퀀텀 하이젠베르크 모델

베르너 하이젠베르크가 개발한 양자 하이젠베르크 모델은 자기계통의 임계점과 위상전환을 연구하는 데 사용되는 통계적 기계모델로, 자계통의 스핀을 양자역학적으로 처리한다.그것은 원형 Ising 모델과 관련이 있는데, 여기서 격자의 각 부위에서 스핀 $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ i $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ ± $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ $\sigma _{i}\in{\pm 1\}}$ 은 자기 모멘트가 위 또는 아래로 있는 미세한 자기 쌍극체를 나타낸다 $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ .자기 쌍극자 모멘트의 결합을 제외하면, 다극 교환 상호작용이라고 하는 하이젠베르크 모델의 다극 버전도 있다.

개요

양자 기계적 이유(교환 상호작용 또는 자력의 자성 § 양자-기계적 기원 참조), 두 쌍극 사이의 지배적인 결합은 가장 가까운 이웃들이 정렬되었을 때 가장 낮은 에너지를 가질 수 있다.이 가정(접속된 쌍극자 사이에만 자기 상호작용이 발생한다는 가정)과 1차원 주기 격자 위에 해밀턴 어를 양식으로 쓸 수 있다.

{\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}

,

여기서 $J$ $J$ 은 $J$ 연결 상수이고 이중형은 고전적 벡터(또는 "spins") σ으로_j 나타내며, 주기적 경계 조건 $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ + $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ = $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ 1 ${\$ The Heisenberg model is a more realistic model in that it treats the spins quantum-mechanically, by replacing the spin by a quantum operator acting upon the tensor product $(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}$ , of dimension $2^{N}$ . To define it, recall the Pauli spin-1/2 mat차떼기

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

=

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

(

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

)

{\

\ \

ma ^{x}={\\pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix

\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

=

\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

(

\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

-

\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

)

{\

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

=

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

(

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

-

\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

)

{\

그리고 $1\leq j\leq N$ $1\leq j\leq N$ $1\leq j\leq N$ $1\leq j\leq N$ N ${\displaystyle 1\\leq$ j $\leq N}$ $a\in \{x,y,z\}$ $a\in \{x,y,z\}$ { $,$ $a\in \{x,y,z\}$ $a\in \{x,y,z\}$ } ${\displaystyle$ a $\in$ \{x $,y,z\}}}}}$ 에 $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ 는 $a\in \{x,y,z\}$ $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ j $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ = $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ j - $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ I - $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ \ N $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ - $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$ - \ $sigma$ $I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes$ I $^{\otimes N-j$ $I$ 서 I $I$ 는 $I$ $2\times 2$ × $2\times 2$ {\ $displaystyle 2\time2} ID$ 매트릭스다.실제 값진 연결 상수 $J_{x},J_{y},$ $J_{x},J_{y},$ , $J_{x},J_{y},$ y $J_{x},J_{y},$ , $J_{x$ 중에서 선택 가능 $J_{y}}$ 및 $J_{x},J_{y},$ $J_{z}$ $J_{z}$ ${\$ 해밀턴인은 다음과 같이 주어진다.

{\hat {{H}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{{n}(J_{x}\sigma _{j}^{j}}}\sigma _{j+1}^{x}}+}+}++}J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j}+J_{z}\sigma _{j}^{j}^{z}\sigma _{j+1}^{j}+h\sigma _{j}^{j}^}}}

여기서 우측의 $h$ $h$ $h$ 은 주기적인 경계 조건을 가진 외부 자기장을 나타낸다.목적은 칸막이 기능을 계산할 수 있고 시스템의 열역학을 연구할 수 있는 해밀턴의 스펙트럼을 결정하는 것이다.

