4칸짜리
4-polytope{3,3,3} | {3,3,4} | {4,3,3} |
---|---|---|
![]() 5세포 펜타토페 사오백스 | ![]() 16 셀 오르톨렉스 4인조 | ![]() 8셀 테세락트 4시 15분 |
{3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
![]() 24셀 옥타플렉스 | ![]() 600셀 테트라플렉스 | ![]() 120 셀 도데카플렉스 |
기하학에서 4-폴리토프(폴리초론,[1] 폴리셀 또는 다면체라고도 함)는 4차원 폴리토프다.[2][3]정점, 가장자리, 면(폴리곤), 세포(폴리헤드라) 등 저차원 다층 원소로 구성된 연결형과 폐쇄형 형상이다.각각의 얼굴은 정확히 두 개의 세포에 의해 공유된다.4개의 폴리토프는 1853년 이전에 스위스의 수학자 루드비히 슐레플리에 의해 발견되었다.[4]
4 폴리토프의 2차원 아날로그는 다각형이고, 3차원 아날로그는 다면체다.
지형학적으로 4-폴리탑은 3-공간을 테셀레이트하는 큐빅 벌집과 같은 균일한 벌집과 밀접하게 관련되어 있다. 마찬가지로 3D 큐브는 무한 2D 사각형 타일링과 관련이 있다.볼록 4폴리톱은 3공간에 그물로 자르고 펼 수 있다.
정의
4 폴리토프는 닫힌 4차원 형상이다.정점(코너 포인트), 가장자리, 면 및 셀로 구성된다.셀은 얼굴의 3차원 아날로그로, 따라서 다면체다.각 얼굴은 정확히 두 개의 세포를 결합해야 하는데, 이는 다면체의 각 가장자리가 두 개의 얼굴만 결합하는 방식과 유사하다.다른 폴리토페와 마찬가지로 4폴리토프의 원소도 4폴리토페인 2개 이상의 세트로 세분할 수 없다. 즉, 복합체가 아니다.
기하학
볼록 정규 4폴리탑은 플라토닉 고형물의 4차원 유사점이다.가장 친숙한 4폴리토프는 큐브의 4D 아날로그인 테세락트나 하이퍼큐브다.
볼록 정규 4폴리탑은 동일한 반지름에 대해 4차원 함량(초대량)의 척도로 크기별로 주문할 수 있다.순서에서 각각의 큰 폴리토프는 동일한 반경 내에 더 많은 내용을[5] 포함하면서 이전보다 더 둥글다.4심플렉스(5셀)는 한계 최소 케이스, 120셀은 최대 케이스다.복잡성(구성 행렬 또는 정점 수를 비교하여 측정)은 동일한 순서를 따른다.
정규 볼록 4폴리톱 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
대칭군 | A을4 | B4 | F4 | H4 | |||
이름 | 5세포 초계면체 | 16 셀 초옥타헤드론 | 8셀 | 24셀
| 600셀 고이코사면체 | 120 셀 초도면체 | |
슐레플리 기호 | {3, 3, 3} | {3, 3, 4} | {4, 3, 3} | {3, 4, 3} | {3, 3, 5} | {5, 3, 3} | |
콕시터 미러 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
그래프 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
정점 | 5 | 8 | 16 | 24 | 120 | 600 | |
가장자리 | 10 | 24 | 32 | 96 | 720 | 1200 | |
얼굴 | 삼각형 10개 | 삼각형 32개 | 24제곱 | 96개의 삼각형 | 1200 삼각형 | 펜타곤 720개 | |
세포 | 5 사면체 | 사면체 16 | 8입방체 | 24옥타헤드라 | 사면체 600개 | 도데카헤드라로120번길 | |
토리 | 5축면체 1개 | 2 8수면체 | 2 4시 30분 | 4 6옥타이드론 | 30수면체 20 | 10도면체 12개 | |
새겨진 | 120 셀에 120 | 16 셀 1 | 16-182로 2 | 3 8시 30분 | 5 24 x 5 | 600 x 2의 5 x 2 | |
그레이트 폴리곤 | 2 𝝅/2squares x 3 | 직사각형 4개/2개 x 3개 | 4㎛/3헥사곤 x 4 | 12㎛/5데카곤 x 6 | 50 //15 도데카곤 x 4 | ||
