비라소로 등각 블록

2차원 컨포멀 필드 이론에서, 비라소로 컨포멀 블록(Miguel Angel Virasoro의 이름을 딴)은 상관 함수의 구성 요소 역할을 하는 특수 함수입니다.구멍이 뚫린 리만 표면에서, 비라소로 등각 블록은 등각 워드 식별자의 해 공간의 특별한 기초를 형성한다.토러스 위의 0점 블록은 비라소로 대수의 표현 문자이며, 구의 4점 블록은 특수한 경우 초기하 함수로 감소하지만 일반적으로 훨씬 복잡합니다.다른 차원들과 마찬가지로 2차원에서도 컨포멀 블록은 컨포멀 필드 이론에 대한 컨포멀 부트스트랩 접근법에 필수적인 역할을 한다.

정의.

OPE의 정의

오퍼레이터 프로덕트 익스팬션(OPEs)을 사용하여 구면상의 N ${displaystyle$ N $}$ 점 $N$ $N$ 를 3점 구조 상수와N{ $displaystyle$ N}점 $N$ 등각 ^[1]^[2] $N$ 이라는 보편량의 조합으로 작성할 수 있습니다.

$(\displaystyle$ N $)$ 포인트 $N$ 함수의 경우 사용되는 OPE에 따라 여러 유형의 적합 블록이 있습니다.N $N=4$ $N=4$ {\ $style$ N $=4$ 인 경우, 동일한 4점 함수의 3가지 가능한 분해에 해당하는 3가지 유형의 컨포멀 블록이 있습니다.도식적으로, 이 분해들은

\displaystyle \left\mathcal {F}_{1}V_{3}V_{4}\right\rangle =\sum_{s}C_{s34}{\mathcal {F}_{s}^{\text{s-channel}}=\sum _{t}C_{t23}{\mathcal {F}_{t}^{\text{(t채널)}=\sum _{u}C_{13u}C_{24u}{\mathcal {F}_{u}^{\text{(u채널)}}\ ,}

$C$ 서 C $(\displaystyle$ C $)$ 는 $C$ 구조 상수이고 ${\mathcal {F}}$ F(\ $displaystyle {F})$ 는 ${\mathcal {F}}$ 적합 블록입니다.그 합계는 CFT의 스펙트럼에 나타나는 등각대수의 표현에 대한 것이다.OPE는 스펙트럼, 즉 표현의 표현과 상태에 대한 합계를 포함하지만, 상태에 대한 합계는 적합 블록에 흡수된다.

2차원에서 대칭대수는 좌이동과 우이동이라고 불리는 비라소로 대수의 두 복사본으로 인수분해된다.필드가 인수분해되면 컨포멀 블록도 인수분해되며, 인자를 Virasoro 컨포멀 블록이라고 합니다.왼쪽 이동 Virasoro Conformal 블록은 필드 $z_{i}$ $i의$ 로컬 홀모픽 함수이며 오른쪽 이동 Virasoro $Conformal$ 블록은 z ${\bar {z}}_{i}$ 의 ${\bar {z}}_{i}$ 기능과 $동일합니다$ Virasoro Conformal 블록으로 컨포멀 블록의 인수분해는 다음과 같다.

{\displaystyle\mathcal {F}}_{s_{L}\otimes s_{R}^{\text{(s-channel)}}}({z_{i}\})=parammathcal {F}_{s_{L}}^{\text{(s채널, Virasoro)}{{z_{i}\}{\mathcal {F}_{s_{R}}^{\text{{\bar {z}_{i}\}},

$s_{L},s_{R}$ 서 s L $s_{L},s_{R}$ $s_{L},s_{R}$ $s_{L},s_{R}$ {\ $style s_{L}, s_{R}}$ 은 $s_{L},s_{R}$ 각각 좌회전 및 우회전 Virasoro 대수의 표현이다.

Virasoro Ward 아이덴티티로부터의 정의

컨포멀 워드의 동일성은 컨포멀 대칭의 결과로 상관 함수가 따르는 선형 방정식입니다.

2차원에서 적합 워드의 정체성은 좌회전 및 우회전 비라소로 워드의 정체성으로 분해됩니다.Virasoro Conformal 블록은 Virasoro Ward ^[3]^[4]정체성의 해결책입니다.

OPE는 4점 블록의 경우 s채널 베이스와 같은 Virasoro 컨포멀블록의 특정 베이스를 정의합니다.OPE에서 정의된 블록은 Ward ID에서 정의된 블록의 특수한 경우입니다.

특성.

상관함수가 따르는 모든 선형 정형 방정식은 대응하는 등각 블록에도 적용되어야 합니다.또한 적합 블록의 특정 베이스에는 상관 함수에서 상속되지 않는 추가 속성이 있습니다.

프라이머리 필드만 포함하는 컨포멀블록은 비교적 단순한 속성을 가집니다.그런 다음 하위 필드를 포함하는 적합 블록은 로컬 Ward ID를 사용하여 추론할 수 있습니다.프라이머리 필드의 s채널4점 블록은 $z_{i},$ $,$ \ $displaystyle z_{i}$ 의 $\Delta _{i},$ $z_{i},$ 4개 필드의 등각 치수 $\Delta _{s}$ , \ $displaystyle$ $\Delta _{s}$ \ $Delta$ _ ${i$ $}$ 및 s채널 등각 치수 $\$ \ $Delta$ _{s $\Delta _{s}$ 에 따라 달라집니다. ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),$ 로 쓸 수 있습니다. ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),$ ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),$ i $),$ {\ $displaystyle {\mathcal {F}}$ _{\ $Delta _$ {s $}^{(s)}(Delta$ _ ${i}$ \{ $z_{i}\}),$ 비라소로 ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),$ 대수의 중심 전하 의존성이 암묵적으로 유지됩니다.

선형 방정식

대응하는 상관함수로부터 컨포메탈블록은 글로벌 및 로컬 Ward ID의 선형방정식 및 적어도1개의 필드가 ^[2]열화되었을 경우의 BPZ방정식을 상속한다.