It is common to name the model depending on the values of $J_{x}$ , $J_{y}$ and $J_{z}$ : if $J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}$ , the model is called the Heisenberg XYZ model; in the case of $J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta$ ${\displaystyle J=J_{x}=$ $J_{y}\neq J_{z}=\Delta$ $J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta$ 하이젠버그 XXZ 모델이며, $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ J $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ = $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ = $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$ = J ${\displaystyle J_{x}=$ $J_{y}=J_{z}=J$ 하이젠베르크 XXX 모델이다.1차원에서의 스핀 1/2 하이젠베르크 모델은 베테안사츠를 이용하여 정확히 해결할 수 있다.^[1]대수적 공식에서 이것들은 각각 XXZ와 XYZ 사례에서 특정 양자 아핀 알헤브라와 타원 양자 그룹과 관련이 있다.^[2]다른 접근법은 베테 안사츠 없이 그렇게 한다.^[3]

XXX 모델

하이젠베르크 XXX 모델의 물리학은 연결 상수 $J$ $J$ 의 $J$ 부호와 공간의 치수에 따라 크게 달라진다. $포지티브$ J $J$ 의 경우 접지 $J$ 상태는 항상 강자성이다.음의 $J$ $J$ 에서 지면 $J$ 상태는 2차원 및 3차원 반소립이다.^[4]한 차원에서는 반자성 하이젠베르크 모델에서 상관관계의 성격이 자성 쌍극자의 스핀에 따라 달라진다.스핀이 정수일 경우 단거리 순서만 존재한다.반정자 회전체계는 준장거리 질서를 보인다.

하이젠베르크 모델의 단순화된 버전은 1차원 Ising 모델이며, 여기서 가로 자기장은 x방향이고 교호작용은 z방향에만 있다.

{\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}

.

작은 g와 큰 g에서는 지상의 상태 퇴화가 다른데, 이는 그 사이에 양자상 전환이 있어야 함을 의미한다.이중성 분석을 통해 임계점에 대해 정확히 해결할 수 있다.^[5]Pauli 행렬의 이중성 전환은 $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ i $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ = $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ $\sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}$ $\\$ $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$ i = $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$ Z $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$ + $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$ $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$ ${\$ i}={i $}^}^}{i$ }^}} $S^{x}$ ${i}^{z$ }^{z $}S_{i+1}^{z$ $S^{x}$ 서 S $S^{z}$ ${\$ S $^{x}}$ 와 $S^x$ $S^{z}$ z ${\$ 도 Pauli 행렬 대수학을 따르는 Pauli 행렬이다 $S^{z}$ .주기적인 경계 조건 하에서 변형된 해밀턴인은 매우 유사한 형태를 가질 수 있다.

{\H}=-gJ\sum _{j}^{{n}S_{j}^{z_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{n}S_{j}^{x}}}}

스핀 상호작용 항에 부착된 $g$ $g$ $g$ 의 경우.단 하나의 임계점만 있다고 가정할 때, 위상 $g=1$ 은 $g=1$ g = $g=1$ [\ $displaystyle g=$ 1} 에서 일어난다고 결론을 내릴 수 있다 $g=1$

적용들

또 다른 중요한 물체는 얽힘 엔트로피다.그것을 설명하는 한 가지 방법은 고유한 접지 상태를 블록(세단적인 순차 회전)과 환경(지반 상태의 나머지)으로 세분하는 것이다.블록의 엔트로피는 엔트로피로 간주할 수 있다.임계 영역의 영온(열역학적 한계)에서는 블록의 크기에 따라 로그로 스케일링한다.온도가 증가함에 따라 로그 의존도가 선형 함수로 변한다.^[6]큰 온도에서 선형 의존은 열역학 제2법칙에 따른다.

하이젠베르크 모델은 밀도 매트릭스 신장화를 적용하기 위한 중요하고 다루기 쉬운 이론적 예를 제공한다.

6-베르텍스 모델은 하이젠베르크 스핀 체인에 대한 대수적 베테 안사츠를 사용하여 해결할 수 있다(백스터, "통계 역학에서 정확히 해결된 모델" 참조).

강한 반발 교호작용의 한계에 반만 채워진 Hubbard 모델은 Superrexchange 교호작용의 강도를 나타내는 $J<0$ $J<0$ < $J<0$ $J<0$ 을(를) 가진 하이젠베르크 모델에 매핑될 수 있다.

