메타수학
Metamathematics |
메타수학은 수학적 방법을 이용한 수학 자체를 연구하는 학문이다.이 연구는 메타테오리를 생산하는데, 메타테오리는 다른 수학 이론에 대한 수학 이론이다.메타 수학에 대한 강조는 20세기 초에 수학의 기초를 확보하려는 데이비드 힐버트의 시도에서 비롯되었다.메타수학은 "수학과 논리의 다양한 기초 문제를 조사하기 위한 엄격한 수학적 기술"을 제공한다.메타 수학의 중요한 특징은 시스템 내부와 시스템 외부 사이의 추론을 구별하는 데 중점을 둔다는 것이다.이에 대한 비공식적인 설명은 "2+2=4" 명제를 수학에 속하는 것으로 분류하고 "2+2=4" 명제를 메타수학에 속하는 것으로 분류하는 것이다.
역사
수학 자체에 대한 메타수학 메타수학 메타수학은 원래 수학의 근본적인 위기라고 불리는 것에 초점을 맞추기 위해 19세기에 일반적인 수학 이론과 구별되었다.영어에서 실수의 특정 '정의'에 관한 리처드의 역설은 수학과 메타수학을 구별하지 못하면 쉽게 일어날 수 있는 모순의 한 예이다.잘 알려진 러셀의 역설에 대해 비슷한 것이 언급될 수 있다.
메타수학은 수학 논리와 밀접하게 연결되어 있어서 19세기 후반과 20세기 초반 두 분야의 초기 역사가 크게 겹쳤다.보다 최근에, 수학 논리학은 종종 메타 수학과[citation needed] 직접적으로 관련이 없는 집합 이론, 범주 이론, 재귀 이론 그리고 순수 모형 이론과 같은 새로운 순수 수학의 연구를 포함했다.
심각한 메타수학적인 성찰은 1879년에 출판된 고틀롭 프레게, 특히 그의 베그리프슈리프트의 작품에서 시작되었다.
데이비드 힐버트는 20세기 초에 규칙성을 가지고 "변형수학"이라는 용어를 처음 사용했다.그의 손에서 그것은 다양한 공리화된 수학적 정리를 연구하기 위해 피니터리 방법이 사용되는 현대 증명 이론과 비슷한 것을 의미했다. (Kleene 1952, 페이지 55).
이 분야의 다른 유명한 인물로는 베르트랑 러셀, 토랄프 스콜렘, 에밀 포스트, 알론조 처치, 앨런 튜링, 스티븐 클린, 윌러드 퀴네, 폴 베나케라프, 힐러리 퍼남, 그레고리 차이틴, 알프레드 타르스키, 커트 괴델 등이 있다.
오늘날, 금속학과 메타 수학은 광범위하게 중복되고 있으며, 둘 다 학계의 수학적 논리에 의해 실질적으로 포함되고 있다.
마일스톤
쌍곡기하학의 발견
쌍곡기하학의 발견은 메타 수학에 중요한 철학적 결과를 가져왔다.그것이 발견되기 전에는 단지 하나의 기하학과 수학이 있었다; 다른 기하학이 존재한다는 생각은 있을 것 같지 않은 것으로 여겨졌다.
가우스가 쌍곡기하학을 발견했을 때, 그는 "보이오티안의 상승"을 두려워서 그것에 대해 아무것도 발표하지 않았다고 한다. 이는 그의 수학자 왕자 [1]지위를 망칠 것이다.보이오티아의 업로어는 메타 수학과 수학적 엄격함, 분석 철학과 논리학의 큰 발전을 가져왔다.
베그리프슈리프트
Begriffsschrift(독일어로 "개념 스크립트"라는 뜻)는 고틀롭 프레게가 1879년에 출판한 논리학 책으로, 그 책에 제시된 형식 체계에 관한 책이다.
