4칸짜리

6개의 볼록형 정규 4폴리토프 그래프

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5세포 펜타토페 사오백스	16 셀 오르톨렉스 4인조	8셀 테세락트 4시 15분
{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
24셀 옥타플렉스	600셀 테트라플렉스	120 셀 도데카플렉스

기하학에서 4-폴리토프(폴리초론,^[1] 폴리셀 또는 다면체라고도 함)는 4차원 폴리토프다.^[2][3]정점, 가장자리, 면(폴리곤), 세포(폴리헤드라) 등 저차원 다층 원소로 구성된 연결형과 폐쇄형 형상이다.각각의 얼굴은 정확히 두 개의 세포에 의해 공유된다.4개의 폴리토프는 1853년 이전에 스위스의 수학자 루드비히 슐레플리에 의해 발견되었다.^[4]

4 폴리토프의 2차원 아날로그는 다각형이고, 3차원 아날로그는 다면체다.

지형학적으로 4-폴리탑은 3-공간을 테셀레이트하는 큐빅 벌집과 같은 균일한 벌집과 밀접하게 관련되어 있다. 마찬가지로 3D 큐브는 무한 2D 사각형 타일링과 관련이 있다.볼록 4폴리톱은 3공간에 그물로 자르고 펼 수 있다.

정의

4 폴리토프는 닫힌 4차원 형상이다.정점(코너 포인트), 가장자리, 면 및 셀로 구성된다.셀은 얼굴의 3차원 아날로그로, 따라서 다면체다.각 얼굴은 정확히 두 개의 세포를 결합해야 하는데, 이는 다면체의 각 가장자리가 두 개의 얼굴만 결합하는 방식과 유사하다.다른 폴리토페와 마찬가지로 4폴리토프의 원소도 4폴리토페인 2개 이상의 세트로 세분할 수 없다. 즉, 복합체가 아니다.

기하학

볼록 정규 4폴리탑은 플라토닉 고형물의 4차원 유사점이다.가장 친숙한 4폴리토프는 큐브의 4D 아날로그인 테세락트나 하이퍼큐브다.

볼록 정규 4폴리탑은 동일한 반지름에 대해 4차원 함량(초대량)의 척도로 크기별로 주문할 수 있다.순서에서 각각의 큰 폴리토프는 동일한 반경 내에 더 많은 내용을^[5] 포함하면서 이전보다 더 둥글다.4심플렉스(5셀)는 한계 최소 케이스, 120셀은 최대 케이스다.복잡성(구성 행렬 또는 정점 수를 비교하여 측정)은 동일한 순서를 따른다.

정규 볼록 4폴리톱
대칭군	A을4	B4		F4	H4
이름	5세포 초계면체 5점	16 셀 초옥타헤드론 8점	8셀 하이퍼큐브 16점	24셀 24점	600셀 고이코사면체 120점	120 셀 초도면체 600점
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
콕시터 미러
그래프
정점	5	8	16	24	120	600
가장자리	10	24	32	96	720	1200
얼굴	삼각형 10개	삼각형 32개	24제곱	96개의 삼각형	1200 삼각형	펜타곤 720개
세포	5 사면체	사면체 16	8입방체	24옥타헤드라	사면체 600개	도데카헤드라로120번길
토리	5축면체 1개	2 8수면체	2 4시 30분	4 6옥타이드론	30수면체 20	10도면체 12개
새겨진	120 셀에 120	16 셀 1	16-182로 2	3 8시 30분	5 24 x 5	600 x 2의 5 x 2
그레이트 폴리곤		2 𝝅/2squares x 3	직사각형 4개/2개 x 3개	4㎛/3헥사곤 x 4	12㎛/5데카곤 x 6	50 //15 도데카곤 x 4
페트리 폴리곤	1오각형	팔각형 1개	옥타곤 2개	도데카곤 2개	30-gon 4개	30-gon 20
이소크라인 폴리곤		1 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4}	2 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4}	2 {12/2}=2{6} x {12/6}=6{2}	4 {30/2}=2{15} x 30{0}	20 {30/2}=2{15} x 30{0}
긴 반지름	1	1	1	1	1	1
모서리 길이	√5/√2 ≈ 1.581	√2 ≈ 1.414	1	1	1/ϕ ≈ 0.618	1/√2ϕ2 ≈ 0.270
단반경	1/4	1/2	1/2	√2/2 ≈ 0.707	1 - (√2/2√3φ)2 ≈ 0.936	1 - (1/2√3φ)2 ≈ 0.968
면적	10•√8/3 ≈ 9.428	32•√3/4 ≈ 13.856	24	96•√3/4 ≈ 41.569	1200•√3/8φ2 ≈ 99.238	720•25+10√5/8φ4 ≈ 621.9
볼륨	5•5√5/24 ≈ 2.329	16•1/3 ≈ 5.333	8	24•√2/3 ≈ 11.314	600•1/3√8φ3 ≈ 16.693	120•2 + φ/2√8φ3 ≈ 18.118
4-내용	√5/24•(√5/2)4 ≈ 0.146	2/3 ≈ 0.667	1	2	쇼트∙볼/4 ≈ 3.907	쇼트∙볼/4 ≈ 4.385