참고 항목

참조

R.J. 백스터, 런던, 아카데미 출판사, 1982년 통계학에서 정확하게 모델들을 풀었다.
Heisenberg, W. (1 September 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [On the theory of ferromagnetism]. Zeitschrift für Physik (in German). 49 (9): 619–636. Bibcode:1928ZPhy...49..619H. doi:10.1007/BF01328601. S2CID 122524239.
Bethe, H. (1 March 1931). "Zur Theorie der Metalle" [On the theory of metals]. Zeitschrift für Physik (in German). 71 (3): 205–226. Bibcode:1931ZPhy...71..205B. doi:10.1007/BF01341708. S2CID 124225487.

메모들

^ Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 August 1992). "Heisenberg XXZ model and quantum Galilei group". Journal of Physics A: Mathematical and General. 25 (15): L939–L943. arXiv:hep-th/9204054. Bibcode:1992JPhA...25L.939B. doi:10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID 119046025.
^ Faddeev, L. D. (26 May 1996). "How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model". arXiv:hep-th/9605187v1.
^ Rojas, Onofre; Souza, S.M. de; Corrêa Silva, E.V.; Thomaz, M.T. (December 2001). "Thermodynamics of the limiting cases of the XXZ model without Bethe ansatz". Brazilian Journal of Physics. 31 (4): 577–582. Bibcode:2001BrJPh..31..577R. doi:10.1590/s0103-97332001000400008.
^ Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "The Heisenberg Model - a Bibliography". Retrieved 6 Jun 2019.
^ Fisher, Matthew P. A. (2004). "Duality in low dimensional quantum field theories". Strong interactions in low dimensions. Physics and Chemistry of Materials with Low-Dimens. Vol. 25. pp. 419–438. doi:10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.
^ Korepin, V. E. (5 March 2004). "Universality of Entropy Scaling in One Dimensional Gapless Models". Physical Review Letters. 92 (9): 096402. arXiv:cond-mat/0311056. Bibcode:2004PhRvL..92i6402K. doi:10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID 15089496. S2CID 20620724.

[bonechi1992-1] Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 August 1992). "Heisenberg XXZ model and quantum Galilei group". Journal of Physics A: Mathematical and General. 25 (15): L939–L943. arXiv:hep-th/9204054. Bibcode:1992JPhA...25L.939B. doi:10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID 119046025.

[2] Faddeev, L. D. (26 May 1996). "How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model". arXiv:hep-th/9605187v1.

[3] Rojas, Onofre; Souza, S.M. de; Corrêa Silva, E.V.; Thomaz, M.T. (December 2001). "Thermodynamics of the limiting cases of the XXZ model without Bethe ansatz". Brazilian Journal of Physics. 31 (4): 577–582. Bibcode:2001BrJPh..31..577R. doi:10.1590/s0103-97332001000400008.

[4] Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "The Heisenberg Model - a Bibliography". Retrieved 6 Jun 2019.

[5] Fisher, Matthew P. A. (2004). "Duality in low dimensional quantum field theories". Strong interactions in low dimensions. Physics and Chemistry of Materials with Low-Dimens. Vol. 25. pp. 419–438. doi:10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.

[6] Korepin, V. E. (5 March 2004). "Universality of Entropy Scaling in One Dimensional Gapless Models". Physical Review Letters. 92 (9): 096402. arXiv:cond-mat/0311056. Bibcode:2004PhRvL..92i6402K. doi:10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID 15089496. S2CID 20620724.

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v t 통계역학
이론	최대 엔트로피의 원리 에고다이즘
통계 열역학	앙상블 칸막이 함수 국가 방정식 열역학적 전위: U H F G 맥스웰 관계
모델	강자성 모델 이싱 팟츠 하이젠베르크 과대포장 힘장이 있는 입자 고갈력 레너드 존스의 잠재력
수학적 접근법	볼츠만 방정식 H-테오렘 블라소프 방정식 BBGKY 계층 구조 확률적 과정 평균장 이론과 일치장 이론
임계현상	위상 전이 임계 지수 상관 길이 사이즈 스케일링
엔트로피	볼츠만 섀넌 찰리스 레니 폰 노이만
적용들	통계장 이론 기초 입자 초유동성 응축물리학 복잡한 시스템 혼돈의 정보 이론 볼츠만 기계

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