특히 구면상의 $N개$ (\ $style$ N $)$ 포인트 $N$ $N$ 에서 글로벌 워드의 ID는N개(\ $style$ N $)$ $N$ 위치에 대한 의존도를 N $N-3$ - $N-3$ (\ $displaystyle$ N-3 $)$ 교차 $N-3$ 비율에 $N-3$ 의존도로 낮춥니다. $N=4,$ $N=4,$ 인 경우 $,$ {\ $displaystyle$ N $=4,}$

({displaystyle {mathcal {F}}_{s}{{\Delta _{i}\} \{z_{i}\})=z_{23}^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}+\Delta _4}_{13}^{2})

$z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ 서 z i $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ $=$ $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ - $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ j $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$ , (\ $displaystyle z_{ij$ }= $z_{i}-z_{j})$ 및 $z_{ij}=z_{i}-z_{j},$

z=snarfrac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}

는 크로스 레이트로, 축소 블록 ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ ( ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ s ) ( { ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ $z$ ){ ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ $displaystyle$ ${ mathcal$ { $F$ } $_$ { \ $Delta _$ { i $} \ z$ }는 ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)$ 3개의 위치가 ( $(0,\infty ,1),$ , $, 1$ )로 $(0,\infty ,1),$ 송신되는 원래의 블록과 $일치합니다.$

{\mathcal {F}}_{\Delta _{i}\}z}={\Delta _{s}^{(s)}({\Delta _{i}\}z,0,infty,1)입니다.

특이점

상관 함수와 마찬가지로 두 필드가 일치할 때 등각 블럭은 단수입니다.상관 함수와는 달리, 등각 블럭은 이러한 특이점 중 일부에서 매우 단순한 동작을 가집니다.OPE의 정의에 따라 s채널 4점 블록은 준수합니다.

{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}^{{\Delta _{i}\}z}{\underset {z\to 0}{=}}z^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\{{{\delty}}}^{{{n}}}}}^{{{{{\}}}}}}}}}}}}}{{{{\delty}}}}}}}}}}}}}

일부 $c_{n}.$ $.$ {\ $displaystyle c_{n}$ 반면에 $c_{n}.$ , s채널 블록은 z $z=1,\infty$ $z=1,\infty$ , ${\$ {\ $display$ z $=1,\$ $infty$ $z=1,\infty$ 에서 복잡한 단일 동작을 가집니다. z $z=\infty .$ $z=1$ { $style$ z $=1$ 에서 단순한 T채널 블록과 z = display z $= style$ 에서 단순한 $z=\infty .$ $블록$ 입니다.

BPZ 미분방정식에 따르는 4점 $z=0,1,\infty$ 에서 z $z=0,1,\infty$ , ${\$ \ $display$ z $= 0$ , 1 $,$ \ $infty }$ 는 $z=0,1,\infty$ 미분방정식의 정칙특수점이고, $\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}$ s - $\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}$ 1 - ${\$ 2 \ $display style$ \ $Delta _$ { s } - $Delta _$ 1 - { $ta$ } $n$ 의 미분방정식의 경우 $n개의 {displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 특성지수는 퓨전규칙에 의해 허용된 $δ의$ $n$ 의 { $displaystyle n}개$ 의 $n$ $\Delta _{s}$ 값에 대응합니다.

필드 순열

$V_{i}(z_{i})$ V $V_{i}(z_{i})$ i ( $V_{i}(z_{i})$ $){displaystyle V_{i}(z_{i})$ 의 $V_{i}(z_{i})$ 순열은 상관 함수를 남깁니다.

\displaystyle \left\rangle _{i=1}^{N}V_{i}(z_{i})\right\rangle }

불변성이기 때문에 서로 다른 기준의 등각 블록이 관련지어집니다.4포인트 블록의 경우 t채널 블록은 다음과 같이 s채널 블록과^[2] 관련지어집니다.

{F}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{3},z_{2},z_{3},z_{4}=displaystyle {F}_{\Delta}({})^{s

또는 동등하게

{F}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{3},\Delta _{4}z)=parammathcal {F}_{{\Delta }, _4},

융접 행렬

s채널에서 t채널4 포인트블록으로의 베이스 변경은 퓨전 매트릭스 $($ 또는 퓨전커널) $F$ (\ $displaystyle$ F $F$ 에 의해 다음과 같이 특징지어집니다.

({displaystyle {mathcal {F}}_{s}_{{\Delta _{i}\} \{z_{i}\})=\int _{i\mathbb {R}}dP_{t}\F_{\Delta _{s},\delt}\matrix})델타 _{2}&\Delta _{3}\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}{\mathcal {F}}_{{t}}{(\Delta _{i}\} \{z_i}\}}.}

퓨징 매트릭스는 중앙 전하 및 등각 치수의 함수이지만 $.\{display$ style $z_{i}$ $z_{i}.$ 에 따라 달라지지 않습니다.} $P_{t}$ t { $display$ style P _ $P_{t}$ { t }는 치수 $\Delta _{t}$ t { display $style$ \ $Delta$ _ { t $P_{t}$ $\Delta _{t}$ }로 정의됩니다 $.$

({displaystyle \Delta = scfrac {c-1}{24})-P^{2}).

$P\in i\mathbb {R}$ P $P\in i\mathbb {R}$ i $P\in i\mathbb {R}$ \ $displaystyle$ P \ $in$ i \ $mathbb { R$ }는 Liouville 이론의 스펙트럼에 해당합니다 $P\in i\mathbb {R}$ .

또한 중앙 $충전$ c $\displaystyle$ c $\displaystyle$ Q $c$ $b의$ 두 가지 $Q,b$ 도 도입해야 합니다 $.$

c=1+6Q^{2},\qquad Q=b+b^{-1}.

