브레이드 그룹

다섯 가닥으로 땋은 규칙적인 땋은 것. 각 화살표는 B

B_{5}

{\

의 두 가지 추가 요소를 구성한다

B_{5}

수학에서, 아르틴 브레이드 그룹이라고도 알려진 $B_{n}$ n $가닥$ 에 대한 브레이드 그룹(^[1]표시된 $B_{n}$ ${\$ 은 n-braid의 동등성 등급이며(예: 주변 동위원소법에 따른) 그룹 연산이 브레이드의 구성인 그룹이다(§ 소개 참조). 브레이드 그룹의 적용 예로는 매듭이 특정 브레이드의 폐쇄로 표현될 수 있는 매듭 이론(Alexander의 정리라고 알려진 결과), 아르틴의 브레이드 그룹에 대한 표준적인 프레젠테이션이 양-백스터 방정식 (§ Basic 속성 참조), 그리고 알헤브르의 단조 불변성(modromy invariants)이 있다.기하학 ^[2]기하학

소개

본 서론에서는 $n$ = $4$ 를 허용한다. $n$ 의 다른 값에 대한 일반화는 간단할 것이다. 각 세트의 항목이 수직으로 정렬되어 있고, 한 세트가 다른 세트의 옆에 배치되도록 테이블 위에 네 개의 항목 세트가 놓여 있는 것을 고려하십시오(아래 그림에서 이것들은 검은색 점들이다). 4개의 가닥을 사용하여 1세트의 각 품목을 2세트의 품목과 연결하여 1대1의 서신 왕래가 이루어지도록 한다. 이와 같은 관계를 땋기라고 한다. 종종 어떤 가닥들은 다른 가닥들 위로 또는 아래로 지나가야 하며, 이것은 매우 중요하다: 다음의 두 연결부는 서로 다른 땋은 것이다.

와 다르다

반면에, " 가닥을 잡아 당김"으로 같은 모양을 만들 수 있는 두 개의 연결은 동일한 땋기로 간주된다.

와 같다

모든 가닥은 왼쪽에서 오른쪽으로 이동해야 하며, 다음과 같은 매듭은 땋은 것으로 간주되지 않는다.

땋은 것이 아니다.

두 개의 땋기 중 하나는 두 번째 옆에 그려서 가운데에 있는 네 개의 항목을 식별하고 해당하는 가닥을 연결함으로써 구성할 수 있다.

으로 구성된.

수확하다

다른 예:

으로 구성된.

수확하다

$땋은$ 머리와 $땋은$ 머리를 땋은 머리를 $땋은$ 모양으로 쓴다.

4개의 가닥에 모든 땋은 머리 세트는 $B_{4}$ $B_{4}$ ${\$ 로 표시된다 $B_{4}$ 위의 땋은 머리 구성은 실로 집단 수술이다. 아이덴티티 요소는 4개의 평행 수평 가닥으로 구성된 땋은 것으로, 땋은 것의 역은 첫 번째 땋은 것이 무엇이든 "해제"하는 그 땋은 것으로 구성되는데, 이는 위의 땋은 것과 같은 도표를 그 중심을 통과하는 수직선을 가로질러 뒤집어서 얻어진다.(위의 첫 두 가지 땋은 예는 각 oth의 반대편이다.)(으)

적용들

땋은 이론은 최근 유체 역학, 특히 유체 흐름의 혼돈의 분야에 적용되고 있다. 물리적 로드, 주기적 궤적 또는 "유령 로드"의 움직임으로 형성된 (2 + 1)차원 공간 시간 궤적과 거의 상이한 세트의 브레이딩은 닐슨–의 사용을 통해 자연적으로 발생하는 여러 가지 유체 시스템의 위상학적 엔트로피를 추정하는 데 사용되어 왔다.서스턴 분류.^[3]^[4]^[5]

양자물리학의 맥락에서 땋은 집단과 관련된 위상학적 개념들을 포함하는 또 다른 강도 높은 조사의 분야는 소위 "anyon"의 이론과 (conjected) 실험 실행이다. 이러한 것들은 결국 오류 수정 양자 컴퓨팅의 기초를 형성하게 될 것이고, 따라서 그들의 추상적인 연구는 현재 양자 정보에서 근본적인 중요성을 지니고 있다.

형식적 처리

브레이드 그룹에 대한 위의 비공식적인 논의를 단단한 지면에 놓기 위해서는 브레이드 그룹을 구성 공간의 기본 그룹으로 정의하면서 대수 위상의 호모토피 개념을 사용할 필요가 있다. 또는 단순히 땋은 관계를 통해 땋은 그룹을 대수적으로 정의할 수 있으며, 직관을 유도하기 위해 그림을 염두에 둘 수도 있다.