시각화

24-셀의 예시

단면도		그물
투영
슐레겔	2D 직교	3D 직교

4차원 공간에서는 추가 차원 때문에 4차원 탑을 볼 수 없다.그것들을 시각화하는 것을 돕기 위해 몇 가지 기법이 사용된다.

정사영

직교 돌출부는 4 폴리토프의 다양한 대칭 방향을 보여주는 데 사용될 수 있다.정점 가장자리 그래프로 2D로 그릴 수 있으며, 입체적인 면을 투사 봉투로 3D로 표시할 수 있다.

투시 투영

평면 시트에 3D 형상을 투영할 수 있는 것처럼 4D 형상은 3공간이나 심지어 평면 시트에 투영할 수 있다.하나의 일반적인 투영법은 3-sphere 표면의 점들을 입체 투영하여 3-공간에서 그려진 직선 가장자리, 면, 셀로 연결한 슐레겔 도표다.

단면도

다면체를 통한 슬라이스가 잘린 표면을 드러내듯이, 4 폴리토프를 통한 슬라이스는 3차원으로 잘린 '하이퍼서페이스'를 드러낸다.그러한 섹션의 순서는 전체적인 모양을 이해하는 데 사용될 수 있다.추가 치수는 이러한 단면들의 매끄러운 애니메이션을 제작하는 시간과 동일시될 수 있다.

그물

4 폴리토프의 그물은 다면체의 그물의 폴리곤 면이 가장자리로 연결되어 모두 동일한 3차원 공간을 차지하는 다면세포로 구성되어 있다.

위상학적 특성

주어진 4 폴리토프의 위상은 베티 번호와 비틀림 계수로 정의된다.^[6]

폴리헤드라를 특성화하는 데 사용되는 오일러 특성의 값은 더 높은 차원으로 유용하게 일반화되지 않으며, 그 기본 토폴로지가 무엇이든 모든 4 폴리토피에 대해 0이다.보다 높은 차원으로 서로 다른 위상들을 신뢰성 있게 구별하기 위한 오일러 특성의 이러한 결여는 보다 정교한 베티 숫자의 발견으로 이어졌다.^[6]

마찬가지로 다면체의 방향성 개념은 토로이드 4폴리토프의 표면 비틀림 특성을 나타내기에는 불충분하며, 이로 인해 비틀림 계수가 사용되게 되었다.^[6]

분류

기준

모든 폴리토페와 마찬가지로 4폴리토페는 "대칭성"과 "대칭성"과 같은 성질을 기준으로 분류할 수 있다.