Begriffsschrift는 보통 개념 쓰기 또는 개념 표기법으로 번역됩니다; 책의 전체 제목은 그것을 "산술의 그것을 모델로 한, 순수한 사고의 공식 언어"로 식별합니다.논리에 대한 그의 공식적인 접근법을 발전시킨 동기는 그의 미적분 평가자에 대한 라이프니츠의 동기와 유사했다. (그의 서문에서 그가 이 목표에 도달했다는 것을 분명히 부인하고, 또한 그의 주된 목표는 라이프니츠와 같은 이상적인 언어를 구축하는 것이지만, 그것은 매우 어렵고 이상적이라고 선언한다.)t불가능한 작업).프레게는 다음 4반세기 동안 수행된 수학의 기초에 대한 그의 연구에 그의 논리 미적분을 사용했다.
프린키피아 매스매티카
프린키피아 매스매티카(Principia Mathematica) 또는 종종 줄여서 "PM"은 원칙적으로 모든 수학적 진실이 증명될 수 있는 일련의 공리와 추론 규칙을 상징 논리로 기술하려는 시도였다.이와 같이, 이 야심찬 프로젝트는 수학과 [2]철학의 역사에서 매우 중요하며, 그러한 사업이 달성될 수 있다는 믿음의 가장 중요한 산물 중 하나이다.그러나 1931년 괴델의 불완전성 정리는 PM, 그리고 사실 다른 어떤 시도도 결코 이 목표를 달성할 수 없다는 것을 확실히 증명했다; 즉, 수학을 캡슐화하기 위해 제안된 일련의 공리와 추론 규칙에는, 사실 그것들로부터 추론할 수 없는 수학의 진실들이 있을 것이다.
PM에 대한 주요 영감과 동기 중 하나는 논리학에 관한 Gottlob Frege의 초기 연구였고, 러셀은 이것이 역설적인 집합의 구축을 가능하게 한다는 것을 발견했다.PM은 임의의 세트를 무제한으로 작성하는 것을 배제함으로써 이 문제를 회피하려고 했습니다.이것은 일반 집합의 개념을 엄격하게 낮은 유형의 집합만 포함할 수 있는 특정 유형의 집합인 다른 '유형' 집합의 계층 개념으로 대체함으로써 달성되었다.그러나 현대 수학은 체르멜로-프랭클 집합론의 체계와 같이 덜 다루기 힘든 방법으로 러셀의 것과 같은 역설을 피한다.
괴델의 불완전성 정리
괴델의 불완전성 정리는 산술을 할 수 있는 가장 사소한 공리 체계를 제외한 모든 것의 본질적인 한계를 확립하는 수학 논리학의 두 가지 이론이다.1931년 Kurt Gödel에 의해 증명된 그 정리들은 수학 논리학과 수학 철학 모두에서 중요하다.이 두 결과는 널리, 그러나 보편적이지는 않지만, 힐버트의 두 번째 문제에 부정적인 답을 주면서, 모든 수학에 대한 완전하고 일관된 일련의 공리를 찾는 힐버트의 프로그램이 불가능하다는 것을 보여주는 것으로 해석됩니다.
첫 번째 불완전성 정리는 이론이 "유효한 절차"에 의해 나열될 수 있는 일관된 공리 체계(예: 컴퓨터 프로그램, 그러나 어떤 종류의 알고리즘일 수도 있음)는 자연수의 관계에 대한 모든 진실을 증명할 수 없다는 것이다.이러한 시스템에 대해서는 항상 참이지만 시스템 내에서 입증할 수 없는 자연수에 대한 설명이 있습니다.첫 번째의 확장인 두 번째 불완전성 정리는 그러한 시스템이 그 자체의 일관성을 증명할 수 없다는 것을 보여준다.
모델 이론적 만족에 대한 타르스키의 정의
T-schema 또는 진실 스키마(Convention T와 혼동하지 말 것)는 알프레드 타르스키의 진실 의미론의 실현의 중심에 있는 진리의 귀납적 정의를 제공하기 위해 사용된다.몇몇 저자들은 그것을 마이클 더밋이 [3]소개한 동의어인 "등가 스키마"라고 부른다.
T-schema는 종종 자연어로 표현되지만, 많은 정렬의 술어 논리나 모달 논리 등으로 공식화될 수 있습니다. 이러한 공식화를 T-이론이라고 합니다.T이론은 철학적 논리학의 많은 기본 작업의 기초를 형성하며, 분석 철학의 몇 가지 중요한 논쟁에 적용된다.
반자연어로 표현된 바와 같이(여기서 'S'는 S로 축약된 문장의 이름): 'S'는 S의 경우에만 참이다.