$P_{i}\in i\mathbb {R}$ $c\notin (-\infty ,1)$ ( - $c\notin (-\infty ,1)$ , $c\notin (-\infty ,1)$ $){$ $displaystyle$ c $\notin$ ( \ $infty$ , $1$ ) } $P_{i}\in i\mathbb {R}$ Pi $P_{i}\in i\mathbb {R}$ R $P_{i}\in i\mathbb {R}$ { \ $displaystyle$ P_{i}\ $in$ i\ $mathbb {R$ 라고 $c\notin (-\infty ,1)$ 가정하면 퓨징 매트릭스의^[5] 명시적 표현은 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일F_{\Delta_{s},\Delta_{t}}&{\begin{bmatrix}\델타 _{2}&\Delta _{3}\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}=\&=left(\frac _{\pm }{{b}(Q\pm 2P_{s}){\Gamma_{{p}})\Delta _{+}(P_{2},P_{3},P_{t}}{\Delta _{-}(P_{1},P_{2},P_{s})\Delta _{-}(P_{3},P_{4},P_{s}}}\times \int _{\frac {Q}{4}}+i\mathbb {R}}du\left(u-P_{12s}\오른쪽)S_{b}\left(u-P_{s34}\오른쪽)S_{b}\left(u-P_{23t}\오른쪽)S_{b}\left(u-P_{t14}\오른쪽)\&\qquad \times S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{1234}\오른쪽)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st13}\오른쪽)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st24}\오른쪽)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u\right)\end {aligned}}}

여기서 $\Gamma _{b}$ b $(\$ 는 $\Gamma _{b}$ 이중 감마 함수입니다.

디스플레이 스타일S_{b}(x)&=gamfrac {Gamma _{b}(x)}{\Gamma _{b}(Q-x)}}\\[6pt]\델타 _{\ilon }(P_{1},P_{2},P_{3})&=\prod _{\underset {1}\ilon _{2}\ilon _{3}=\ilon }{\ilon _{1},\ilon _{2},\ilon _{3}=\gamb}_{\}_ma}_ma}_{\clon_{\clon}_{\clon_{\clon}_{\clon_{\clon}_{\clon}_}_{\cl\[6pt]P_{ijk}&=P_{i}+P_{j}+P_{k}\end{aligned}}

${\$ $\Delta _{i}$ { $display$ style \ $Delta$ $\Delta _{i}$ _ { $i$ } in $P_{i}$ $P_{i}$ in in in in in in in $-$ - - - - - - （ \ $display style$ \ $Delta$ $_$ $P_{i}$ { i $P_{i}$ $\Delta _{i}$ } - - $p$ p $P_{i}$ $\Delta _{i}$ p p p - $-$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - $스타일$ P_ ${i}\to -P_{i$ 퓨징 매트릭스 식에서 적분은 쌍곡선 반즈 적분입니다.정규화까지는 퓨전행렬은 $P_{s},P_{t}$ , $P$ t $(\$ t $P_{s},P_{t}$ }) 및 $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ b $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ - $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ , $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ $b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ $(\$ 하여 루이세나르의 하이퍼기하 함수와 일치합니다.

구면상의 N $(\displaystyle$ N $)$ 점 $N$ $N$ 에서는 서로 다른 OPE 시퀀스에서 정의된 두 블록 세트 간의 베이스 변경은 항상 퓨전 매트릭스와 S 채널 ^[3]블록의 처음 두 필드의 순열을 설명하는 단순한 매트릭스로 기술할 수 있습니다.

{\mathcal {F}}_{s}^{(s)}(Delta _{1},\Delta _{3},z_{2},z_{3},z_{4}=e^{i\Delta _{-})_Delta _{Delta _{}

등각 블록의 계산

정의부터

OPE의 정의는 다음과 같은 유형의 s 채널 표현에서 s 채널 4 포인트 컨포멀 블록의 합계로 표현됩니다.

{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}^{i}\}z}=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}-\sum _{L,L'}z^{f}^{{f}}^{{f}}}{{{\dis}}}})L}Q_{L,L'}^{s}f_{43s}^{L'}\ .

합계는 Virasoro 대수의 $생성$ ${모드}^{}$ L, L $′$ { $displaystyle$ L, $L`,$ 즉 $L,L'$ Virasoro 생성기의 L $L=\prod _{i}L_{-n_{i}}$ $L=\prod _{i}L_{-n_{i}}$ $L=\prod _{i}L_{-n_{i}}$ - $L=\prod _{i}L_{-n_{i}}$ ( \ $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ L = \ $prod$ _ { $i$ } $L$ _ { - $n$ $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ { n $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ { i $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ $}$ )의 $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ 입니다 $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots$ $|L|=\sum n_{i}$ {\ $displaystyle$ L $=\sum n_{i$ 이러한 생성기는 규격 치수 $\Delta _{s}$ {\ $displaystyle \Delta$ _ ${s$ 의 Verma 모듈의 기본 상태에 대응합니다. $f_{12s}^{L}$ $f_{12s}^{L}$ $f_{12s}^{L}$ L {\ $style f_{12s}^{L}$ 은 $f_{12s}^{L}$ 명시적으로 알려진 $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L$ 1, $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L$ 2, $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L$ s $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L$ {\ $displaystyle \Delta$ _ { $1},\Delta _{s$ 의 함수입니다.매트릭스 $Q_{L,L'}^{s}$ Q $Q_{L,L'}^{s}$ , $Q_{L,L'}^{s}$ s \ $displaystyle$ Q _ { $L$ , L ' }^{ $Q_{L,L'}^{s}$ s }는 $Q_{L,L'}^{s}$ c $c,\Delta _{s},L,L'$ , $c,\Delta _{s},L,L'$ 、 $c,\Delta _{s},L,L'$ L , ${\$ \ $displaystyle$ c , \ $Delta$ _ { $s$ , $L$ , L ' $c,\Delta _{s},L,L'$ }의 $c,\Delta _{s},L,L'$ 함수이며, L $|L|\neq |L'|$ L l $L$ L ges $|L|\neq |L'|$ L ges ges $|L|\neq |L'|$ L ges L ges $ges$ ges ges ges $ges$ ges q q q q q q q q q c c c c c c c c c c $isplaystyle$ N $N$ $|L|=1$ $|L|=1$ $=$ 1 { $displaystyle$ L = $1$ 이 표시됩니다.

{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}^{i}\}z}=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}{\Bigg \{1+}\frac {\Delta + {\Delta}}

(특히 Q $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ - $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ , L - $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ 1 2 $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ s { $display$ Q _ { $L$ _ { - $1$ } , L _ { - 1 } }^{ s } = $squal$ frac { $1$ } { $2$ \ $Delta$ _ { $s$ }} $Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}$ )))) $c$ { $display style$ c} ） $c$ 。

자몰로드치코프의 재귀 표현

Alexei Zamolodchikov의 4점 블록 재귀 표현에서 교차 비율 z $(\displaystyle$ z $)$ 는 $z$ nome을 통해 나타납니다.

