주구좌표

주구좌표는 타원의 비초점 축, 즉 포커스를 분리하는 대칭 축에 대하여 2차원 타원 좌표계를 회전시킨 결과 발생하는 3차원 직교 좌표계다. 따라서 이 두 포커스는 x-y 평면에서$$ $반경{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$의 링으로 변형된다.(다른 축에 대한 회전은 프로이트 스피로이드 좌표를 생성한다.) 주구좌표 또한 가장 큰 두 개의 반축 길이가 같은 타원 좌표의 제한적인 경우로 간주할 수 있다.

주구좌표는 종종 경계조건이 주구좌표 또는 혁명의 하이퍼볼로이드에 정의되어 있을 때 부분 미분 방정식을 푸는 데 유용하다. 예를 들어, 그들은 페린 마찰 요인의 계산에 중요한 역할을 했는데, 이는 1926년 노벨 물리학상을 장 침례트 페린에게 수여하는 데 기여했다. 이러한 마찰 인자는 분자의 회전 확산을 결정하는데, 이는 단백질 NMR과 같은 많은 기법의 실현 가능성에 영향을 미치고 분자의 유체역동적 부피와 형태를 유추할 수 있다. 또한 지혈성 좌표는 전자석(예: 충전된 분자의 유전체 상수), 음향(예: 원형의 구멍을 통한 소리 산란), 유체 역학(예: 화력 노즐을 통한 물의 흐름), 재료와 열의 확산(예: wate에서 빨갛게 달아오른 동전의 냉각) 문제에도 유용하다.r 목욕)

정의(µ, µ, ν, ν)

주구좌표$({\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$ , ν ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$의 가장 일반적인 정의는 다음과 같다$$.

$\displaystyle x=a\ \cosh \mu \cos \nu \cos \varphi }$

$\displaystyle y=a\\\cosh \mu \cos \nu \sin \varphi }$

$\displaystyle z=a\ \sinh \mu \sin \nu }$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 음이 아닌 실제 숫자로 각도 $\nu {\displaystyle [}$- ${\displaystyle \pi }$ /${\displaystyle }$2 ,${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle ]}$ ${\$ 입니다$.$ 방위각 ${\displaystyle \varphi }$은(는$){\displaystyle }$ ± ${\displaystyle \pi }${\$displaystyle \pm \pi$} 사이에 전체 원의 어느 곳에서도 떨어질 수 있다$$$.$ 이러한 좌표는 퇴보되지 않기 때문에 아래 대안보다 선호된다. 좌표 집합$({\displaystyle }$μ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \nu ,}$ $){\displaystyle (\mu,\nu,\varpi$)은 카트리지)에서 고유한 점을 설명한다$$. 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x$$,$$y,z$ 초점 링 안에 있는 $z{\displaystyle }$ {\$displaystyle z}$ -축과$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ 평면의$$ 디스크를 제외하면 그 반대도 참이다.

좌표면

일정한 μ 형태의 표면은 삼각측량적 정체성에 의해 스페로이드를 없앤다.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu ^{2}+{\frac{z^{2}}:{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}}}=\cos ^{2}\nu +\nu =1}$

타원이 z축을 중심으로 회전하기 때문에 포커스를 분리한다. x-z 평면의 타원(그림 2)은 x축을 따라 길이가 cosh μs인 주요 세미xis인 반면, 그 마이너 세미xis는 z축을 따라 길이가 sinh μs이다. x-z 평면에 있는 모든 타원의 초점은 ±a에서 x축에 위치한다.

마찬가지로 상수 ν의 표면은 쌍곡삼각계 정체성에 의해 반쪽짜리 회전 하이퍼볼로이드(hyperboloid)를 형성한다.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\coses ^{2}\nu ^-{2}-{\frac{z^{2}}:{a^{2}\nu }}}}}\cosh ^{2}\mu -\mu =1}$

양수 for의 경우, 반하이퍼볼로이드는 x-y 평면(즉, 양의 z) 위에 있는 반면, 음수 ν의 경우, 반하이퍼볼로이드는 x-y 평면(즉, 음의 z) 아래에 있다. 기하학적으로 ν각은 하이퍼볼라의 점근각과 일치한다. 모든 하이퍼볼레의 초점은 마찬가지로 ±a에서 x축에 위치한다.

역변환

(μ, ν, φ) 좌표는 다음과 같이 데카르트 좌표(x, y, z)에서 계산할 수 있다. 방위각 φ은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}}$

P 지점의 원통형 반지름 ρ은 다음과 같다.

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}}$

그리고 φ에 의해 정의된 평면의 초점까지의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

나머지 좌표 μ와 μ는 방정식에서 계산할 수 있다.

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}}{2a}}}$

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}:{2}}:}}$

여기서 μ의 부호는 항상 음이 아니며, μ의 부호는 z의 부호와 같다.

역변환을 계산하는 또 다른 방법은

${\displaystyle \mu =\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}}}$

${\displaystyle \nu =\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}}}$

${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}}}$

어디에

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

척도계수

좌표계수 μ와 μs의 척도계수가 같다.