페트리 폴리곤 | 1오각형 | 팔각형 1개 | 옥타곤 2개 | 도데카곤 2개 | 30-gon 4개 | 30-gon 20 | |
이소크라인 폴리곤 | 1 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4} | 2 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4} | 2 {12/2}=2{6} x {12/6}=6{2} | 4 {30/2}=2{15} x 30{0} | 20 {30/2}=2{15} x 30{0} | ||
긴 반지름 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
모서리 길이 | √5/√2 ≈ 1.581 | √2 ≈ 1.414 | 1 | 1 | 1/ϕ ≈ 0.618 | 1/√2ϕ2 ≈ 0.270 | |
단반경 | 1/4 | 1/2 | 1/2 | √2/2 ≈ 0.707 | 1 - (√2/2√3φ)2 ≈ 0.936 | 1 - (1/2√3φ)2 ≈ 0.968 | |
면적 | 10•√8/3 ≈ 9.428 | 32•√3/4 ≈ 13.856 | 24 | 96•√3/4 ≈ 41.569 | 1200•√3/8φ2 ≈ 99.238 | 720•25+10√5/8φ4 ≈ 621.9 | |
볼륨 | 5•5√5/24 ≈ 2.329 | 16•1/3 ≈ 5.333 | 8 | 24•√2/3 ≈ 11.314 | 600•1/3√8φ3 ≈ 16.693 | 120•2 + φ/2√8φ3 ≈ 18.118 | |
4-내용 | √5/24•(√5/2)4 ≈ 0.146 | 2/3 ≈ 0.667 | 1 | 2 | 쇼트∙볼/4 ≈ 3.907 | 쇼트∙볼/4 ≈ 4.385 |
시각화
단면도 | 그물 | |
---|---|---|
![]() | ![]() | |
투영 | ||
슐레겔 | 2D 직교 | 3D 직교 |
![]() | ![]() | ![]() |
4차원 공간에서는 추가 차원 때문에 4차원 탑을 볼 수 없다.그것들을 시각화하는 것을 돕기 위해 몇 가지 기법이 사용된다.
- 정사영
직교 돌출부는 4 폴리토프의 다양한 대칭 방향을 보여주는 데 사용될 수 있다.정점 가장자리 그래프로 2D로 그릴 수 있으며, 입체적인 면을 투사 봉투로 3D로 표시할 수 있다.
- 투시 투영
평면 시트에 3D 형상을 투영할 수 있는 것처럼 4D 형상은 3공간이나 심지어 평면 시트에 투영할 수 있다.하나의 일반적인 투영법은 3-sphere 표면의 점들을 입체 투영하여 3-공간에서 그려진 직선 가장자리, 면, 셀로 연결한 슐레겔 도표다.
- 단면도
다면체를 통한 슬라이스가 잘린 표면을 드러내듯이, 4 폴리토프를 통한 슬라이스는 3차원으로 잘린 '하이퍼서페이스'를 드러낸다.그러한 섹션의 순서는 전체적인 모양을 이해하는 데 사용될 수 있다.추가 치수는 이러한 단면들의 매끄러운 애니메이션을 제작하는 시간과 동일시될 수 있다.
- 그물
4 폴리토프의 그물은 다면체의 그물의 폴리곤 면이 가장자리로 연결되어 모두 동일한 3차원 공간을 차지하는 다면세포로 구성되어 있다.
위상학적 특성
주어진 4 폴리토프의 위상은 베티 번호와 비틀림 계수로 정의된다.[6]
폴리헤드라를 특성화하는 데 사용되는 오일러 특성의 값은 더 높은 차원으로 유용하게 일반화되지 않으며, 그 기본 토폴로지가 무엇이든 모든 4 폴리토피에 대해 0이다.보다 높은 차원으로 서로 다른 위상들을 신뢰성 있게 구별하기 위한 오일러 특성의 이러한 결여는 보다 정교한 베티 숫자의 발견으로 이어졌다.[6]
마찬가지로 다면체의 방향성 개념은 토로이드 4폴리토프의 표면 비틀림 특성을 나타내기에는 불충분하며, 이로 인해 비틀림 계수가 사용되게 되었다.[6]
분류
기준
모든 폴리토페와 마찬가지로 4폴리토페는 "대칭성"과 "대칭성"과 같은 성질을 기준으로 분류할 수 있다.
