Kendall 순위 상관 계수

통계학에서 Kendall 순위 상관 계수는 일반적으로 Kendall의 θ 계수(그리스어 문자 θ, 타우 뒤에 있음)로 불리며, 측정된 두 수량 사이의 순서적 연관성을 측정하는 데 사용되는 통계량입니다.θ검정은 θ계수에 기초한 통계의존성에 대한 비모수 가설 검정이다.

각 수량에 따라 순위가 매겨질 때 데이터 순서의 유사성을 나타내는 순위 상관의 척도입니다.구스타프 페치너가 1897년 ^[2]시계열 맥락에서 비슷한 척도를 제안했음에도 불구하고 ^[1]1938년에 이것을 개발한 모리스 켄달의 이름을 따왔다.

직관적으로 두 변수 사이의 Kendall 상관 관계는 관측치가 두 변수 간에 유사하거나(또는 상관 관계가 1) 등급(즉, 변수 내 관측치의 상대적 위치 레이블: 1, 2, 3 등)을 가질 때 높고 관측치가 서로 다른(또는 상관 관계가 완전히 다른) 경우 낮습니다.f -1) 두 변수 사이의 순위.

Kendall의 ${\(\displaystyle\tau)$과 Spearman의 ${\(\displaystyle\rho)$는 모두 보다 일반적인 상관계수의 특수한 경우로 공식화할 수 있다.

정의.

( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$1 )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ( x${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ , ${\displaystyle y_{}}$n $),$ ( $x$ ${\displaystyle n_{}}$ ){ displaystyle ( x$_ {1$} , $y$_ {1} , ... ( x _$$$${ n , $y$_ { $n$} $),$ ( x i \ $displaystyle$ x$_$ {$i$$$} $)$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ i _ { $style$ }의 모든 값이 일치하도록 합니다.관찰의 모든;j{\displaystyle i<, j}, 만약(x,)j){\displaystyle(x_{나는},x_{j})},(y는 나는, yj)의 정렬 순서{\displaystyl 화합하는 사람들이라고 한다 제가 거기 <{\displaystyle(x_{나는},y_{나는})}과()j, yj){\displaystyle(x_{j},y_{j})},(x, y 나는).e(y_{나는},y_{j})}:만약 둘 다 나는입니다. x 즉^;x_{j}}과 y 나는입니다.; 베j{\displaystyle y_{나는}>, y_{j}}또는 둘 다 나는 < x을 보유하고 있다;)j{\displaystyle x_{나는}<, x_{j}}과 y 나는 <, 베j{\displaystyle y_{나는}<, y_{j}}, 그렇지 않으면 그들은 조화를 이루지 못하는 것으로 알려져 있j{\displaystyle x_{나는}&gt에 동의한다..

Kendall δ 계수는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \text{concordant pairs}-{\text{concordant pairs}}}}}}}}=1-{\frac {2discordant pairs}}}}}{n \choose 2}}}.}$^[3]

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{}}$ 2)$=$ (${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$1)$$ ({$displaystyle {n \choose$ 2)={$n(n-1)$ \$over$ 2$)}$는 n개 항목에서 두 항목을 선택하는 방법의 이항 계수입니다.

특성.

분모는 쌍의 조합의 총수이므로 계수는 -1 ≤ 1 1 1 범위여야 합니다.

• 두 순위 간의 합치가 완벽할 경우(즉, 두 순위가 동일할 경우) 계수의 값은 1이다.
• 두 순위 간의 불일치가 완벽할 경우(즉, 한 순위가 다른 랭킹의 역) 계수는 -1 값을 갖는다.
• X와 Y가 독립적이고 일정하지 않으면 계수의 기대치는 0입니다.
• Kendall의 순위 계수에 대한 명시적 표현은 ( - 1)i < j ( - j ) - y $）$ =$displaystyle$\displaystyle $\displayfrac {2}{n(n-1$)}}} \$sum _i<j}\operatorname$ {s_gn$}(x}$이다.

가설 검정

Kendall 순위 계수는 두 변수가 통계적으로 종속적인 것으로 간주될 수 있는지 여부를 결정하기 위해 통계 가설 검정에서 검정 통계량으로 자주 사용됩니다.이 검정은 X 또는 Y의 분포 또는 (X, Y)의 분포에 대한 가정에 의존하지 않으므로 비모수 검정입니다.

