순서 지수

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순서형 지수(path-ordered extensive)라고도 하는 수학적 연산(path-ordered extensive)은 비명령형 알제브라에서 정의되는 수학적 연산으로서, 역행형 알제브라에 있는 적분들의 지수화에 해당한다.실제로 순서가 정해진 지수를 행렬과 연산자 알헤브라에 사용한다.

정의

A를 실제 또는 복잡한 필드 K에 대한 대수학으로 하고, a(t)를 A의 매개변수화된 요소로 한다.

${\displaystyle a:K\to A.\,}$

a(t)의 매개변수 t를 흔히 이 맥락에서 시간 매개변수라고 한다.

a의 순서형 지수화가 표시된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {OE}[a](t)\equiv {T}\왼쪽\{e^{0}a(t')\,dt}\right\}&\\\\equiv \sum _{n=0}^{n!}}\int _{0}^{t}\cdots \int _{0}^{t}{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\,dt'_{1}\cdots dt'_{n}\\&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}\int _{0}^{t'_{n}}\int _{0}^{t'_{n-1}}\cdots \int _{0}^{t'_{2}}a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\,dt'_{1}\cdots dt'_{n-2}\,dt'_{n-1}\,dt'_{n}\end{aligned}}}$

여기서 n = 0이라는 용어는 1과 같고$$T {\$displaystyle${\$mathcal{$T}}는 지수를 시간순으로 배열하는 고차 연산이다$$. 지수 확장에서 발생하는 a(t)의 모든 제품은 제품의 오른쪽에서 왼쪽으로 t 값이 증가하도록 순서를 정해야 한다. 개략적인 예:

${\displaystyle {\mathcal {T}\왼쪽\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2)}$

대수학에서의 생산물이 반드시 상쇄되는 것은 아니기 때문에 이 제한은 필요하다.

매개변수화된 요소를 다른 매개변수화된 요소에 매핑하거나 상징적으로 매핑하는 작업

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:}(K\to A)\to(K\to A).}$

이 일체감을 보다 엄격하게 규정하는 방법은 다양하다.

지수 산물

순서형 지수란 항 수가 무한대로 증가함에 따라 한계에 있는 최소형 지수들의 왼쪽 산물로 정의하거나, 동등하게 한계에 있는 지수형의 순서형 산물로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\rightarrow \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

여기서 시간 순간 {t₀, …, t}은_Ni(는) t … i Δt for i = 0, … N 및 Δt Δt / N으로 정의된다.

순서형 기하급수적인 것은 사실 기하학적 적분이다.^[1][2][3]

미분방정식의 해법

순서가 지정된 지수란 초기 값 문제의 고유한 해결책이다.

${\displaystyle {\begin{igned}{\frac {d}{dt}\operatorname {OE}[a]&=a(t)\operatorname {OE}[a](t)\[5pt]\operatorname {OE}[a](0)&=1].\end{정렬}}}$

적분 방정식에 대한 해법

순서형 지수식은 적분 방정식의 해법이다.

${\displaystyle \operatorname {OE}[a](t)=1+\int _{0^{t}a(t')\operatorname {OE}[a](t')\,dt'.}$

이 방정식은 이전의 초기값 문제와 동일하다.

무한 시리즈 확장

순서형 지수란 무한의 합으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}a(t_{1})a(t_{2})\,dt_{2}\,dt_{1}+\cdots .}$

이것은 그 자체로 적분 방정식을 재귀적으로 대체함으로써 도출될 수 있다.

예

다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $M}$이(가$$) 지정되며, ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ $변환{\displaystyle }$ g${\displaystyle :}$ e ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g:e\mapstoge}$이(가) $있는$ $e$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M$

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J}(x)e(x)=0.}$

Here, ${\displaystyle d}$ denotes exterior differentiation and ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ is the connection operator (1-form field) acting on ${\displaystyle e(x)}$. When integrating above equation it holds (now, ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ is the connection operator exp좌표 단위로 표시)

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int_{x}^{x}J(\gamma(t)\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

with the path-ordering operator ${\displaystyle \operatorname {P} }$ that orders factors in order of the path ${\displaystyle \gamma (t)\in M}$. For the special case that ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ is an antisymmetric operator and ${\displaystyle \gamma }$ is an infinitesimal rectangle에지 길이 ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ $displaystyle u$, v$}$ 및 $위$의 지점 x ,${\displaystyle x}$ +${\displaystyle u}$ , x +${\displaystyle u}$ + ${\displaystyle v}$ ,${\displaystyle }$x +${\displaystyle v}$, ${\displaystyle x,x+u,x+v,x+v,}$에서 모서리는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&\operatorname {OE}[-\operatorname {J}]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J}(x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J}(x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J}(x)e(x)\[5pt]={}&[1-\operatorname {J}(x+v)(-v)][1-\operatorname {J}(x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J}(x+u)v][1-\operatorname {J}(x)e](x)e(x)].\end{정렬}}}$

Hence, it holds the group transformation identity ${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$. If ${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$ is a smooth connection, expanding above quantity to second order in infinitesimal 수량 ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ $displaystyle u$, v$}$은(는) 곡률 텐서 에 비례하는 수정 항을 가진 순서 지수적 아이덴티티를 얻는다.

참고 항목

• 경로 순서 지정(본질적으로 동일한 개념)
• 마그너스 팽창
• 제품 적분
• 대체 캘컬리의 파생상품 및 통합 목록
• 무기한상품
• 프랙탈 유도체

참조

외부 링크

• 논뉴턴 미적분 웹사이트