- 4 폴리토프는 경계(세포, 면 및 가장자리 포함)가 스스로 교차하지 않고 4 폴리토프의 두 점을 연결하는 선 세그먼트가 4 폴리토프 또는 내부에 포함된 경우 볼록하다. 그렇지 않으면 비 콘벡스다.자가 교차하는 4-폴리탑은 비콘벡스별 폴리곤과 케플러-폴리소트 폴리헤드라의 별 모양과 유추하여 별 4-폴리탑으로도 알려져 있다.
- 4폴리토프는 깃발에 전이되면 규칙적이다.이것은 그것의 세포가 모두 합치된 정규 다면체라는 것을 의미하며, 이와 유사하게 정점 수치는 합치되고 또 다른 종류의 정규 다면체라는 것을 의미한다.
- 볼록 4폴리토프는 모든 정점이 등가(Vertex-transitive)인 대칭 그룹을 가지고 있고 그 세포가 정규 다면체라면 반정형이다.세포는 같은 종류의 얼굴을 가지고 있다면 둘 이상의 종류일 수 있다.1900년 소럴드 고셋이 확인한 경우는 5세포 수정, 600세포 수정, 24세포 스너브(snub) 3건에 불과하다.
- 4폴리토프는 모든 정점이 동등한 대칭 그룹을 가지고 있고, 그것의 세포가 균일한 다면체라면 균일하다.제복 4폴리토프의 얼굴은 규칙적이어야 한다.
- 4-폴리토프는 정점 변환인 경우 메스폼이며, 길이가 같은 가장자리를 모두 가지고 있다.이것은 보통 얼굴의 볼록한 존슨 고형물과 같이 균일하지 않은 세포들을 허용한다.
- 또한 볼록한 4폴리토프는 볼록한 4폴리토프라고 한다.
- 4-폴리토프는 둘 이상의 저차원 폴리토페의 데카르트 제품이라면 프리즘적이다.프리즘 4폴리토프는 요인이 균일하면 균일하다.하이퍼큐브는 프리즘(두 개의 사각형 또는 큐브와 선 세그먼트의 산물)이지만, 그 요인으로부터 물려받은 대칭 이외의 대칭이 있기 때문에 별도로 고려된다.
- 3-공간의 타일링 또는 벌집이란 3차원 유클리드 공간을 다면세포의 반복 격자로 나눈 것을 말한다.이러한 기울기나 테셀레이션은 무한하며 "4D" 볼륨을 구속하지 않으며, 무한 4폴리탑의 예다.3-공간의 균일한 타일링은 정점이 일치하고 우주 그룹에 의해 관련되며 세포가 균일한 다면체인 것이다.
반
아래에는 위의 기준에 따라 분류된 4-폴리토프의 다양한 범주가 열거되어 있다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Schlegel_half-solid_truncated_120-cell.png/150px-Schlegel_half-solid_truncated_120-cell.png)
- 볼록제복 4폴리톱(64개, 무한가족 2개)
- 다음을 포함한 47개의 비반사성 볼록 균일 4-115tope:
- 프리즘 균일 4폴리토프:
- {} × {p,q} : 18개의 다면체 하이퍼프리즘(입방체 하이퍼프리즘, 일반 하이퍼큐브 포함)
- 대척점에 세워진 프리즘(무한가족)
- {p} × {q} : 듀오프리스(무한가족)
- 비콘벡스 균일 4폴리탑(10 + 알 수 없음)웅장한 원형의 120셀은 정점 600개를 가진 10개의 일반 항성 4폴리탑 중 가장 크다.
- 10 (정규) 슐레플리-헤스 폴리토페스
- 57개의 하이퍼프리즘은 비콘벡스 균일 다면체 위에 만들어졌다.
- 알 수 없는 총 비콘벡스 균일 4-폴리토페 수:노먼 존슨과 다른 협력자들은 스텔라4D 소프트웨어에 의해 정점 수치로 구성된 알려진 2189개의 사례(콘벡스와 별, 무한가족 제외)를 확인했다.[7]
기타 볼록형 4폴리톱:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Cubic_honeycomb.png/150px-Cubic_honeycomb.png)
유클리드 3공간의 무한 균일 4폴리탑(볼록 균일세포의 균일 테셀레이션)
- 28개의 볼록한 균일한 벌집: 다음을 포함한 균일한 볼록 다면체 테셀레이션:
- 일반 테셀레이션 1개, 입방 벌집: {4,3,4}
쌍곡선 3공간의 무한 균일 4폴리톱(볼록 균일세포의 균일 테셀레이션)
- 76 쌍곡선 공간의 Wythoffian confects 균일 벌집(wythoffian confects)은 다음을 포함한다.