예: 'snow is white'는 눈이 하얀 경우에만 해당됩니다.
entscheidungsproblem의 불가해성
독일어로 '결단 문제'를 뜻하는 '엔체이둥슈프로블럼'은 [4]1928년 데이비드 힐버트에 의해 제기된 도전이다."Entscheidungsproblem"은 1차 논리의 스테이트먼트(아마도 1차 논리의 일반적인 공리를 넘어서는 유한한 수의 공리를 포함)를 입력으로 받아들여 스테이트먼트가 보편적으로 유효한지, 즉 공리를 만족시키는 모든 구조에서 유효한지에 따라 "Yes" 또는 "No"라고 대답하는 알고리즘을 요구합니다.1차 논리의 완전성 정리에 따르면, 진술은 공리로부터 추론할 수 있는 경우에만 보편적으로 유효하기 때문에, Eentscheidungsproblem은 논리 규칙을 사용하여 공리로부터 주어진 진술이 입증 가능한지 여부를 결정하는 알고리즘을 요구하는 것으로도 볼 수 있다.
1936년, 알론조 처치와 앨런 튜링은 "효과적으로 계산할 수 있는" 직관적인 표기법이 튜링 기계에 의해 계산될 수 있는 함수들에 의해 포착된다고 가정할 때, entscheidungsproblem에 대한 일반적인 해법이 불가능하다는 것을 보여주는 독립적인[5] 논문을 발표했다.이 가정은 현재 처치-튜링 논문으로 알려져 있다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- ^ Torretti, Roberto (1978). Philosophy of Geometry from Riemann to Poincare. Dordrecht Holland: Reidel. p. 255.
- ^ Irvine, Andrew D. (1 May 2003). "Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. Retrieved 5 August 2009.
- ^ Wolfgang Künne (2003). Conceptions of truth. Clarendon Press. p. 18. ISBN 978-0-19-928019-3.
- ^ 힐베르트 아커만
- ^ 처치의 논문은 1935년 4월 19일에 미국 수학회에 제출되었고 1936년 4월 15일에 출판되었다.자신의 결과를 적는 데 상당한 진전을 이루었던 튜링은 처치가 출판되자마자 처치의 증거를 알고 실망했다. (Wayback Machine에서 Archived 2010-06-07 Alonzo Church의 문서인 Archived 2010-06-07에서 Max Newman과 Church 사이의 서신 참조).튜링은 그의 논문을 재빨리 완성하고 서둘러 출판했다; 그것은 1936년 5월 28일 런던 수학 협회 회보에 의해 접수되어 1936년 11월 12일에 읽혀졌고 시리즈 2권 42에 출판되었다; 그것은 1936년 11월 30일에 발행된 파트 3 (페이지 230-240)와 파트 4 (페이지 241-265)의 두 부분으로 나타났다.3, 1936; 튜링은 43권(1937) 페이지 544–546에 수정을 추가했다.Soare: 1996의 말미에 있는 각주를 참조하십시오.
추가 정보
- W. J. Blok과 Don Pigozi, "Alfred Tarski의 일반 메타수학 연구", 기호논리학 저널, v. 53, No.1(1988), 36-50페이지.
- I.J. 좋아요."리처드의 역설에 관한 메모"Mind, New Series, Vol. 75, No. 299 (Jul., 1966), 페이지 431. JStor
- 더글라스 호프스타터, 1980년괴델, 에셔, 바흐빈티지 북스평신도들을 겨냥해서.
- 스티븐 콜 클린, 1952년메타수학 입문북네덜란드수학자들을 겨냥해서.
- Jules Richard, Les Principes des Mathématiques et Probléme des Ensembles, Revue Généale des Sciences Pures et Appliées (1905년), Heijenoort J. van(에 번역), 수학논리학의 소스북 1879-1931년(캠브리지, 1964년)
- 알프레드 노스 화이트헤드, 버트런드 러셀입니다프린키피아 매스매티카, 3권, 케임브리지 대학 출판부, 1910년, 1912년, 1913.1925년 제2판 (1권), 1927년 (2권, 3권)1962년 케임브리지 대학 출판부에서 *56까지 프린치피아 매스매티카로 요약.
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