구면 좌표

이구형 좌표는 두 포커스를 연결하는 축을 중심으로 2차원 양극 좌표계를 회전시켜 발생하는 3차원 직교 좌표계다. 따라서 양극 좌표에서 ${\displaystyle {F1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle F_{2$}}개의 포커스는 이구형 좌표계의 포인트($z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -축$$, 회전축)로 남는다.

정의

이구형 좌표의${\displaystyle }$가장 일반적인 정의는 $displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}$

여기서 점 $P$의$$$\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\sigma }$ 좌표는$$ F 1 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$1$} $각도$와 같다$$.$PF_{2$}} 및 $and${\displaystyle \tau} 좌표는$$ 포커스에 대한$$ ${\displaystyle {거리\mathrm{}}_{}}$ d 1$${\$displaystyle d_{1$} $및$ d ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle d_{2$}}의 비율에 대한 자연 로그와 같다.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}:{d_{2}}:$

좌표면

상수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$의 표면은 서로 다른 반경의 교차 토리에 해당함$$

${\displaystyle z^{2}+{2}+왼쪽 \sqrt{x^{2}+y^{2}}-a-a-a-a-a\right)^{2}={\frac {a^{2}}:{\sin ^{2}\chin }}}}$

모든 것이 포커스를 통과하지만 동심원은 아니다. 상수 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$}의 표면은$$ 서로 다른 반경의 비 교차 구이다.

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\2}\오른쪽)+\왼쪽(z-a\cot \tau \오른쪽)^{2}={\frac {a^{2}}:{\sinh ^{2}\tau }}}}}}}$

포커스를 둘러싸고 있는. 상수 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ 구의$$ $중심$은 z ${\displaystyle z}$ -axis를$$ 따라 놓여 있는 반면, ${\displaystyle }$ { ${\displaystyle \sigma }$토리는$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaysty xy}$ 평면에$$ 중심화되어 있다.

역공식

역변환에 대한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {2}-a^{2}}:{Q}\\\tau &=\operatorname {arsinh} \왼쪽({\dfrac {2az}){Q}\오른쪽),\\\phi &=\arctan \left({dfrac {y}{x}\오른쪽),\end{aigned}}}$

여기서 $R$= $x\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$+ $\sqrt{{y\mathrm{}}^{}}$ $\sqrt{{}^{}}$+ $\sqrt{{z\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}$}}}}$과$$Q =$\sqrt{{}^{}}$( $\sqrt{{{R\mathrm{}}^{}}^{}}$2 + $\sqrt{{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ )$\sqrt{{\mathrm{}}^{}{}^{}}$- ( $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$ $\sqrt{{az}^{}}$) $\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$. ${\textstyle$ Q$={\sqrt{\\\lft(R^{2}+a^{2$}){2$}\오른쪽)^{2}-\왼쪽(2az\오른쪽)^{2}}.$$}$

척도계수

이구형 좌표 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$과($)$ $display$ {\displaystyle \$tau }$의 척도 계수가 동일함$$

${\displaystyle h_{\buma }=h_{\\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\coses \ma}}}}$

방위 척도 계수가 동일한 반면

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sin \phama }{\cosh \tau -\coses \ma}}}}$

따라서 최소 볼륨 요소는 동일하다.

${\dapplaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\\\\cos \sigma \right)^{3}}\,d\tau \,d\tau \,d\pi }}$

그리고 라플라시아인은

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\nowled +\왼쪽.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

적용들

일반적으로 구면 좌표의 적용은 부분 미분 방정식(예: 구면 좌표가 변수의 분리를 허용하는 라플라스 방정식)을 푸는 데 있다. 그러나 헬름홀츠 방정식은 구면 좌표에서 분리할 수 없다. 대표적인 예가 서로 다른 반지름을 가진 두 개의 전도 구를 둘러싼 전기장이 될 것이다.

참조

참고 문헌 목록

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. pp. 665–666.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59014456.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 113. ISBN 0-86720-293-9.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 110–112 (Section IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7.

외부 링크

• MathWorld의 이구형 좌표 설명