X와 Y의 독립성이라는 귀무 가설에서 θ의 표본 분포는 기대치가 0입니다.정확한 분포는 공통 분포로 특성화할 수 없지만 작은 표본에 대해서는 정확히 계산할 수 있습니다. 큰 표본의 경우 평균 0과 분산이 있는 정규 분포에 대한 근사치를 사용하는 것이 일반적입니다.

${\displaystyle \frac{2}{}}$( ${\displaystyle \frac{2n}{}}$ +${\displaystyle \frac{5}{}}$ )${\displaystyle \frac{9}{}}$n (${\displaystyle \frac{n}{}}$ -${\displaystyle \frac{1}{}}$ $){$ $displaystyle { 2$( 2$n$ + 5 ) }{ 9$n$ ( $n-1$ )$\}$^[4] 。

동점자의 어카운팅

쌍${\displaystyle }${ ( ${\displaystyle x_{}}$i , ${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$)${\displaystyle }$, ( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ ) $}$ { $displaystyle$ \ { ( $x _$i , x$_$ { $j$} , ( $y$_ {$i$ , $y$_ { $j$} )$\}}$ ${\displaystyle x_{}}$ i $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle x_{i$}=$x_{j}}$ $또는$ ${\displaystyle y_{}}$ i $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\${i}=$y_{$j$\}\}$일 경우 동점이라고 하며, 동점 쌍은 일치하지도 불일치하지도 않습니다.데이터에서 동치 쌍이 발생하면 계수를 [-1, 1] 범위로 유지하기 위해 여러 가지 방법으로 수정할 수 있습니다.

타우아

Tau-a 통계량은 교차표의 연관성을 검정합니다.두 변수 모두 순서형이어야 합니다.타우는 넥타이에 대해 어떠한 조정도 하지 않을 것이다.다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle\displaystyle_{A}=snfrac{n_{c}-n_{d}}{n_{0}})$

여기서_c n, n_d 및₀ n은 다음 항과 같이 정의됩니다.

타우브

Tau-a와 달리 Tau-b 통계량은 ^[5]동점을 조정합니다.Tau-b 값의 범위는 -1(100% 음의 연관성 또는 완전 반전)에서 +1(100% 양의 연관성 또는 완전 일치)입니다.값 0은 연관성이 없음을 나타냅니다.

Kendall Tau-b 계수는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle _{B}=snfrac {n_{c}-n_{d}}{\snfrt {(n_{0}-n_{1})(n_{0}-n_{2}}}}}}$

어디에

${\displaystyle{\begin{정렬}n_{0}&, =n(n-1){1}&,=\sum _ᆮt_ᆯ(t_{나는})){2}&,=\sum _ᆱu_ᆲ(u_{j})){c}&, ={화합하는 쌍의 \text{수}}\\n_{d}&, ={조화를 이루지 못하는 쌍의 \text{수}}\\t_{나는}&, ={ 비겨값에 \text{수}}i^{\text{월}}{관계의 첫번째 양을 위해 \text{그룹}}\\u_{j}&^{\tex.T{번으로 동점 값톤에he }}j^{\text{th}}{\text{두 번째 수량}}\end{aligned}}}$

BASIC에서 개발된 간단한 알고리즘은 대체 공식을 사용하여 Tau-b 계수를 계산합니다.^[6]

SPSS와 같은 일부 통계 패키지는 '통상' 일치 쌍과 불일치 ^[7]쌍 수의 두 배로 계산 효율성을 위해 대체 공식을 사용한다.

타우시

Tau-c(^[8]Stuart-Kendall Tau-c라고도 함)는 비제곱(^[8][9]예: 직사각형) 분할표를 기반으로 한 데이터 분석에 Tau-b보다 적합합니다.따라서 두 변수의 기본 척도가 가능한 값 수가 같으면 Tau-b를 사용하고 순위가 매겨지기 전에 Tau-c를 사용합니다.예를 들어 한 변수는 5점 척도(매우 양호, 양호, 평균, 불량, 매우 불량)로 점수를 매기는 반면 다른 변수는 더 미세한 10점 척도로 점수를 매길 수 있습니다.

Kendall Tau-c 계수는 다음과 ^[9]같이 정의됩니다.