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}}}$

방위 척도 계수가 동일한 반면

$\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \cos \cos \nu }$

따라서 최소의 볼륨 요소는 동일하다.

$\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \cos \nu \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\nu d\pi }$

그리고 라플라크는 쓸 수 있다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}:}$

$\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\$및$$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ × F ${\$ {$F}}}$과 같은 다른 미분 연산자는 직교좌표에서 찾을 수 있는 일반적인 공식으로 스케일 계수를 대체하여$$ 좌표(μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ)로 표현할 수 있다.

기본 벡터

$\mu {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \nu }$ ,${\displaystyle }$ϕ , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi$} 좌표계의$$ 정형근거 벡터는 다음과 같이 데카르트 좌표로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)}$

${\displaystyle {\hat {{e}_{\phi }=-\sin \phi {\hat{i}}+\cos \phi {\hatsymbol {\j}}}}}$

여기서 $i{\displaystyle \stackrel{\mathbf{}}{\mathit{}}^,}$ ${\displaystyle j\stackrel{\mathbf{}}{\mathit{}}}$^,${\displaystyle k\stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\${j$},{\boldsymbol {\k}}}}$은(는) 데카르트 단위 벡터다. Here, ${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$ is the outward normal vector to the oblate spheroidal surface of constant ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$ is the same azimuthal unit vector from spherical coordinates, and ${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }$${}$은(는) 말살된 스피로이드 표면까지의 접선 평면에 놓여$$ 오른손 베이스 세트를 완성한다.

정의(ζ, ξ, φ)

$another$ = ${\displaystyle \sinh \mu }$${\displaystyle \mu }${\$displaystyle${\$displaystyle \zeta =\sinh \mu }$ 및$$ $\xi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin \nu }$ ${\displaystyle \xi =\sin$\nu$$}(Smythe 1968년${\displaystyle ).}$ 상수 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta}$의 곡선은 소멸된 스페로이드, 상수 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$의 곡선은 혁명의 하이퍼볼로이드들이다$$. 좌표 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$은(는) < { << <\$displaystyle 0\leq \infit$}에 의해$$ $제한$되며, $\$ {\$displaystyle \xi$은$($는)- {{ { { << < < < < < < < < < < < < < < < \ \ < < < < < \ \?

데카르트 좌표와의 관계는

${\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})\,\cos \pi }}$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})\,\sin \phi }}$

$\displaystyle z=a\zeta \xi }$

척도계수

(${\displaystyle \zeta }$ ,${\displaystyle \xi }$ ,${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$의 척도 계수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}:{1+\zeta ^{2}}:}$

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}:}$

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2}}}}}}$

스케일 계수를 알면 직교 좌표 글에 요약된 일반적인 방법으로 좌표의 다양한 기능을 계산할 수 있다. 최소 볼륨 요소는 다음과 같다.

${\dplaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\xi \,d\pi }$

그라데이션:

${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$

차이점은 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}:}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\왼쪽(1-\xi ^{2}\오른쪽)}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}:$

주구체 고조파

Spheroidal 파장 지우기 기능을 참조하십시오.

구면 좌표와 구면 고조파에서와 마찬가지로 라플레이스의 방정식은 변수의 분리방법으로 해결하여 주구체 고조파 형태로 해결책을 산출할 수 있는데, 주구체 고조파 형태의 경계조건이 일정한 주구체 좌표로 표면에 정의되었을 때 사용하기 편리하다.

변수 분리 기법에 따라 라플레이스의 방정식에 대한 해법이 다음과 같이 기록된다.

$(\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi(\xi)\,\Phi(\phi )}$

이렇게 하면 각 변수에서 세 개의 개별 미분 방정식이 산출된다.

${\디스플레이 스타일 {\frac {d}{d\zeta }}}{{d\zeta ^{2}}{\frac {dZ}{d\zeta }}}\m^{2}Z}{1+\n(n+1)Z=0}$

${\d}{d}{d\xi }}\왼쪽[(1-\xi ^{2})]{\frac {d\Xi }{d\xi }}}}\m^{2}\Xi ^{1-\n(n+1)\Xi =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}=-m^{2}\Phi }$

여기서 m은 주기 2㎛로 주기 때문에 정수인 상수다. n은 정수가 된다. 이러한 방정식의 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{mn}=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )}$

${\displaystyle \Xi _{mn}=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )}$

$Phi _{m}=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }}}}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {상수}_{}^{}}$이고, $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$z ) ${\$$displaystyle P_{n}^{m}(z)}$과(는$)$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 제1종과 제2종의 레전드레 다항식이다. 이 세 용액의 산물은 주상구동화합체라고 하며 라플레이스의 방정식에 대한 일반적인 용액은 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{n=0}}\sum _{m=0}^{n}\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi_{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}}$

상수는 결합하여 각 고조파마다 4개의 독립 상수만을 산출할 것이다.

