기하학 에서 Bretschneider의 공식 은 일반 4각형 의 영역 에 대한 다음과 같은 표현이다.
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cas 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\s-a(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\왼쪽({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\오른쪽) }}} = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cas ( α + γ ) ] . {\displaystyle ={\s-a(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}Abcd[1+\cos(\cos(\cos(\cos)(\cs +\cs)]}}}}. } 여기서 a b c d s 반퍼미터 , α α
Bretschneider의 공식은 주기적 이든 아니든 어떤 4각형에도 효과가 있다.
독일의 수학자 칼 안톤 브렛슈나이더 는 1842년에 이 공식을 발견했다. 이 공식은 같은 해 독일의 수학자 카를 게오르크 크리스티안 폰 스토트 가 도출한 것이다.
증명 K 그럼, 우리는,
K = 의 면적. △ A D B + 의 면적. △ B D C = a d 죄를 짓다 α 2 + b c 죄를 짓다 γ 2 . {\displaystyle {\begin{aigned}K&={\text{a}}}}}}}}}}}}}}{}\triangle ADB+{\text{a}={\frac {ad\sin \alpha }}}}. \end{정렬}}} 그러므로
2 K = ( a d ) 죄를 짓다 α + ( b c ) 죄를 짓다 γ . \displaystyle 2K=(ad)\sin \알파 +(bc)\sin \gamma. } 4 K 2 = ( a d ) 2 죄를 짓다 2 α + ( b c ) 2 죄를 짓다 2 γ + 2 a b c d 죄를 짓다 α 죄를 짓다 γ . {\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc) ^{2}\sin ^{2}\red +2abcd\sin \sin \sin \sin \sin. } 코사인 법칙 은 다음을 함축하고 있다.
a 2 + d 2 − 2 a d cas α = b 2 + c 2 − 2 b c cas γ , {\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \cos \b^{2}+c^{2}-2bc\cos \cos \cos \cos \cope,} 왜냐하면 양쪽이 대각선 BD 이것은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.
( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 cas 2 α + ( b c ) 2 cas 2 γ − 2 a b c d cas α cas γ . {\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-b^{2}^{2}}^{2}}:{4}=(ad)^{2}\cos ^{2}\bc) ^{2}\cos ^{2}\cos -2abcd\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos } 위의 공식에 4K2 수율 추가
4 K 2 + ( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 + ( b c ) 2 − 2 a b c d cas ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d − 2 a b c d cas ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d ( cas ( α + γ ) + 1 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d ( cas ( α + γ ) + 1 2 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d cas 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle{\begin{정렬}4K^{2}+{\frac{{2(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^}}{4}}&=(광고)^ᆷ+(bc)^ᆸ-2abcd\cos(\alpha +\gamma)\\&, =(ad+bc)^ᆹ-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma)\\&, =(ad+bc)^ᆺ-2abcd(\cos(\alpha +\gamma)+1)\\&, =(ad+bc)^ᆻ-4abcd\left({\frac{\cos(\alpha +\gamma)+1}{2}}\right)\\&, =(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\fr.교류{\alpha +\gamma} {{2}}\오른쪽). \end{정렬}}} Note that: cos 2 α + γ 2 = 1 + cos ( α + γ ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}} α + γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}
브라마굽타의 공식 에서와 같은 단계를 따라, 이것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.
16 K 2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ) ( a − b + c + d ) ( − a + b + c + d ) − 16 a b c d cas 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\좌측({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\우측). } 반퍼미터 도입
s = a + b + c + d 2 , {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},} 이상이 되다
16 K 2 = 16 ( s − d ) ( s − c ) ( s − b ) ( s − a ) − 16 a b c d cas 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle 16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-a)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\좌측({\frac {\\alpha +\gamma }{2}}\우측)}} K 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cas 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-c)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\왼쪽({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\오른쪽)}} 브렛슈나이더의 공식은 양쪽의 제곱근을 취하여 다음과 같다.
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cas 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\s-a(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\왼쪽({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\오른쪽) }}} 에마뉘엘 가르시아는 대체 증거를 제시하기 위해 일반화된 반각 공식을 사용해 왔다. [1]
관련공식 브레츠크나이더의 공식은 브라마굽타의 주기적인 4각형 영역에 대한 공식 을 일반화하며, 이는 다시 삼각형 영역에 대한 헤론의 공식 을 일반화한다.
4각형의 비사이클로 브레츠나이더 공식의 삼각계 조정은 옆면과 대각선 e [2] [3]
K = 1 4 4 e 2 f 2 − ( b 2 + d 2 − a 2 − c 2 ) 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + e f ) ( a c + b d − e f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}. \end{정렬}}} 메모들 ^ E. A. José Garcia, Two Identity and the Respects, MATINF, 6(2020) 5-11. [1] ^ Coolidge, J. L. (1939). "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral". The American Mathematical Monthly . 46 (6): 345–347. doi :10.2307/2302891 . ^ Hobson, E. W. (1918). A Treatise on Plane Trigonometry 참고자료 & 추가 판독 Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems". Mathematics and Computer Education . 41 (1). ISSN 0730-8639 . C. A. Bretschneider. 운터수충 데 트리오노메트리스천 리젠 데 게라드리니겐 비에렉테스 Archiv der Matheatik und Physik, 밴드 2, 1842, S. 225-261(온라인 카피, 독일어 ) F. Strehlke: Zwei neue Settze는 Ebenenn und sphrischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrastzes를 토해낸다 . Archiv der Matheatik und Physik, 밴드 2, 1842, S. 323-326(온라인 카피, 독일어 ) 외부 링크 
![={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