- 컴팩트 쌍곡선 3공간의 정기 테셀레이션 4개: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- 41개의 고유 이중 볼록형 균일 4-115톱
- 17개의 독특한 이중 볼록 균일한 다면체 프리즘
- 무한대의 이중 볼록 균일 듀오프리스(supreme 4면체 세포)
- 27개의 고유 볼록 이중 균일 벌꿀컴(다음 포함):
기타:
- 웨어-펠란 구조는 불규칙한 세포로 공간을 채우는 벌집형 구조
추상 일반 4폴리 토픽:
이러한 범주에는 높은 수준의 대칭성을 보이는 4-폴리톱만 포함된다.다른 많은 4-폴리토프는 가능하지만, 이러한 범주에 포함된 것만큼 광범위하게 연구되지는 않았다.
참고 항목
- 정규 4폴리토프
- 3-sphere – 4차원 공간의 구체 아날로그이것은 다면세포에 의해 경계가 되지 않기 때문에 4 폴리토프가 아니다.
- 두실린더는 두실린과 관련된 4차원 공간의 형상이다.또한 경계가 되는 볼륨이 다면체가 아니기 때문에 4폴리토프가 아니다.
참조
메모들
- ^ N.W. Johnson: 지오메트리 및 변환, (2018) ISBN978-1-107-10340-5장: 유한대칭군, 11.1 폴리토페스와 허니컴, p.224
- ^ Vialar, T. (2009). Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
- ^ Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. p. 598. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1.
- ^ Coxeter 1973, 페이지 141, §7-x. 역사적 발언.
- ^ Coxeter 1973, 페이지 292–293, 표 I(ii):4차원의 16개의 일반 폴리토페 {p,q,r}: [각 4-폴리토프의 20개 메트릭스를 에지 길이 단위로 제공하는 귀중한 표.단위 반지름의 폴리토페스를 비교하기 위해 대수적으로 변환해야 한다.]
- ^ a b c 리치슨, D.; 오일러의 보석: 다면체 포뮬러와 토포프로지의 탄생, 2008년 프린스턴.
- ^ 유니폼 폴리초라, 노먼 W. 존슨(밀턴 칼리지), 2005년 1845건
참고 문헌 목록
- H.S.M. Coxeter:
- Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover.
- H.S.M. Coxeter, M. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller:1954년 런던 왕립학회의 철학적 거래, 통일 폴리헤드라
- 케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글.아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C.Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6[1]
- (용지 22) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 I, [산술]Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (용지 23) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 II, [수학]Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (용지 24) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 III, [산술]Zeit. 200 (1988) 3–45]
- J.H.콘웨이와 M.J.T. 가이: 4차원 아르키메데스 폴리토페스, 코펜하겐에서의 볼록성에 관한 콜로키움의 진행, 1965년 38페이지/39페이지
- N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
- 4차원 아르키메데스 폴리토페스(독일어), 마르코 뮐러, 2004년 박사학위 논문 [2]
외부 링크
![]() | 위키미디어 커먼즈에는 4폴리토페어와 관련된 미디어가 있다. |
- Weisstein, Eric W. "Polychoron". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Polyhedral formula". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Regular polychoron Euler characteristics". MathWorld.
- 4차원 그림 페이지, 조지 올셰프스키.
- Olshevsky, George. "Polychoron". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
- 유니폼 폴리초라, 조나단 바우어스
- 균일한 폴리초론 뷰어 - 소스를 포함한 Java3D 애플릿
- 폴리초라 박사 R. 클라이칭
가족 | An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | |||||||
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정규 다각형 | 삼각형 | 사각형 | p-곤 | 육각형 | 펜타곤 | |||||||
균일다면체 | 사면체 | 옥타헤드론 • 큐브 | 데미큐브 | 도데카헤드론 • 이코사헤드론 | ||||||||
균일 폴리초론 | 펜타코론 | 16-셀 • 테세락트 | 데미테세락트 | 24셀 | 120 셀 • 600 셀 | |||||||
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