{\displaystyle q=\exp -\pi {F(\frac {1}{2},1,-z)}{F({\frac {1}{2},{\frac {1},1,z}}}:\frac z=frac{2}{{2}}{\frac{2}}}{{f}}}{frac{{{{f}}}}}{frac{frc}}}}{frac{frc}}}{frac{frc}}}{frc}}}}{frc

$F$ 서 F $(\displaystyle$ F $)$ 는 $F$ 초기하 함수이며, Jacobi Theta 함수를 사용했습니다.

\displaystyle \theta _{2}(q)=2q^{\frac {1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\sum,\theta _{3}(q)=\sum _{n\in\mathbbb {Z}}{n^{n^{n}}}}}}}}

표현은 유형입니다.

{\mathcal {F}_{\Delta }^{(s)}=(16q)^{\Delta - {\frac {1}{4}}Q^{2}z^{\frac {1}{2}-{Delta}_1-{Delta}Q^{2}-4(\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4})H_{\Delta}({\Delta_{i}\}q)\ .

$H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ ( { $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ i $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ ){ $displaystyle$ H_ ${\Delta$ }({\ $Delta$ _ ${i}\}$ q)는 $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ q {\ $displaystyle$ q $q$ 의 멱급수입니다.

H_{\Delta _{i}\}q}=1+\sum _{m,n=1}^{\infty}{\frac {(16q)^{mn}}{\Delta - {(m,n)}}}R_{m,{Delta _{Delta _{m,n}}_{Delta _{{Delta}}_{Delta}_{Delta}

이 공식에서 극의 위치 $\Delta _{(m,n)}$ ( $\Delta _{(m,n)}$ , $\Delta _{(m,n)}$ ) { $displaystyle$ \ $Delta$ _ { ( $m , n$ )}는 $\Delta _{(m,n)}$ 운동량에 대응하는 축퇴 표현 치수이다.

P_{(m,n)}=param frac {1}{2}}\left(mb+nb^{-1}\right)\ .

$R_{m,n}$ $R_{m,n}$ m $R_{m,n}$ (\ $display style$ R_ ${m,n})$ 은 $R_{{m,n}}$ 다음과 같습니다.

{\displaystyle R_{m,n}=pairfrac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}{\prod_{r=1-m}^{m}\pair_{s=1-n}^{n}2P_{{(r,s)}}\prod_{roverset{{{m}{m}{m}{m}{{{m}{{{{{{{m}}}}{m}}{m}{m}}{m}}}{m}}{{{{

여기서 $=$ $({$ }{=})의 ${\overset {2}{=}}$ 위 첨자는 2 $displaystyle$ 2) $씩$ 증가하는 제품을 나타냅니다. $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ ( $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ { $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ i $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ ) { $displaystyle$ H_{\ $Delta$ }({\ $Delta _{$ i}\} $q$ )}의 $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ 재귀 관계를 풀 수 있으며, 명시적(^[2]^[8]실용적이지 않은) 공식을 생성할 수 있습니다.

$H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ H $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ { $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ } $H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ q $)$ { $displaystyle$ H_{\ $Delta$ } ({\ $Delta _{i$ }\} $q$ })의 계수는 단일 이론에서 양수일 필요는 없지만, $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ 1 $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ ( $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ - $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ k ) - $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ H $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ { $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ } } } $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ H_ ${\$ _ ${i}\} q$ )}은 $\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})^{-{\frac {1}{2}}}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)$ (는) 베개 지오메트리의 상태 합계에 대한 이 조합의 해석 때문에 양수이다.

재귀 표현은 $\Delta =\infty$ $\Delta =\infty$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $Delta$ = \ $infty$ 주변의 확장으로 볼 수 있습니다 $.$ 재귀 $\Delta$ $c$ 은 $\Delta$ \ $displaystyle$ \ $Delta }$ - recursion과 $c$ 구별하기 위해 $\Delta$ δ \ $displaystyle$ \ Delta } - recursursursion이라고 불리기도 합니다. $c=\infty$ $c=\infty$ { $displaystyle$ c = \ $infty$ 두 표현 모두 임의의 리만 표면에 ^[10]있는 N { $style$ N $}$ - 점 $N$ Virasoro conformal $N$ 로 일반화할 수 있습니다.

인스턴트온 카운트와의 관계에서

알데이-가요토-2차원 컨포멀 필드 이론과 초대칭 게이지 이론의 컨포멀 블록과 4차원의 네크라소프 분할^[11] 함수 사이의 타치카와 관계는 영 다이어그램의 합계로서 컨포멀 블록의 조합식으로 이어진다.각 다이어그램은 비라소로 대수의 표현에서 아벨리안 아핀 리 ^[12]대수를 곱한 상태로 해석될 수 있습니다.

특수한 경우

토러스 0점 블록

0점 블록은 필드 위치에 의존하지 않지만 기본 리만 표면의 모듈리에 의존합니다.토러스의 경우

{\displaystyle {\frac {C} {\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z}}},

이 의존성은 $q=e^{2\pi i\tau }$ $q=e^{2\pi i\tau }$ $q=e^{2\pi i\tau }$ 2 $q=e^{2\pi i\tau }$ $q=e^{2\pi i\tau }$ {\ { $displaystyle$ q $q=e^{2\pi i\tau }$ = e $^{2\pi$ i $\display }}}$ 을 $q=e^{{2\pi i\tau }}$ 통해 더 잘 기록되며, Virasoro 대수의 ${\mathcal {R}}$ R(\ $displaystyle$ \mathcal ${R})$ 과 ${\mathcal {R}}$ 관련된 0점 블록은 다음과 같다.

