오난-스콧 정리

O'Nan–Scott theorem

수학에서, 오난-스코트 정리는 순열 그룹 이론의 가장 영향력 있는 이론들 중 하나이다; 유한한 단순 그룹의 분류가 그것을 매우 유용하게 만드는 것이다.원래 정리는 대칭 집단의 최대 하위집단에 관한 것이었다.레너드 스콧이 1979년 '유한그룹에 관한 산타크루즈 콘퍼런스'에 쓴 논문에 마이클 오난이 독자적으로 같은 결과를 증명했다는 각주가 첨부된 것으로 나타났다.[1]마이클 애쉬바허와 스콧은 나중에 정리의 진술서를 정정했다.[2]

정리를 보면 대칭군 Sym(Ω)의 최대 하위군(여기서 Ω = n)은 다음 중 하나라고 되어 있다.

  1. Skn−k × S k-s의 스태빌라이저(즉, 자동)
  2. Sa wr Sb(n = ab), 파티션의 스태빌라이저(b)를 a 크기의 b 부분(임계)으로 한다.
  3. 원시(즉, 비종속 파티션을 보존하지 않음) 및 다음 유형 중 하나:

런던수학회 회보를 위해 작성된 설문조사 논문에서 피터 J. 캐머런은 오난-스코트 정리의 진정한 힘이 유한한 원시 집단을 다양한 유형으로 분할하는 능력에 있다는 것을 가장 먼저 인식한 것으로 보인다.[3]자급자족 증명이 있는 정리의 완전한 버전은 M.W. 리벡, 셰릴 프래거, 얀 색슬이 주었다.[4]그 정리는 이제 순열집단에 관한 교과서의 표준 부분이다.[5]

오난-스코트형

오난-스코트 8종류는 다음과 같다.

HA(아벨 그룹의 홀모프):이것들은 일부 prime p와 양의 정수 d ≥ 1에 대한 아핀 일반 선형 그룹 AGL(d,p)의 하위 그룹인 원시 그룹이다.그러한 그룹 G가 원시적이 되려면 모든 번역의 부분군을 포함해야 하며, 제로 벡터의 G에 있는 스태빌라이저0 G는 GL(d,p)의 되돌릴 수 없는 부분군이어야 한다.HA형식의 원시 그룹은 초등 아벨리안이며 규칙적으로 활동하는 독특한 최소 정상 부분군을 갖는 것이 특징이다.

HS(단순 그룹의 형태):T를 유한한 비아벨리안 단순집단이 되게 하라.그 다음 M = T×T는 Ω = T by t = ttt에(t1,t2)1−12 작용한다.이제 M은 두 개의 최소 정규 부분군 N1, N을2 가지고 있으며 각각 T에 대해 이형성을 가지며 각각 Ω에 대해 규칙적으로 작용한다. Ω은 오른쪽 곱하기 1회, 왼쪽 곱하기 1회.M의 작용은 원시적이며 α = 1을T 취하면 Mα = {(t,t) t ∈ T}이 있는데, Ω에 Inn(T)을 포함한다.사실 T의 모든 자동형은 Ω에 작용한다.HS 유형의 원시 그룹은 M ≅ T와 같은 G 그룹이다.Inn(T) ≤ G ≤ T.자동(T). 그러한 모든 그룹은 최소 정규 부분군으로 N과1 N을2 가진다.

HC(복합체 그룹의 홀모프):T를 비아벨리안 단순집단으로 하고, 일부 정수 k ≥ 2에 대해서는1 N ≅ N2 ≅ T로k 한다. Ω = T로k 한다.그러면 M = N1 × N은2 모든 x ∈ Ω, n ∈ N, n1 ∈ N에122 대해(n1,n2) x = nxn을1−12 통해 Ω에 대해 전이적으로 작용한다. HS의 경우와 마찬가지로 우리는 M ≅ T를k 가지고 있다.Inn(Tk)과 T의k 모든 자동형도 Ω에 작용한다.HC형식의 원시 집단은 M g G tk T형인 G그룹이다.aut(Tk)과 g는 aut(Tk) = aut(T)wrS의k 부분군을 유도하여 k의k 단순한 직접 인자 집합에 대해 transvers적으로 작용한다.그러한 G는 각각 T와k 정규의 이형성인 두 개의 최소 정상 부분군을 가지고 있다.

HC형 그룹은 제품 구조 Ω = Δ를k 보존한다. 여기서 Δ = T, G≤ HwrS형은k HS형식의 원시 그룹이다.

TW(트위드 화환):여기서 G는 일부 유한한 비아벨리안 단순 그룹 T와 N이 Ω에 대해 규칙적으로 작용하는 고유한 최소 정규 부분군 N과 N tk T를 가진다.이러한 그룹은 트위스트 화환 제품으로 구성될 수 있으며, 따라서 라벨 TW로 구성될 수 있다.영장성을 얻기 위해 필요한 조건들은 k≥ 6 그래서 그러한 원시 집단의 가장 작은 정도가 60이라는6 것을 암시한다.