• 4 폴리토프는 경계(세포, 면 및 가장자리 포함)가 스스로 교차하지 않고 4 폴리토프의 두 점을 연결하는 선 세그먼트가 4 폴리토프 또는 내부에 포함된 경우 볼록하다. 그렇지 않으면 비 콘벡스다.자가 교차하는 4-폴리탑은 비콘벡스별 폴리곤과 케플러-폴리소트 폴리헤드라의 별 모양과 유추하여 별 4-폴리탑으로도 알려져 있다.
• 4폴리토프는 깃발에 전이되면 규칙적이다.이것은 그것의 세포가 모두 합치된 정규 다면체라는 것을 의미하며, 이와 유사하게 정점 수치는 합치되고 또 다른 종류의 정규 다면체라는 것을 의미한다.
• 볼록 4폴리토프는 모든 정점이 등가(Vertex-transitive)인 대칭 그룹을 가지고 있고 그 세포가 정규 다면체라면 반정형이다.세포는 같은 종류의 얼굴을 가지고 있다면 둘 이상의 종류일 수 있다.1900년 소럴드 고셋이 확인한 경우는 5세포 수정, 600세포 수정, 24세포 스너브(snub) 3건에 불과하다.
• 4폴리토프는 모든 정점이 동등한 대칭 그룹을 가지고 있고, 그것의 세포가 균일한 다면체라면 균일하다.제복 4폴리토프의 얼굴은 규칙적이어야 한다.
• 4-폴리토프는 정점 변환인 경우 메스폼이며, 길이가 같은 가장자리를 모두 가지고 있다.이것은 보통 얼굴의 볼록한 존슨 고형물과 같이 균일하지 않은 세포들을 허용한다.
• 또한 볼록한 4폴리토프는 볼록한 4폴리토프라고 한다.
• 4-폴리토프는 둘 이상의 저차원 폴리토페의 데카르트 제품이라면 프리즘적이다.프리즘 4폴리토프는 요인이 균일하면 균일하다.하이퍼큐브는 프리즘(두 개의 사각형 또는 큐브와 선 세그먼트의 산물)이지만, 그 요인으로부터 물려받은 대칭 이외의 대칭이 있기 때문에 별도로 고려된다.
• 3-공간의 타일링 또는 벌집이란 3차원 유클리드 공간을 다면세포의 반복 격자로 나눈 것을 말한다.이러한 기울기나 테셀레이션은 무한하며 "4D" 볼륨을 구속하지 않으며, 무한 4폴리탑의 예다.3-공간의 균일한 타일링은 정점이 일치하고 우주 그룹에 의해 관련되며 세포가 균일한 다면체인 것이다.

반

아래에는 위의 기준에 따라 분류된 4-폴리토프의 다양한 범주가 열거되어 있다.

균일한 4폴리토프(Vertex-transitive):

• 볼록제복 4폴리톱(64개, 무한가족 2개)
  • 다음을 포함한 47개의 비반사성 볼록 균일 4-115tope:
    • 6 볼록형 일반 4폴리토프
  • 프리즘 균일 4폴리토프:
    • {} × {p,q} : 18개의 다면체 하이퍼프리즘(입방체 하이퍼프리즘, 일반 하이퍼큐브 포함)
    • 대척점에 세워진 프리즘(무한가족)
    • {p} × {q} : 듀오프리스(무한가족)
• 비콘벡스 균일 4폴리탑(10 + 알 수 없음)
  

  웅장한 원형의 120셀은 정점 600개를 가진 10개의 일반 항성 4폴리탑 중 가장 크다.
  • 10 (정규) 슐레플리-헤스 폴리토페스
  • 57개의 하이퍼프리즘은 비콘벡스 균일 다면체 위에 만들어졌다.
  • 알 수 없는 총 비콘벡스 균일 4-폴리토페 수:노먼 존슨과 다른 협력자들은 스텔라4D 소프트웨어에 의해 정점 수치로 구성된 알려진 2189개의 사례(콘벡스와 별, 무한가족 제외)를 확인했다.^[7]

기타 볼록형 4폴리톱:

• 다면 피라미드
• 다면 프리즘

유클리드 3공간의 무한 균일 4폴리탑(볼록 균일세포의 균일 테셀레이션)

• 28개의 볼록한 균일한 벌집: 다음을 포함한 균일한 볼록 다면체 테셀레이션:
  • 일반 테셀레이션 1개, 입방 벌집: {4,3,4}

쌍곡선 3공간의 무한 균일 4폴리톱(볼록 균일세포의 균일 테셀레이션)