\displaystyle \chi _{\mathcal {R}=\operatorname {Tr}_{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}},

$L_{0}$ 서 L 0 $(\$ 은 $L_{0}$ Virasoro 대수의 생성자입니다.이는 ${\mathcal {R}}.$ 의 문자와 일치합니다 $.\style$ {\ $mathcal {R}}$ 일부 가장 ${\mathcal {R}}.$ 높은 가중치 표현 문자는 다음과 같습니다.^[1]

등각 $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ - $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ - $\Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}$ 2 ({ $displaystyle$ \ $Delta$ = $sctfrac$ { $c-1}$ { $24$ - $P^$ {2} $)$ 의 Verma 모듈:

{\displaystyle \chi _{P}(\tau)=blac {q^{-P^{2}}{\eta(\tau)}},

\eta (\tau )

서

\eta (\tau )

(

\eta (\tau )

) {

displaystyle \eta

( \

tau

)는

\eta (\tau )

Dedekind eta 함수입니다.

$P_{(r,s)}$ P ( $P_{(r,s)}$ r , $P_{(r,s)}$ ) { $display style$ P _ { ( $r$ , $s$ ) $P_{(r,s)}$ } :

\chi _{(r,s)}=\chi _{P_{(r,s)}-\chi _{P_{(r,s)}}:(tau)}.

$b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}$ $b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}$ $=$ - $b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}$ { $displaystyle$ b $^{2$ }= - { \ $tfrac$ { $p$ } { $q}$ $b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}$ 에서의 완전 축퇴 표현:

\displaystyle \chi _{(r,s)}(\sum )=\sum _{k\in \mathbb {Z}\left(\chi _ {P_{(r,s)})+iki _{P_{(r,s)}+iki _{\sqrt {p}}(\s})})}

모듈러 변환에서는 다음과 같은 문자가 선형으로 변환됩니다.

(\displaystyle \tau \tau +b} {c\tau +d} , \qquad {begin {pmatrix} a&b\c&d\pmatrix} \ in SL_{2} (\mathbb {Z} ) 。}

특히 $\tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}$ - $\tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}$ { $displaystyle \to -$ {\ $tfrac$ { $1}{\tfrac }}$ 에서의 $\tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}$ 변환은 모듈식 S-매트릭스로 기술한다.S 매트릭스를 사용하여 CFT의 스펙트럼에 대한 제약은 토러스 분할 함수의 모듈식 불변성에서 도출될 수 있으며, 특히 최소 ^[13]모델의 ADE 분류로 이어질 수 있다.

토러스 원포인트 블록

토러스상의 임의의 1점 블록은 다른 중심 전하로 구상의 4점 블록으로 쓸 수 있다.이 관계는 토러스 계수를 4개 점의 교차점에 매핑하며, 구상의 4개 필드 중 3개는 고정 $P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}$ P( $P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}$ $P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}$ 2) $=$ 1 $P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}$ ({ $display style$ P_ ${0,{\frac {1}{b$ ^[14]^[15]를 가집니다.

H_{P'}^{\text{torus}}(P_{1} q^{2})=H_{P}\left(\left).\tfrac {1}{4b}, P_{2}, {\tfrac {1}{4b}, {\tfrac {1}{4b}\right q\right)\context {with}\context \{\context {array}{l}{l}=context frac {b}{b}{b}{\conth}\cl}\contfright}\cl}\cl}\contfright}\P_{2}=param frac {P_{1}}{\sqrt {2}}\\P=sqrt {2}}:P'\end{array}\right.

어디에

$H_{P_{s}}\left(\left.P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\right|q\right)$ $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right$ q\ $right)}$ 는 $H_{P_{s}}\left(\left.P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\right|q\right)$ Zamolodchikov의 재귀 표현에서 구체 4점 블록의 사소한 계수로 치수 $\Delta _{i}$ ({ $style$ P_ ${$ $i$ 대신 $P_{i}$ $({$ $P_$ ${$ $i$ })로 $P_{i}$ 표기됩니다 $.$
$H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ P $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ q $)({$ $displaystyle H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}$ q))는 $H_{P}^{\text{torus}}(P_{1}|q)$ Torus 원포인트 ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ F ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ q ) ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ - ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ - ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ( ( ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ ) - ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ HUS ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ h ${\mathcal {F}}_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}}(\Delta _{1}|q)$ h h h h 。 $c {c-1}{24}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta }^{\text{torus}(Delta_{1}q$ 여기서 $)$ ${{displaystyle \eta ($ q)}는 $\eta (q)$ Dedekind 에타 함수이며, torus의 모듈러 $\tau$ {\{ $displaystyle \tyle$ \ta $\tau$ }는 $\tau$ $q=e^{2\pi i\tau }$ 이다. $\displaystyle \Delta$ _ ${1$

토러스상의^[16] 1점 블록의 재귀적 표현은 다음과 같습니다.

H_{\Delta}^{\text{torus}({Delta_{1}q)=1+\sum_{m,n=1}^{\infty}{\frac {q^{mn}}{\Delta_{m,n}}}}}}R_{{{m,n}{textus}}H_{\Delta _{(m,-n)}}^{\text{torus}(\Delta _{1}q)\,

잔류물이 있는 곳

{\displaystyle R_{m,n}^{\text{torus}=black{2P_{(0,0)}P_{(m,n)}{\prod_{r=1-m}^{m}\block_{{s=1-n}^{n}^{{{n}}}\prod_{{{{{{displaystyclack}{{{{{{{{{{{{clack}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{

모듈러 변환에서 Torus의 원포인트 블록은 다음과 같이 동작합니다.

({displaystyle {f}_{P}^{\text{torus}}\left(P_{1}-{\tfrac {1}{\frac }}\right)=\int _{i\mathbb {R}}dP'\S_{P,P_1}(P_{1})\mathcal {F}}}\f}\right} {F} {F})

여기서 모듈러^[17]^[18] 커널은

S_{P,P'}(P_{1})=flac {2^{-{\frac {5}{2}}}}}{S_{b}({\frac {Q}}}+P_{1}}}}}\prod _{\pm}{\fac {\GamMa_{B}2}u\pm P'\right)\ .

하이퍼기하 블록

구면에서 4점 함수의 경우

\displaystyle \left\langle V_{\langle 2,1\rangle }(x)\display_{i=1}^3}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle }

한 필드가 레벨 2에서 늘 벡터를 갖는 경우, 2차 BPZ 방정식은 초기하 방정식으로 감소합니다.솔루션의 기초는 융접규칙에 의해 허용되는 2개의 s채널 컨포멀블록으로 이루어지며, 이러한 블록은 하이퍼기하함수의 관점에서 작성될 수 있다.