AS(거의 단순함):여기 G는 T와 Aut(T) 사이에 누워있는 그룹인데, 즉 G는 거의 단순한 그룹이기 때문에 이름이 붙은 것이다.우리는 그 행동이 원시적이라는 것 이외에는 어떤 것도 듣지 못한다.이러한 유형의 분석을 위해서는 거의 단순한 집단의 가능한 원시적 작용에 대해 알아야 하는데, 이는 거의 단순한 집단의 최대 하위 집단을 알고 있는 것과 같다.

SD(단순 대각선):일부 비아벨리안 단순 그룹 T와 정수 k ≥ 2에 대해 N = T를k, H = {(t,...,t) t ∈ T} ≤ N을 허용한다.그런 다음 N은 오른쪽 곱셈을 통해 H의 오른쪽 코스메트(N)의 Ω 집합에 작용한다.{(t1,...,tk−1, 1) t ti T}을(를) N의 H에 대한 코제트 대표자 집합으로 삼아서 T로k−1 Ω을 식별할 수 있다.이제(s1,...,sk) ∈ N은 대표(t1,...,tk−1,1)와 함께 코셋을 코셋 H(ts11,...,tsk−1k−1,sk) = H(stsk−1k1,...,stsk−1k−1k−1,1)로 가져간다.그룹 S는k 엔트리를 허용함으로써 N의 자동화를 유도하고 서브그룹 H를 고정시켜 세트 Ω에 작용한다.또한 H는 Inn(T)을 유도하여 Ω에 작용하고, 실제로 T의 모든 자동형 σ은 대표자(t1,..., tk−1, 1)와 함께 코셋을 대표자(t1σ,..., tk−1σ, 1)와 함께 코셋에 가져감으로써 Ω에 작용한다는 점에 유의한다.따라서 그룹 W = N.(Out(T) × Sk) ≤ Sym(Ω)을 얻는다.SD형 원시집단은 N의 k 단순직접인자에 대해 N subgroup G와 G가 S의k 원시부분군을 유도하는 G ≤ W 그룹이다.

CD(대각선 조합):여기에서 Ω = Δk 및 G ≤ HwrSk 여기서 H는 최소 정규 부분군 T를l 갖는 Δ에 대한 SD 유형의 원시 그룹이다.더욱이 N = T는kl G의 최소 정규 부분군이며 G는 S의k 전이 부분군을 유도한다.

PA(제품 조치):여기서 Ω = Δk 및 G ≤ HwrSk 여기서 H는 소클 T를 가진 원시 거의 단순한 그룹이다.따라서 G는 Ω에 대한 제품 작용을 가지고 있다.더욱이 N = Tk ◅ G와 G는 N의 k 단순직접인자에 대한 작용에서 S의k 전이적 부분군을 유도한다.

어떤 저자들은 다른 종류의 부문을 사용한다.가장 흔한 것은 HS와 SD를 '대각형'으로, HC, CD, PA를 '제품 작용형'으로 함께 포함하는 것이다.[6] 프라거는 나중에 쿼피리티브 그룹(모든 비비례 정상 부분군에 대한 제한이 전이적일 정도로 충실한 행동을 하는 그룹)으로 오난-스코트 정리를 일반화했다.[7]

참조

  1. ^ Scott, Leonard (1980). "Representations in characteristic p". The Santa Cruz Conference on Finite Groups (Univ. California, Santa Cruz, Calif., 1979). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 37. American Mathematical Society. pp. 319–331. ISBN 978-0-8218-1440-6.
  2. ^ Aschbacher, Michael G.; Scott, Leonard L. (1985). "Maximal subgroups of finite groups". Journal of Algebra. 92 (1): 44–80.
  3. ^ Cameron, Peter J. (1981). "Finite permutation groups and finite simple groups". Bull. London Math. Soc. 13: 1–22. doi:10.1112/blms/13.1.1.
  4. ^ Liebeck, Martin W.; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (1988). "On the O'Nan Scott Theorem for primitive permutation groups". J. Austral. Math. Soc. 44: 389–396. doi:10.1017/S144678870003216X. Retrieved 2013-04-24.
  5. ^ Dixon, John D.; Mortimer, Brian C. (1996). Permutation groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 163. Springer Verlag. ISBN 0-387-94599-7.
  6. ^ Giudici, Michael. "The O'Nan–Scott Theorem". Retrieved 24 April 2013.
  7. ^ Praeger, Cheryl E. (1993). "An O'Nan–Scott theorem for finite quasiprimitive permutation groups and an application to 2-arc transitive graphs". Journal of the London Mathematical Society. s2-47 (2): 227–239. doi:10.1112/jlms/s2-47.2.227.

외부 링크