• 76 쌍곡선 공간의 Wythoffian confects 균일 벌집(wythoffian confects)은 다음을 포함한다.
  • 컴팩트 쌍곡선 3공간의 정기 테셀레이션 4개: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

듀얼 유니폼 4폴리토프(셀 변환):

• 41개의 고유 이중 볼록형 균일 4-115톱
• 17개의 독특한 이중 볼록 균일한 다면체 프리즘
• 무한대의 이중 볼록 균일 듀오프리스(supreme 4면체 세포)
• 27개의 고유 볼록 이중 균일 벌꿀컴(다음 포함):
  • Rhombic 도데카헤드랄 벌집
  • 디스페노이드 사면체 벌집

기타:

• 웨어-펠란 구조는 불규칙한 세포로 공간을 채우는 벌집형 구조

추상 일반 4폴리 토픽:

• 11셀
• 57셀

이러한 범주에는 높은 수준의 대칭성을 보이는 4-폴리톱만 포함된다.다른 많은 4-폴리토프는 가능하지만, 이러한 범주에 포함된 것만큼 광범위하게 연구되지는 않았다.

참고 항목

• 정규 4폴리토프
• 3-sphere – 4차원 공간의 구체 아날로그이것은 다면세포에 의해 경계가 되지 않기 때문에 4 폴리토프가 아니다.
• 두실린더는 두실린과 관련된 4차원 공간의 형상이다.또한 경계가 되는 볼륨이 다면체가 아니기 때문에 4폴리토프가 아니다.

참조

메모들

참고 문헌 목록

• H.S.M. Coxeter:
  • Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover.
  • H.S.M. Coxeter, M. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller:1954년 런던 왕립학회의 철학적 거래, 통일 폴리헤드라
  • 케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글.아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C.Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6[1]
    • (용지 22) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 I, [산술]Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (용지 23) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 II, [수학]Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (용지 24) H.S.M. Coxeter, 정규 및 반정규 폴리토페스 III, [산술]Zeit. 200 (1988) 3–45]
• J.H.콘웨이와 M.J.T. 가이: 4차원 아르키메데스 폴리토페스, 코펜하겐에서의 볼록성에 관한 콜로키움의 진행, 1965년 38페이지/39페이지
• N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
• 4차원 아르키메데스 폴리토페스(독일어), 마르코 뮐러, 2004년 박사학위 논문 [2]

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 4폴리토페어와 관련된 미디어가 있다.

• Weisstein, Eric W. "Polychoron". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Polyhedral formula". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Regular polychoron Euler characteristics". MathWorld.
• 4차원 그림 페이지, 조지 올셰프스키.
• Olshevsky, George. "Polychoron". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
• 유니폼 폴리초라, 조나단 바우어스
• 균일한 폴리초론 뷰어 - 소스를 포함한 Java3D 애플릿
• 폴리초라 박사 R. 클라이칭

v t 치수 2-10의 기본 볼록형 일반 및 균일한 폴리토프
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
정규 다각형	삼각형	사각형	p-곤	육각형	펜타곤
균일다면체	사면체	옥타헤드론 • 큐브	데미큐브		도데카헤드론 • 이코사헤드론
균일 폴리초론	펜타코론	16-셀 • 테세락트	데미테세락트	24셀	120 셀 • 600 셀
제복5폴리토프	5와섹스	5정형 • 5정형	5데미큐브
제복6폴리토프	6-630x	6-정통 • 6-118	6데미큐브	122 • 221
제복7폴리토프	7시 15분	7정맥 • 7정맥	7데미큐브	132 • 231 • 321
제복8폴리토프	8시 15분	8정형 • 8정형	8데미큐브	142 • 241 • 421
제복9폴리토프	9시 15분	9-정통 • 9-11	9데미큐브
균일 10폴리토프	10센트짜리	10정형 • 10정형	10데미큐브
균일 n폴리토프	n-제곱스	n-직관 • n-직관	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	n-자갈 폴리토프
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