{\displaystyle {\mathcal {F}_{P_{1}+\epsilon {frac {b}{2}}^{(s)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b}{1}{{1}}{{1}}+{\frclac}{{1-{fr}{fr}}{fr}{fr}{fr}}{fr}{frc}{fr}{fr}{fr}{fr}}}}}{fr}}}}\&\times F\left({\tfrac {1}{2})+b(\epsilon P_{1}+P_{3}+b(\epsilon P_{1}-P_{2}+P_{3}), p_1+2P_Silon

$\epsilon \in \{+,-\}.$ { $\epsilon \in \{+,-\}.$ + , - $\epsilon \in \{+,-\}.$ . $\epsilon \in \{+,-\}.$ { $displaystyle$ \ $silon$ \ $in$ \ { + - \ $\epsilon \in \{+,-\}.$ } $\epsilon \in \{+,-\}.$ } 또 $\epsilon \in \{+,-\}.$ 다른 기초는 2개의 t채널 적합블록으로 이루어져 있다 $.$

{\mathcal {F}_{P_{3}+\epsilon {frac {b}{(t})}^{(z)}&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{{2}}+{{2}}{\frac {\frac{{{1}}{{{{{{{{{{{{1}}}}}}}}}}}{frac}}{frac}{frac}}{frac}}}{frac}}}{frac\end { aligned}

융접 행렬은 다음과 같은 크기 2의 행렬이다.

{\displaystyle {\mathcal {F}+\epsilon _{1}{\frac {b}{2}}{(x)=\sum _{\silon _{3}=\pm}F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}{\cal {F}}+}{P}}{{}}}}{P}}}}}{{{{{\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\sum

그 명시적인 표현은

F_{1},\epsilon _{3}}=gamma(1-2b\epsilon _{1}P_{1})\Gamma(2b\epsilon _{3}P_{3}}}{\prod _{\pm}\Gamma {{1}}_gamma{{{b}}}}{{{{b}}}}}}}}{gamma}{{{gamma}}}}}{gamma}}{{{gamma}}}}}}}

하이퍼기하학적 등각 블록은 2차원 CFT에 대한 ^[19]^[20]분석 부트스트랩 접근법에 중요한 역할을 한다.

Painlevé VI 방정식의 해

$c=1,$ $c=1,$ 인 경우 $,$ {\ $displaystyle$ c $=1,}$ 인 $c=1,$ 경우 S 채널 적합 블록의 특정 선형 조합은 Painlevé VI 비선형 미분 ^[21]방정식의 해입니다.관련된 선형 조합에는 P $P_{s}+i\mathbb {Z} .$ + $P_{s}+i\mathbb {Z} .$ Z $P_{s}+i\mathbb {Z} .$ 의 운동량 집합의 합계가 포함됩니다 $.$ {{ $displaystyle P_{s}+i\mathbb$ {Z $}}$ 이를 통해 Painlevé VI 방정식의 해로부터 등각 블록을 추론할 수 있습니다.이것은 또한 c $c=1.$ 에서 융접 행렬의 비교적 간단한 공식으로 이어집니다 $.$ {\ $displaystyle$ c $=$ $1$ .} 이상하게도 $c=1.$ ^[22] c $=$ δ\ $displaystyle$ c=\ $infty}$ 한계는 $c=\infty$ $c=\infty$ VI ^[23]방정식과도 관련이 있습니다.그 c)∞{c=\infty\displaystyle}과 c사이의 관계=1{\displaystyle c=1}한계, 등각 분야 이론 쪽에 알 수 없는, 자연스럽게 사차원 게이지 이론의 맥락에서,blowup equations,[24][25]을 사용하여 더 일반적인 쌍 c의 ′{\displaystyle c,c의}이 개괄될 수 있는 설명해 주었다. cen의추징금

일반화

비라소로 대수의 다른 표현

이 글에서 설명하는 Virasoro 등각 블록은 Virasoro 대수의 특정 유형의 표현, 즉 Verma 모듈과 그 ^[2]코셋과 관련되어 있습니다.다른 유형의 표현을 포함하는 상관 함수는 다른 유형의 등각 블록을 발생시킵니다.예를 들어 다음과 같습니다.

로그 컨포멀 필드 이론은 Virasoro $L_{0}$ L $(\$ 이 $L_{0}$ 대각선화 가능하지 않은 경우의 표현을 포함하며, 이로 인해 필드 위치에 로그로 의존하는 블록이 발생합니다.
표현은 Virasoro 대수의 일부 소멸 모드가 사라지지 않고 대각선으로 작용하는 상태에서 구축될 수 있습니다.대응하는 컨포멀블록은 불규칙 ^[26]컨포멀블록이라고 불립니다.

더 큰 대칭 대수

대칭대수가 비라소로 대수보다 큰 이론, 예를 들어 WZW 모델이나 W-대칭을 가진 이론에서, 상관함수는 원칙적으로 비라소로 등각블록으로 분해될 수 있지만, 그 분해는 일반적으로 너무 많은 용어를 포함하고 있어 유용하지 않다.대신, 더 큰 대수에 기초한 컨포멀 블록을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, WZW 모델에서, Knizhnik-Zamolodchikov 방정식을 따르는 대응하는 아핀 리 대수에 기초한 컨포멀 블록입니다.