$\displaystyle _{C}=snfrac {2(n_{c}-n_{d}}{n^{2}{\frac {(m-1)}}}$

어디에

${\displaystyle {begin{aligned}n_{c}&=n_{d}&=nextext{행의 수}\c&=nextext{컬럼의 수}\m&=min(rc,\end{}}}}}$

중요도 테스트

$두{\displaystyle }$ 수량이 통계적으로 독립되어 있는 경우, $§$ {$displaystyle \tau}$ 분포는$$ 알려진 분포로 쉽게 특성화할 수 없습니다.${\displaystyle {단}_{}}$, § A$${\$displaystyle \tau$ _${A}$의 경우 ${\displaystyle {다음}_{}}$ $통계정보{\displaystyle {}_{}}$ z A$${\$displaystyle z_{$$A$ 은 변수가 통계적으로 독립되어 있는 경우 대략 표준 정규 분포를 따릅니다.

${\displaystyle z_{A}={3(n_{c}-n_{d})\over({crt {n(n-1)(2n+5)/2}}}$

따라서 두 변수가 통계적으로 종속되는지 여부를 테스트하기 위해 ${\displaystyle z_{}}$ A$(\$를 $계산$합니다.$A$에서 표준 정규 분포의 누적 확률을 - ${\displaystyle z_{}}$ A$displaystyle$- $z_{A}$$}$ )에서${\displaystyle }$구합니다. 2-꼬리 검정의 경우 이 숫자에 2를 곱하면 p-값이 됩니다.p-값이 주어진 유의 수준보다 작으면 수량이 통계적으로 독립적이라는 귀무 가설을 기각합니다.

${\displaystyle z_{}}$ A$(\$에 많은 조정을 추가해야 합니다.$A$$}}:$ 동점을 설명할 때.${\displaystyle {다음}_{}}$ $통계정보{\displaystyle {}_{}}$ z B$(\$는 §$$(\$displaystyle\tau_{B})$ 분포와$$ 동일한 분포를 가지며, 수량이 통계적으로 독립되어 있는 경우 다시 표준 정규 분포와 거의 동일합니다.

${\displaystyle z_{B}={n_{c}-n_{d}\over {brt {v}}}$

어디에

${\displaystyle {array} {cl} v&=&(v_{0}-v_{t}-v_{u})/18+v_{1}+v_{2}\\v_{0}&=&n(n-1)(2n+5)\v_{t}&=_{i}t_{i}(t_{i}-1)(2t_{i}+5)\v_{u}&=_{ju}(u_{ju}-1)\\v_{2}&=_{i}t_{i}(t_{i}-1)(t_{i}-2)\sum_{j}u_{j}(u_{j}-1)(u_{j}-2)/(9n(n-1)(n-2)\endarray}}$

이것은 Mann-Kendall ^[10]테스트라고 불리기도 합니다.

알고리즘

$분자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle n_{}}$d \ $displaystyle$ n$_$ { $c$} - n$_$ { $d$의 직접 계산에는 다음 의사 코드로 특징지어지듯이2개의 중첩된 반복이 포함됩니다.

number := 0(i := 2의 경우)j : = 1..(i - 1)에 대한 N do는 : = number + sign(x[i] - x[j]) × sign(y[i] - y[j])를 반환합니다.

이 알고리즘은 구현이 빠르지만 복잡도가 O${\displaystyle ({n\mathrm{}}^{}}$2$)(\displaystyle$ O$(n^{2})$이므로 큰 샘플에서는 매우 느립니다.Merge Sort 알고리즘을 기반으로 구축된 보다 정교한^[11] 알고리즘을 사용하여 O${\displaystyle (n\log }$ log${\displaystyle n}$n $)(\displaystyle O(n\cdot \log$ {n$})$ $시간$으로 분자를 계산할 수 있습니다.

첫 번째 데이터 포인트 정렬은 첫 번째 $수량$인$x$(\$displaystyle$ x$)$로, 두 번째$($\$displaystyle$ x$)$는 두 번째$수량$인 y(\$displaystyle$ y$)$로 정렬됩니다.이 첫 번째 $순서$에서는$$y\$displaystyle$y는 정렬되지 않으며 알고리즘의 핵심은 Bu의 스텝 수를 계산합니다.bble Sort는 이 $초기{\displaystyle }$ y$\backslash$$displaystyle$y_style 정렬에 필요합니다.확장 머지 정렬 알고리즘은 O${\displaystyle (n}$ log${\displaystyle n}$n$)$ {$displaystyle$ O$(n\log$n)}의$$ 복잡도를 $사용$하여 S${\displaystyle (}y{\displaystyle }$)$${$displaystyle$ S$($$)}$의 $수$를 계산할 수 있습니다$.$$다음$으로$$§의 분자(\$displaystyle\tau)$는 다음과 같이 계산됩니다.

