같은 선형 조합이다.

${\displaystyle S_{\nu }}(\sigma )=e^{i\nu \sigma \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,},\^{-i\nu\nu \sigma}}}}}}}$

${\displaystyle T_{\mu \nu \}(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }}^{\cosh \tau )\\}(\cosh \tau )\}(\coshtau }).$

${\displaystyle V_{\mu }}(\phi )=e^{i\mu \pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\^{-i\mu \pi }}}}}}$

여기서 P와 Q는 제1종과 제2종의 레전드르 함수와 연관된다. 이 레전드르 함수는 흔히 토로이드 고조파라고 불린다.

토로이드 고조파들은 많은 흥미로운 성질을 가지고 있다. 변수 z = > {\$displaysty$ z$=\cosh \tau$>1}을(를) 만든다면, 예를 들어 소멸 $순서{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ ${\displaystyle =}$ 0 ${\displaystyle \mu$ =$0},$ ${\displaystyle \mathrm{\nu }}$= 0 ${\displaysty \nu =0}$을(가 소멸할 때 순서를 쓰지 않는 것이 관례)을)로 한다.

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{1}:{1}2}}(z)={\sqrt {\prac {2}{1+z}}}K\왼쪽({\sqrt {\2}{1+z}}\오른쪽)}}$

그리고

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{1}:{2}}(z)={\frac {2}{\pi }{{\pi }}{\sqrt {2}{1+z}}}K\{\sqrt {\z-1}}\오른쪽)}$

${\displaystyle 여기}$서 K$[\displaystyle \,\!$${\displaystyle K}$$}$ 및 E ${\displaystyle \,\!$$E}$은 제1종과 제2종의 완전한 타원형 통합이다. 예를 들어, 완전한 타원형 통합의 관점에서, 관련 레전드르 함수에 대한 반복 관계를 사용하여 나머지 토로이드 고조파를 얻을 수 있다.

토로이드 좌표의 고전적 적용은 부분 미분 방정식(예: 토로이드 좌표가 변수의 분리를 허용하는 라플라스 방정식 또는 토로이드 좌표가 변수의 분리를 허용하지 않는 헬름홀츠 방정식)을 해결하는 데 있다. 대표적인 예가 전도성 토러스(torus)의 전위와 전기장 또는 변질된 경우 전류 링(Hulme 1982년)이다.

대체 분리

또는 다른 대체가 이루어질 수 있다(Andrews 2006).

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt{\rho}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\coses \cosma }}}.}$

다시 분리 가능한 방정식을 구한다. 변수의 분리에 의해 얻어진 특정 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\\sqrt{\rho }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

여기서 각 함수는 다음과 같은 선형 조합이다.

${\displaystyle S_{\nu }}(\sigma )=e^{i\nu \sigma \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,},\^{-i\nu\nu \sigma}}}}}}}$

${\displaystyle T_{\mu \nu}(\tau )=P_{\\mu -1/2}^{\nu}^{\cot \tau )\\\\(\cot \tau )\nu {and}\,\,\,\,\,\.$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi \}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,},},}$

T 함수에 토로이드 고조파(toroidal harmonics)가 다시 사용되지만 인수는 ${\displaystyle \cosh }$$$osh$${${\displaystyle \tau }$ {\$displaystyle \coh \tau$$}$이 아니라$$ ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$τ {\$displaystyle$ $\mu$$\nu }$이다. 이 방법은 충전된 링, 무한 반쪽 평면 또는 두 개의 평행 평면과$$같이 경계 조건이 구형 각도 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$과(와) 독립적인 상황에 유용하다. 논쟁 쌍곡선 코사인 과대곡선 코사인과 논쟁 쌍곡선 코사인과 관련된 정체성은 위플 공식을 참조한다.

참조

• Byerly, W E. (1893) 푸리에의 시리즈와 구면, 원통형, 타원형 고조파에 대한 기초 논문이며, 수학 물리학 Ginn & co. 264–266의 문제에 응용된다.
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd ed.). Orlando, FL: Academic Press. pp. 112–115.
• Andrews, Mark (2006). "Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics". Journal of Electrostatics. 64 (10): 664–672. CiteSeerX 10.1.1.205.5658. doi:10.1016/j.elstat.2005.11.005.
• Hulme, A. (1982). "A note on the magnetic scalar potential of an electric current-ring". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 92 (1): 183–191. doi:10.1017/S0305004100059831.

참고 문헌 목록

• Morse P M, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw–Hill. p. 666.
• Korn G A, Korn T M (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59014456.
• Margenau H, Murphy G M (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 190–192. LCCN 55010911.
• Moon P H, Spencer D E (1988). "Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (2nd ed., 3rd revised printing ed.). New York: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6.

외부 링크

• MathWorld의 Toroidal 좌표 설명