레퍼런스

^ ^a ^b P. 디 프란체스코, P. 마티외, D.Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X
^ ^a ^b ^c ^d ^e Ribault, Sylvain (2014). "Conformal field theory on the plane". arXiv:1406.4290 [hep-th].
^ ^a ^b Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (1989). "Classical and quantum conformal field theory". Communications in Mathematical Physics. 123 (2): 177–254. Bibcode:1989CMaPh.123..177M. doi:10.1007/BF01238857. S2CID 122836843.
^ Teschner, Joerg (2017). "A guide to two-dimensional conformal field theory". arXiv:1708.00680 [hep-th].
^ Teschner, J.; Vartanov, G. S. (2012). "6j symbols for the modular double, quantum hyperbolic geometry, and supersymmetric gauge theories". arXiv:1202.4698 [hep-th].
^ Roussillon, Julien (2021). "The Virasoro fusion kernel and Ruijsenaars' hypergeometric function". Letters in Mathematical Physics. 111 (1): 7. arXiv:2006.16101. Bibcode:2021LMaPh.111....7R. doi:10.1007/s11005-020-01351-4. PMC 7796901. PMID 33479555.
^ Marshakov, A.; Mironov, A.; Morozov, A. (2009). "On Combinatorial Expansions of Conformal Blocks". Theoretical and Mathematical Physics. 164: 831–852. arXiv:0907.3946. doi:10.1007/s11232-010-0067-6. S2CID 16017224.
^ Perlmutter, Eric (2015). "Virasoro conformal blocks in closed form". Journal of High Energy Physics. 2015 (8): 88. arXiv:1502.07742. Bibcode:2015JHEP...08..088P. doi:10.1007/JHEP08(2015)088. S2CID 54075672.
^ Maldacena, Juan; Simmons-Duffin, David; Zhiboedov, Alexander (2015-09-11). "Looking for a bulk point". arXiv:1509.03612 [hep-th].
^ Cho, Minjae; Collier, Scott; Yin, Xi (2017). "Recursive Representations of Arbitrary Virasoro Conformal Blocks". arXiv:1703.09805 [hep-th].
^ Nekrasov, Nikita (2004). "Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 7 (5): 831–864. arXiv:hep-th/0206161. doi:10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID 2285041.
^ Alba, Vasyl A.; Fateev, Vladimir A.; Litvinov, Alexey V.; Tarnopolskiy, Grigory M. (2011). "On Combinatorial Expansion of the Conformal Blocks Arising from AGT Conjecture". Letters in Mathematical Physics. 98 (1): 33–64. arXiv:1012.1312. Bibcode:2011LMaPh..98...33A. doi:10.1007/s11005-011-0503-z. S2CID 119143670.
^ A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E 적합장 이론 분류", Scholarpedia
^ Fateev, V. A.; Litvinov, A. V.; Neveu, A.; Onofri, E. (2009-02-08). "Differential equation for four-point correlation function in Liouville field theory and elliptic four-point conformal blocks". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 42 (30): 304011. arXiv:0902.1331. Bibcode:2009JPhA...42D4011F. doi:10.1088/1751-8113/42/30/304011. S2CID 16106733.
^ Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). "Modular bootstrap in Liouville field theory". Physics Letters B. 685 (1): 79–85. arXiv:0911.4296. Bibcode:2010PhLB..685...79H. doi:10.1016/j.physletb.2010.01.036. S2CID 118625083.
^ Fateev, V. A.; Litvinov, A. V. (2010). "On AGT conjecture". Journal of High Energy Physics. 2010 (2): 014. arXiv:0912.0504. Bibcode:2010JHEP...02..014F. doi:10.1007/JHEP02(2010)014. S2CID 118561574.
^ Teschner, J. (2003-08-05). "From Liouville Theory to the Quantum Geometry of Riemann Surfaces". arXiv:hep-th/0308031.
^ Nemkov, Nikita (2015-04-16). "On modular transformations of non-degenerate toric conformal blocks". Journal of High Energy Physics. 1510: 039. arXiv:1504.04360. doi:10.1007/JHEP10(2015)039. S2CID 73549642.
^ Teschner, Joerg. (1995). "On the Liouville three-point function". Physics Letters B. 363 (1–2): 65–70. arXiv:hep-th/9507109. Bibcode:1995PhLB..363...65T. doi:10.1016/0370-2693(95)01200-A. S2CID 15910029.
^ Migliaccio, Santiago; Ribault, Sylvain (2018). "The analytic bootstrap equations of non-diagonal two-dimensional CFT". Journal of High Energy Physics. 2018 (5): 169. arXiv:1711.08916. Bibcode:2018JHEP...05..169M. doi:10.1007/JHEP05(2018)169. S2CID 119385003.
^ Gamayun, O.; Iorgov, N.; Lisovyy, O. (2012). "Conformal field theory of Painlevé VI". Journal of High Energy Physics. 2012 (10): 038. arXiv:1207.0787. Bibcode:2012JHEP...10..038G. doi:10.1007/JHEP10(2012)038. S2CID 119610935.
^ Iorgov, N.; Lisovyy, O.; Tykhyy, Yu. (2013). "Painlevé VI connection problem and monodromy of c = 1 conformal blocks". Journal of High Energy Physics. 2013 (12): 029. arXiv:1308.4092. Bibcode:2013JHEP...12..029I. doi:10.1007/JHEP12(2013)029. S2CID 56401903.
^ Litvinov, Alexey; Lukyanov, Sergei; Nekrasov, Nikita; Zamolodchikov, Alexander (2014). "Classical conformal blocks and Painlevé VI". Journal of High Energy Physics. 2014 (7): 144. arXiv:1309.4700. Bibcode:2014JHEP...07..144L. doi:10.1007/JHEP07(2014)144. S2CID 119710593.
^ Nekrasov, Nikita (2020). "Blowups in BPS/CFT correspondence, and Painlevé VI". arXiv:2007.03646. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Jeong, Saebyeok; Nekrasov, Nikita (2020). "Riemann-Hilbert correspondence and blown up surface defects". Journal of High Energy Physics. 2020 (12): 006. arXiv:2007.03660. Bibcode:2020JHEP...12..006J. doi:10.1007/JHEP12(2020)006. S2CID 220381427.
^ Gaiotto, D.; Teschner, J. (2012). "Irregular singularities in Liouville theory and Argyres-Douglas type gauge theories". Journal of High Energy Physics. 2012 (12): 50. arXiv:1203.1052. Bibcode:2012JHEP...12..050G. doi:10.1007/JHEP12(2012)050. S2CID 118380071.

[BYB-1] P. 디 프란체스코, P. 마티외, D.Sénéchal, Conformal Field Theory, 1997, ISBN 0-387-94785-X

[rib14-2] Ribault, Sylvain (2014). "Conformal field theory on the plane". arXiv:1406.4290 [hep-th].

[MS-3] Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (1989). "Classical and quantum conformal field theory". Communications in Mathematical Physics. 123 (2): 177–254. Bibcode:1989CMaPh.123..177M. doi:10.1007/BF01238857. S2CID 122836843.

[4] Teschner, Joerg (2017). "A guide to two-dimensional conformal field theory". arXiv:1708.00680 [hep-th].