정의(σ, τ, φ)

대체적이고 기하학적으로 직관적인 주구좌표(σ,^[1] τ, φ)의 집합이 사용되기도 하는데, 여기서 = = cosh μ, = = cos ν. 따라서 좌표 σ은 1보다 크거나 같아야 하는 반면, τ은 ±1 사이에 있어야 한다. 상수 σ의 표면은 상수 μs의 표면과 마찬가지로 스페로이드(spheroid)를 없앤 반면, 상수 τ의 곡선은 ± ν에 해당하는 반 하이퍼볼로이드(half-hyperboloids)를 포함하여 완전한 회전 하이퍼볼로이드(full hypervoloids)이다. 따라서 이러한 좌표들은 퇴보된다; 데카르트 좌표(x, y, ±z)의 두 지점은 하나의 좌표 집합(σ, τ, φ)에 매핑된다. z 기호의 이 2배 퇴행성은 지워진 회전 좌표에서 데카르트 좌표로 변환하는 방정식에서 명백하다.

$\displaystyle x=a\disma \tau \cos \phi }$

$\displaystyle y=a\phma \tau \sin \phi }$

${\displaystyle z^{2}=a^{2}\왼쪽(\ma ^{2}-1\오른쪽)\왼쪽(1-\tau ^{2}\오른쪽)}$

좌표 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 및$$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은 초점 링까지의 거리와 간단한 관계가 있다$$. For any point, the sum ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ of its distances to the focal ring equals ${\displaystyle 2a\sigma }$, whereas their difference ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ equals ${\displaystyle 2a\tau }$. Thus, the "far" distance to the focal ring is ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$$(\displaystyle a(\$displaystyle a$)(\displayma$ +\$tau )}$ 반면에 "근접한" 거리는 $a{\displaystyle }$(${\displaystyle \sigma }$ -${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle$ a$(\\ma -\tau )}$이다$.$

좌표면

상대 μ와 유사하게 상수 σ 형태의 표면은 스페로이드를 없앤다.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\probma ^{2}}+{\frac{z^{2}}:{a^{2}\왼쪽(\a^{2}-1\오른쪽)}}=1}$

마찬가지로 상수 constant의 표면은 혁명의 하이퍼볼로이드 전체를 형성한다.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\tau ^{2}}-{\frac {z^{2}}:{a^{2}\왼쪽(1-\tau ^{2}\오른쪽)}}=1}$

척도계수

대체 주구좌표$({\displaystyle \sigma }$,${\displaystyle \tau ,\varphi }$ )에 대한 척도계수$(\sigma ,\tau ,\phi )$는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle h_{\proxma }=a{\sqrt {\fractma ^{2}-\tau ^{2}}:{\proxma ^{2}-1}:{2}}:\proxma ^{2}-1}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\\sqrt {\frac {\fracma ^{2}-\tau ^{2}}:{1-\tau ^{2}}:}$

방위각 척도계수는 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle h_{\pi$}=$a\bma \tau }$이다$.$

따라서 최소 부피 요소를 기록할 수 있다.

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac \\\sigma ^{2}-\tau ^{2}}:\sqrt {\(\sigma ^{2}-1\오른쪽)\왼쪽(1-\tau ^{2}\오른쪽)}}}\,d\d\phma \,d\tau \,d\phi }$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

구면 좌표와 마찬가지로 라플라스 방정식은 일정한 구면 좌표를 가진 표면에 경계 조건이 정의될 때 사용하기 편리한 구면 고조파 형태의 솔루션을 산출하는 변수의 분리 방법으로 해결할 수 있다(Smythe, 1968 참조).

참고 항목

• 타원형 좌표(지오디)

참조

참고 문헌 목록

각도 없음 규약관

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 662. ξ₁ = sinh μ, ξ₂ = sin μ, ξ = sin ν, ξ₃ = cos φ을 사용한다.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 115. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach(1953년)와 동일하며_k, u를 ξ으로_k 대체한다.
• Smythe, WR (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 98. LCCN 67025285. 복합좌표 coordinates = sinh μ, , = sin μ, sin sin, φ을 사용한다.

각도 규약

• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 177. LCCN 59014456. 코른과 코른은 (μ, ν, φ) 좌표를 사용하지만, 퇴행(σ行, τ, φ) 좌표도 도입한다.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. p. 182. LCCN 55010911. 코른과 코른(1961년)처럼, 그러나 위도 ν 대신 고도 θ = 90° - ν을 사용한다.
• 문근영 중성인 PH, 스펜서 DE(1988년)."Oblate은 회전 타원체의 좌표(η, θ, ψ)".필드 이론 핸드 북, 좌표계, 방정식, 그리고 그들의 해결책(. 2일 교육 교정하고, 3인쇄 교육.)을 포함해서.뉴욕:스프링거 출판사..를 대신하여 서명함. 31–34(1.07표).아이 에스비엔 0-387-02732-7.달과 스펜서, ψ로 φ의 이름을 바꾸는 여위도 대회 θ)90도-ν을 사용한다.

특이한 관례

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) (2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. 말살 좌표를 일반 타원 좌표의 제한 사례로 취급한다. 거리 단위를 제곱한 좌표(ξ, η, ζ)를 사용한다.

외부 링크

• MathWorld의 지운 회전 좌표 설명