${\displaystyle n_{c}-n_{d}=n_{0}-n_{1}-n_{2}+n_{3}-2S(y)}$

$여기$서 $({$은 $({$ 및$$ $({$와 $같이{\displaystyle }$ 계산되지만 x$({displaystyle$ x$}$ 및$$$$y({$displaystyle$y$\})$의 조인트 타이에 대해서는 계산됩니다.

Merge Sort에서는 정렬할 데이터를 $\$$$$y_${\mathrm {left}} 및$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}${\$displaystyle y_{\mathrm {right$의 2개의 거의 동일한 절반으로 분할한 후 각 절반씩 재귀적으로 정렬한 후 완전히 정렬된 벡터로 병합합니다.버블 정렬 스왑의 수는 다음과 같습니다.

$({displaystyle S(y_{\mathrm {left} }) = S(y_{\mathrm {right}) } + M(Y_{\mathrm {left} } } ,Y_{\mathrm {rm {rm {rm {right} } } } } } } )$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 Y ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ {\$displaystyle$Y_{\$mathrm${left$}}$ 및 ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ $i$ g$$${\displaystyle {\mathrm{h}}_{}}$ {\$displaystyle Y_{\mathrm$ ${$${\displaystyle {\mathrm{right}}_{}}$$}}$는 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ {\$displaystyle y_{\mathrm$ {$rm${rm {right${\displaystyle \}\}\}\}<img\; alt="y\_\{\backslash mathrm\; \{right\}\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6bd9c3d7aabc5284301d154dad11a666438901d6"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:4.849ex;\; height:2.343ex;">}$의 정렬된 버전입니다${\displaystyle .}$는 머지 조작에 대응하는 버블소트 스왑을 변환합니다.${\displaystyle M}$( "${\displaystyle }$,${\displaystyle }$" )$${$display M$( \ $cdot$, \ $cdot$) } 은$$ 다음 의사 코드에 나타나듯이 계산됩니다.

함수 M(L[1..n], R[1..m])은 i : = 1 j : = 1 nSwaps : = 0인 반면, i n n 및 j ≤ m은 R[j] < L[i]이면 nSwaps + i + 1 j : = i + 1 = i + 1이다.

위의 스텝의 단점은 x$(\displaystyle$ x$)$의$$정렬 버전과 y(\$displaystyle$ y$)$의 $정렬{\displaystyle }$ 버전 모두로 끝나는 것입니다.이것에 의해, ${\displaystyle b_{}}$ B$(\$B})의$$ 계산에 사용되는 $계수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$$displaystyle$ $t_i}$와$u_{j})$는, a(\displaystyle \tau_${$$b$})로 간단하게 구할 수 있습니다.단일 선형 시간이 정렬된 어레이를 통과합니다.

소프트웨어 구현

• R 의 통계 베이스 패키지는, 그 「stats」패키지로 테스트를 실장합니다).cor(x, y, method = "kendall")는 동작합니다만, 나중에 p-value를 반환하지 않습니다).
• Python의 경우 SciPy 라이브러리는 $§(\displaystyle\tau)$의 연산을 구현합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 상관 관계
• 켄달 타우 거리
• 켄달스 W
• 스피어맨 순위 상관 계수
• 굿맨과 크루스칼의 감마
• 테일-센 추정기
• Mann-Whitney U 검정 - 변수 중 하나가 이항 변수인 경우 Kendall의 타우 상관 계수와 동일합니다.

레퍼런스

추가 정보

• Abdi, H. (2007). "Kendall rank correlation" (PDF). In Salkind, N.J. (ed.). Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage.
• Daniel, Wayne W. (1990). "Kendall's tau". Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 365–377. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Kendall, Maurice; Gibbons, Jean Dickinson (1990) [First published 1948]. Rank Correlation Methods. Charles Griffin Book Series (5th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0195208375.
• Bonett, Douglas G.; Wright, Thomas A. (2000). "Sample size requirements for estimating Pearson, Kendall, and Spearman correlations". Psychometrika. 65 (1): 23–28. doi:10.1007/BF02294183.

외부 링크

• 동점계산
• 대규모 데이터셋에서 Kendall의 Tau를 계산하는 소프트웨어
• 온라인 소프트웨어: Kendall의 타우 랭크 상관관계를 계산합니다.
• CORR 절차: 통계 계산 – 맥도날드 경영대학원