아르틴의 의미에서 땋은 그룹을 근본적인 그룹으로 줄이는 방법을 설명하기 위해, 우리는 적어도 2차원의 연결된 $X$ $다지관$ X ${\displaystyle$ X $}$ 를 고려한다. $X$ $X$ 의 $n$ n ${\displaystyle$ $n$ $}$ 복사본의 대칭 제품이란 $X$ 인디케이스에서 동작하는 $n$ {\ $displaystyle n}$ 가닥에 $n$ 대칭 그룹의 순열 작용에 $X$ $의해$ $X^{n}$ X의 X ${\displaystystyle X$ $}$ 의 $n$ X $X^{n}$ ${\\$ displaystystyle X $^{n}$ 의 몫을 $X^{n}$ 한다 $.$ 좌표의 s 즉, $n$ 된 n{\ $displaystyle n$ } -tuple은 $n$ 재주문된 버전의 다른 것과 동일한 궤도에 있다.

$n$ ${\displaystyle n}-$ 폴드 $n$ 대칭 제품의 경로는 $n$ ${\displaystyle$ n} 문자열을 $n$ 독립적으로 추적하여 $n$ 정렬되지 않은 $X$ n ${\$ displaystyle n $}$ -tuple로 간주되는 X {\ $displaystyle X}$ 의 $n$ ${\displaystyle n$ $}$ 포인트를 $n$ $논의$ 하는 추상적인 방법이다. 문자열들이 서로 통과하지 않도록 요구해야 하므로, 대칭 제품의 하위 $Y$ Y{\ $displaystyle Y}$ -tuples $n$ of $n$ $n$ -tuples of different points의 궤도를 통과할 필요가 있다. $X^{n}$ , 우리는 $1\leq i<j\leq n$ 1 $1\leq i<j\leq n$ i $x_{i}=x_{j}$ < $>$ 에 $1\leq i<j\leq n$ x $x_{i}=x_{j}$ = $x_{i}=x_{j}$ $x_{i}=x_{j}$ ${\$ ${$ $i}=x_{j}}$ $조건$ 에 의해 $정의$ 된 X n ${\$ $displaystyle$ X^{ $n$ $}$ 의 $X^{n}$ 모든 하위 공간을 제거한다 $1\leq i<j\leq n$ 이 값은 대칭 그룹에서 불변하며, $Y$ $Y$ 은(는) $n$ 되지않은 n {\ $displaystyle$ n $}$ -tuple의 $n$ 대칭 그룹에 의한 몫이다 $Y$ . 치수 조건 $Y$ 에서는 Y $Y$ 이(가) 연결된다 $Y$ .

이 정의 우리는 n{n\displaystyle}문자열 Y{Y\displaystyle}(기준 시점의 – 어떤 선택을 유질 동상에 잘 정의되)의 근본적인 그룹과 X{X\displaystyle}의 끈 그룹 전화할 수 있다. 여기서 X{X\displaystyle}는 유클리드의 비행기 그 사건은 그 독창적인 것의 아르틴. 경우에 따라서Y{Y\displaystyle}의 높은 동위 단체들이 사소하다는 걸 표시할 수 있다.

클로즈드 브레이드

언제 것을 X면의 땋은, 즉, 해당하는 끝 쌍으로 연결될 수 있고 링크를, 즉, 3차원에서 발생한 노티드 루프의 가능성이 있는 연관성이 동맹을 결성하는 것 무너질 수 있다. 1n에에서 링크를 구성 요소의 수는 어떤 것이든 될 수 있은 연결에 의해의 순열에 따라. J.W. 알렉산더의 정리가 모든 링크들 이런 방법으로 머리 땋의"폐쇄"로 얻을 방법을 보여 줍니다. 문자열들과 비교해 보라.

단지 다른 횡단 도식을 같은 매듭을 생산한다는 다른 땋은 머리 같은 링크에, 생길 수 있다. 1935년에, 안드레이 마르코프 주니어는 의 값을 감고 땋은 등가가 편조 다이어그램에 2회 이전을 묘사했다.[6] 마르코프의 정리의single-move 버전, 1997년에 출판되었다.[7]

본 존스 원래 끈목 invariant로서 그리고 그 후는 폐쇄 현재의 클래스에만 의존을 보여 주었 다항식 정의되어 있다.

그 마르코프 정리에 두 갈래로 땋아 양의 폐쇄가 해당 링크와 필요 충분 조건을 준다.[8]

브레이드 인덱스

띠들은 링크의 폐쇄적인 끈 표현하기 위해 필요한 그"브레이드 지수"은 가장 덜 수. 그것은 사이페 르트 서클의 매듭의 투영에서 가장 적은 숫자와 동일하다.[9]

역사

비록(로 빌헬름 마그누스 1974[10]에서 지적)그들은 이미 monodromy에 1891년에서 아돌프 후르 비츠의 일에 대해 암묵적인 것 두 갈래로 땋다 그룹을 명시적으로 에밀 아르틴. Emil.에 의해 1925년 소개되었다.

브레이드 그룹은 1947년 에밀 아르틴이 보여주었던 것처럼 노골적인 프레젠테이션으로 설명될 수 있다.^[11] 브레이드 그룹은 또한 더 깊은 수학적 해석으로 이해된다: 특정한 구성 공간의 기본 그룹이다.^[11]

마그누스의 말대로 허위츠는 1962년 랠프 폭스와 리 뉴워스에 의해 재발견되기 전까지 시야에서 사라진 해석인 구성 공간의 기본 집단(cf. 땋은 이론)으로 땋은 집단의 해석을 제시했다.^[12]

기본 속성

생성자 및 관계

다음 세 가지 땋기를 고려하십시오.


