펜타그램미리쿰

펜타그램 신기루(기적의 펜타그램용 라틴어)는 구상에 있는 별 다각형으로, 5개의 큰 원호들로 구성되어 있으며, 모두 내부 각도가 직각이다.이 모양은 존 네이피어가 1614년 저서 미리피 로가리스모름 캐논리스 설명서(Logarithmorum Canonis Descriptio)에서 오른쪽 구면 삼각형의 다섯 부분(두 각과 세 면)의 삼각함수의 값을 연결하는 규칙과 함께 서술한 것이다.펜타그램 신기루의 성질은 그 중에서도 칼 프리드리히 가우스에 의해 연구되었다.^[1]

기하학적 특성

구체에서는 삼각형의 각도와 면(큰 원의 호)을 모두 각도로 측정한다.

$각각{\displaystyle }$ five${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, ${\displaystyle A$ B ${\displaystyle B$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$ $E{\displaystyle }$. ${\displaystyle E.}$의 측정 각 5개의 직각이 있다.

There are ten arcs, each measuring ${\displaystyle \pi /2:}$ ${\displaystyle PC}$, ${\displaystyle PE}$, ${\displaystyle QD}$, ${\displaystyle QA}$, ${\displaystyle RE}$, ${\displaystyle RB}$, ${\displaystyle SA}$, ${\displaystyle SC}$, ${\displ$$aystyle TB}$및 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle TD.$$}$

구형 펜타곤 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle PQFIRST}$에서 모든 꼭지점은 반대편의 극이다$.$예를 들어 P $지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는$)$ 적도 R ${\displaystyle S}$ {\$displaystyle RS$$$지점 Q {\$displaystyle Q}$의 극이며,$$ 적도 ${\displaystyle S}$ T ${\displaysty ST}$등의 극이다.

펜타곤 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle PQFIRST}$의 각 꼭지점에서$,$ 외부 각도는 반대쪽과 측정에서 동일하다.예를 들어 $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle B}$ P ${\displaystyle Q}$= ${\displaystyle R}$ S${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \angle \mathrm{}}$ B ${\displaystyle Q}$ P${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle C}$ Q ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle$ CQR$=ST$ 등$$$.$

나피어의 구형 삼각형 A ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle APT$ B ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle BQP$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle CRQ$ D $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle DSR$ E ${\displaystyle T}$ S ${\displaystystyle ETS}$ 원은 서로 다른$$ 원형으로 회전한다.

가우스의 공식

가우스가 표기법을 소개했다.

$${\displaystyle(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST.)}$$

다음의 신분은 남아 있는 두 개의 신분에서 위의 세 가지 수량을 결정할 수 있도록 유지된다.^[2]

$$\displaystyle {\pregated}1+\nfs &=\nfs &1+\nfs &=\nfs \varepsilon &1+\nfs &=nfs \fdism \nfs.\end{정렬}}}$$

가우스는 다음과 같은 "아름다운 평등"을 증명했다.^[2]

$$#\displaystyle {\compregated}\cHB \cHB \cHB +\3+\cHB +\cHB +\cHB +\\cHB +\cHB +\cHB )(1+\cHB )(1+\cHB)(1+\cHBPsilon )}}.\end{정렬}}}$$

It is satisfied, for instance, by numbers ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)}$, whose product ${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon }$ is equal to ${\displaystyle 20}$.

동일성의 첫 번째 부분에 대한 증거:

${\displaystyle{\begin{정렬}\alpha\beta \gamma \delta \varepsilon&=\alpha\beta \gamma \left({\frac{1+\alpha}{\gamma}}\right)\left({\frac{1+\gamma}{\alpha}}\right)=\beta(1+\alpha)(1+\gamma)\\&,=\beta +\alpha \beta+\beta \gamma +\alpha \beta \gamma=\beta +(1+\delta)+(1+\varepsilon)+\alpha(1+\varepsilon)\\&, =2+\alpha +\b.에타 +\delta+\barepsilon +1+\buffer \&=3+\buffer +\buffer +\barepsilon \ended}}}$

동등성의 두 번째 부분에 대한 증거:

${\displaystyle{\begin{정렬}\alpha\beta \gamma \delta \varepsilon&={\sqrt{\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&, ={\sqrt{\gamma \delta \cdot\delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha\beta \cdot \beta \gamma}}\\&, ={\sqrt{(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)(1+\delta)(1+\varepsilon)}}\end{권투 선수 muhammedali는.gned}}}$

From Gauss는 또한 공식을^[2] 가지고 있다.

where ${\displaystyle A_{PQRST}=2\pi -( {\overset {\frown }{PQ}} + {\overset {\frown }{QR}} + {\overset {\frown }{RS}} + {\overset {\frown }{$$ST} + {\overset {\frown }{$$TP}} )}$은(는) 펜타곤 P ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle PQFIRST}$의 영역이다$.$

Gnomonic 투영법

구체와 접하는 평면에 대한 Gnomonic 투영(구 중심에서 투영)에서$$ 구형 펜타곤 P ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ S ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle PQFIRST}$의 이미지는 직선으로 된 펜타곤이다.그것의 5개의 꼭지점 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle Q{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle R{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle S{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ { { { { { { { ${$ \$displaystyle P'Q'R'S'$T'}는 원뿔 부분; 이 경우 - 타원형 부분을 명료하게 결정한다.가우스는 $펜타그램{\displaystyle {}^{}}$ P${\displaystyle {}^{}q{}^{}}$ Q${\displaystyle {}^{}r{}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$s S${\displaystyle {}^{}t{}^{}}$ T ′ ′ T${$ ${$ { { { { { { { { { { { { { { { {$$${\displaystyle {\{}^{}}$ ${$ { { { { { { ${$ $opposite{\displaystyle {}^{}}$ opposite $opposite opposite$ $opposite$ { { { { { { { { { { { { { $\{$$${ { { { { { { { { { { { { { { {

Arthur Cayley observed that, if we set the origin of a Cartesian coordinate system in point ${\displaystyle O'}$, then the coordinates of vertices ${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,}$ ${\displaystyle (x_{5},$$y_{5})}$ satisfy the equalities ${\displaystyle x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=}$ ${\displaystyle x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=}$ ${\displaystyle x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=}$ ${\displaystyle x_{4}x_{2}+$$y_{4}y_{2}=}$ x ${\displaystyle 5_{}}$ x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$+ y ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\${3$}=-\rho ^{2$ 여기서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }}}}}$은 구의$$ 반지름 길이이다.^[3]

참조

외부 링크

• 위키미디어 커먼스의 펜타그램 신기루와 관련된 미디어
• 유튜브의 펜타그램 신기루