[5] Teschner, J.; Vartanov, G. S. (2012). "6j symbols for the modular double, quantum hyperbolic geometry, and supersymmetric gauge theories". arXiv:1202.4698 [hep-th].

[Roussillon_2020-6] Roussillon, Julien (2021). "The Virasoro fusion kernel and Ruijsenaars' hypergeometric function". Letters in Mathematical Physics. 111 (1): 7. arXiv:2006.16101. Bibcode:2021LMaPh.111....7R. doi:10.1007/s11005-020-01351-4. PMC 7796901. PMID 33479555.

[7] Marshakov, A.; Mironov, A.; Morozov, A. (2009). "On Combinatorial Expansions of Conformal Blocks". Theoretical and Mathematical Physics. 164: 831–852. arXiv:0907.3946. doi:10.1007/s11232-010-0067-6. S2CID 16017224.

[8] Perlmutter, Eric (2015). "Virasoro conformal blocks in closed form". Journal of High Energy Physics. 2015 (8): 88. arXiv:1502.07742. Bibcode:2015JHEP...08..088P. doi:10.1007/JHEP08(2015)088. S2CID 54075672.

[msz15-9] Maldacena, Juan; Simmons-Duffin, David; Zhiboedov, Alexander (2015-09-11). "Looking for a bulk point". arXiv:1509.03612 [hep-th].

[10] Cho, Minjae; Collier, Scott; Yin, Xi (2017). "Recursive Representations of Arbitrary Virasoro Conformal Blocks". arXiv:1703.09805 [hep-th].

[11] Nekrasov, Nikita (2004). "Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 7 (5): 831–864. arXiv:hep-th/0206161. doi:10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID 2285041.

[12] Alba, Vasyl A.; Fateev, Vladimir A.; Litvinov, Alexey V.; Tarnopolskiy, Grigory M. (2011). "On Combinatorial Expansion of the Conformal Blocks Arising from AGT Conjecture". Letters in Mathematical Physics. 98 (1): 33–64. arXiv:1012.1312. Bibcode:2011LMaPh..98...33A. doi:10.1007/s11005-011-0503-z. S2CID 119143670.

[13] A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E 적합장 이론 분류", Scholarpedia

[flno09-14] Fateev, V. A.; Litvinov, A. V.; Neveu, A.; Onofri, E. (2009-02-08). "Differential equation for four-point correlation function in Liouville field theory and elliptic four-point conformal blocks". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 42 (30): 304011. arXiv:0902.1331. Bibcode:2009JPhA...42D4011F. doi:10.1088/1751-8113/42/30/304011. S2CID 16106733.

[hjs09-15] Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). "Modular bootstrap in Liouville field theory". Physics Letters B. 685 (1): 79–85. arXiv:0911.4296. Bibcode:2010PhLB..685...79H. doi:10.1016/j.physletb.2010.01.036. S2CID 118625083.

[fl09-16] Fateev, V. A.; Litvinov, A. V. (2010). "On AGT conjecture". Journal of High Energy Physics. 2010 (2): 014. arXiv:0912.0504. Bibcode:2010JHEP...02..014F. doi:10.1007/JHEP02(2010)014. S2CID 118561574.

[tes03-17] Teschner, J. (2003-08-05). "From Liouville Theory to the Quantum Geometry of Riemann Surfaces". arXiv:hep-th/0308031.

[nem15-18] Nemkov, Nikita (2015-04-16). "On modular transformations of non-degenerate toric conformal blocks". Journal of High Energy Physics. 1510: 039. arXiv:1504.04360. doi:10.1007/JHEP10(2015)039. S2CID 73549642.

[19] Teschner, Joerg. (1995). "On the Liouville three-point function". Physics Letters B. 363 (1–2): 65–70. arXiv:hep-th/9507109. Bibcode:1995PhLB..363...65T. doi:10.1016/0370-2693(95)01200-A. S2CID 15910029.

[20] Migliaccio, Santiago; Ribault, Sylvain (2018). "The analytic bootstrap equations of non-diagonal two-dimensional CFT". Journal of High Energy Physics. 2018 (5): 169. arXiv:1711.08916. Bibcode:2018JHEP...05..169M. doi:10.1007/JHEP05(2018)169. S2CID 119385003.

[21] Gamayun, O.; Iorgov, N.; Lisovyy, O. (2012). "Conformal field theory of Painlevé VI". Journal of High Energy Physics. 2012 (10): 038. arXiv:1207.0787. Bibcode:2012JHEP...10..038G. doi:10.1007/JHEP10(2012)038. S2CID 119610935.

[22] Iorgov, N.; Lisovyy, O.; Tykhyy, Yu. (2013). "Painlevé VI connection problem and monodromy of c = 1 conformal blocks". Journal of High Energy Physics. 2013 (12): 029. arXiv:1308.4092. Bibcode:2013JHEP...12..029I. doi:10.1007/JHEP12(2013)029. S2CID 56401903.

[23] Litvinov, Alexey; Lukyanov, Sergei; Nekrasov, Nikita; Zamolodchikov, Alexander (2014). "Classical conformal blocks and Painlevé VI". Journal of High Energy Physics. 2014 (7): 144. arXiv:1309.4700. Bibcode:2014JHEP...07..144L. doi:10.1007/JHEP07(2014)144. S2CID 119710593.

[24] Nekrasov, Nikita (2020). "Blowups in BPS/CFT correspondence, and Painlevé VI". arXiv:2007.03646. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[25] Jeong, Saebyeok; Nekrasov, Nikita (2020). "Riemann-Hilbert correspondence and blown up surface defects". Journal of High Energy Physics. 2020 (12): 006. arXiv:2007.03660. Bibcode:2020JHEP...12..006J. doi:10.1007/JHEP12(2020)006. S2CID 220381427.

[26] Gaiotto, D.; Teschner, J. (2012). "Irregular singularities in Liouville theory and Argyres-Douglas type gauge theories". Journal of High Energy Physics. 2012 (12): 50. arXiv:1203.1052. Bibcode:2012JHEP...12..050G. doi:10.1007/JHEP12(2012)050. S2CID 118380071.

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[2]

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[5]

[8]

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[10]

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