퍼스트 허비츠 트리플트

리만 표면의 수학적 이론에서, 첫 번째 허위츠 트리플트는 가장 낮은 속들의 동일한 자동모형 집단을 가진 구별되는 허위츠 표면의 세 쌍으로, 즉 14개(세대 3과 7은 각각 클라인 쿼틱과 맥베이트 표면으로 각각 독특한 허위츠 표면을 인정한다.이 현상에 대한 설명은 산술이다.즉, 적절한 수 영역의 정수 링에서 이성적인 소수 13은 세 가지 뚜렷한 소수 이상의 산물로 분열된다.프리타임의 3중으로 정의되는 주요 결합 하위 그룹은 리만 표면의 3중고에 해당하는 푸치안 그룹을 생성한다.

산술구축

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Q}[\rho ]$의 실제 하위 영역으로 두십시오$$. 여기서$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ }은$($는) 통합의 7번째 기본 루트입니다.The ring of integers of K is ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$, where ${\displaystyle \eta =2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})}$. Let ${\displaystyle D}$ be the quaternion algebra, or symbol algebra ${\displaystyle (\eta ,\eta )_{K}}$. Also Let ${\displaystyle \tau =1+\eta +{\eta }^2}$${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$ and ${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$. Let ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j']}$. Then ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm$${Hur}$ }$$}은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}($Hurwitz quaternion order 참조)의 최대 주문으로, 노암 엘키즈가 명시적으로 설명하고 있다[1].

${\displaystyle 첫}$ 번째 Hurwitz 트리플t를 구성하려면, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle }$]${\displaystyle }$]$${\$displaystyle \mathb {Z}[\eta ]}$에서 13의 원시 분해를 고려하십시오$.$

${\displaystyle 13=\eta(\eta +2)(2\eta -1)(3-2\eta )(\eta +3),}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$ (${\displaystyle \eta }$+ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \eta (\eta +2)}$은(는) 변환할 수 없다.또한 불가역적인 요인에 의해 생성된 주요 이상을 고려하십시오.그러한 주요 이상 I에 의해 정의되는 주요 일치 부분군은 정의에 의해 그룹이다.

${\displaystyle {\mathcal{Q}_{\mathrm {Hur}}}^{{x\in {\mathcal{Q}}{\mathrm {Hur}}^{1}:x\equiv 1{\pmod{{Q}}}}}{\mathrmathrmacrm {Hur}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

즉, $이상적$인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$r {\$displaystyle${\$mathcal {Q}_${\$mathrm{$Hur$}}}}}$에 해당하는 Q$$ ${\displaystyle H_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ ur}} ur$}$의 축소된 노르말 그룹$.$해당 후치안 그룹은 PSL(2,R)에 대한 표현으로 주 응집 부분군의 이미지로 획득된다.

첫 번째 허위츠 트리플트의 리만 표면 3개는 각각 이 세 개의 푸치안 그룹 중 하나에 의한 쌍곡면의 지수인 푸치안 모델로 형성될 수 있다.

수축기 길이 및 수축기 비율에 대한 구속

가우스-보넷 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle \chi(\Sigma )={\frac {1}{2\pi }\int_{\Sigma }K(u)\,dA,}$

여기서 $\chi {\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$) ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$은 표면의 오일러 특성이고 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle (u}$) ${\displaystyle K(u)}$은 가우스 곡면성이다.사례 $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle g=14}$은(는)

${\displaystyle \chi }$ (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 26}$ ${\displaystyle \chi (\Sigma )=-$${\displaystyle 26}$$},$ $K$ (${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle K(u)=-1,}$

따라서 우리는 이 표면의 면적이

${\displaystyle \mathrm{52인치}}$ ${\displaystyle 52\pi$ $\}.$

[2]에 지정된 대로 sysstole의 하한값, 즉

${\displaystyle {\frac {4}{3}\log(g(\Sigma )),}$

3.5187이다.

각 표면에 대한 구체적인 세부 사항은 다음 표에 제시되어 있다( 수축기 루프의 수는 [3]개에서 취함).수축기 트레이스라는 용어는 해당 부분군 $Q{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( I$){\displaystyle {\mathcal{Q}_{Hur}^{1}(I)}$에서 원소의 최소 감소된 추적을 가리킨다$.$수축비(systolic ratio)는 수축기 정사각형의 면적 대비 비율이다.

이상	$\displaystyle 3-2\eta \vartriangleleleft O_{K}}$
시스톨	5.9039
수축기 트레이스	${\displaystyle -4\eta ^{2}-8\eta -3}$
수축기 비율	0.2133
수축기 루프 수	91

이상	${\displaystyle \eta +3\vartriangle 왼쪽 O_{K}}$
시스톨	6.3933
수축기 트레이스	${\displaystyle 5\eta ^{2}+11\eta +3}$
수축기 비율	0.2502
수축기 루프 수	78

이상	${\displaystyle 2\eta -1\vartriangleleleft O_{K}$
시스톨	6.8879
수축기 트레이스	${\displaystyle -7\eta ^{2}-14\eta -3}$
수축기 비율	0.2904
수축기 루프 수	364

참고 항목

• (2,3,7) 삼각형 그룹

참조

• Elkies, N. (1999). The Klein quartic in number theory. The eightfold way. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 35. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 51–101.
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). "Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups". J. Differential Geom. 76: 399–422. arXiv:math.DG/0505007.
• Vogeler, R. (2003). "On the geometry of Hurwitz surfaces". Thesis. Florida State University. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)