${\displaystyle \sigma _{1}.$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$

$B_{4}$ ${\$ 의 모든 땋은 부분은 이러한 땋은 땋은 머리와 그 뒤집기의 여러 가지 구성으로 쓸 수 $B_{4}$ 있다. 즉, 이 세 개의 땋은 머리 $B_{4}$ 은 그룹 $B_{4}$ B 4 {\ $displaystyle B_$ 4 $}$ 를 생성한다. 이를 위해 임의 땋은 머리를 왼쪽에서 오른쪽으로 스캔한다. 위에서 시작하여 가닥 $i$ ${\displaystyle$ i $}$ 와 $i$ $i+1$ + 1 ${\displaystystyle$ i $+1}$ 의 교차점이 발생할 $i+1$ 때마다 $\sigma _{i}$ ${\$ $\sigma _{i}^{-1}$ strand i - $\sigma _{i}^{-1}$ ${\$ strand $i$ {\ $displaystyle i}$ 이(가) strand i $i+1$ + $i+1$ ${\displaysty i+1}$ 아래로 또는 $i$ 위로 이동하는지 여부에 따라 기록된다 $\sigma _{i}^{-1}$ $i+1$ $\sigma$ 끝에 도달하자마자, $\sigma$ 땋은 머리를 $display$ {\ $displaystyle$ \sigma $}$ s와 그 invers의 상품으로 썼다.

는 것은 분명하다

(i)

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

1

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

=

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}

{ 1

{\

다음의 두 관계는 그다지 명백하지 않다.

(iia)

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

1

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

=

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

1 {

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

\

displaystyle

\

_ma _{1

}\

_ma

_

{1

}=\ _ma

_{2}\ _ma

_

{1

}\ _ma

_{1}\ _ma_{

1}\2

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}

(iib)

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

2

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

=

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

{ 3

\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}

{ \

displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{3}\

sigma

_{

2}\\

ma _{2}\}}

ma_{

3}}}}}}}}

(이러한 관계는 종이에 땋은 머리를 그리면 가장 잘 이해할 수 있다. $\sigma _{1}$ 머리 among $\sigma _{1}$ ${\$ $\sigma _{2}$ 2 ${\$ $\sigma _{3}$ 3 ${\$ 사이의 다른 모든 관계는 이미 $\sigma _{3}$ 이러한 관계와 그룹 공리에서 따온 것임을 알 수 있다.

$이$ 예를 n $n$ 가닥에 $n$ 일반화하면 다음 프레젠테이션을 통해 그룹 $B_{n}$ ${\$ 를 추상적으로 정의할 수 있다 $B_{n}$ .

B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,

$1\leq i\leq n-2$ 서 첫 번째 관계 그룹 $1\leq i\leq n-2$ $1\leq i\leq n-2$ $1\leq i\leq n-2$ - 2 ${\displaystyle 1\leq$ i $\leq n-2}$ 및 $1\leq i\leq n-2$ 두 번째 관계 그룹에서는 $i-j\geq 2$ - $i-j\geq 2$ $i-j\geq 2$ $i-j\geq 2$ ${\displaysty i-j\geq 2$ 이 프레젠테이션은 Artin 그룹이라고 불리는 땋은 그룹의 일반화로 이어진다. 땋은 관계로 알려진 입방 관계는 양-백스터 방정식 이론에 중요한 역할을 한다.

추가 특성

땋은 $B_{1}$ $B_{1}$ 1 ${\$ }은 사소한 $B_{1}$ $B_{2}$ 이고, $B_{2}$ 2 $B_{2}$ {\ $displaystyle B_{2}}$ 은 $B_{2}$ 무한순환 $\mathbb {Z}$ Z ${\$ $B_{3}$ $B_{3}$ 3 $B_{3}$ {\ $displaysty B_{3}}$ 는 삼포일 매듭 그룹에 이형이다 $B_{3}$ . 특히 무한 비아벨리안 그룹이다.
n 스트랜드 브레이드 그룹 $B_{n}$ ${\$ }은 $($ 는 $)$ 첫 번째 n $가닥$ 을 넘지 않는 가닥을 추가함으로써 (n $B_{n+1}$ $(n+1)$ + $(n+1)$ ) ${\displaystyle (n+$ 1) $-스트랜드$ 브레이드 $(n+1)$ 그룹 $B_{n+1}$ + $B_{n+1}$ ${\$ 1}에 하위 $그룹으로$ 삽입된다 $B_{n}$ . 모든 $n\geq 1$ $n\geq 1$ $n\geq 1$ ${\displaystyle n\geq$ 1 $}$ 을(를) 가진 브레이드 그룹의 결합이 증가하는 것은 무한 브레이드 그룹 $B_{\infty }$ $B_{\infty }$ ${\$ 이다 $n\geq 1$ $B_{\infty }$
$B_{n}$ ${\$ 의 모든 비식별 요소에는 무한 순서가 있다 $B_{n}$ . 즉, $B_{n}$ ${\$ 는 $B_{n}$ 비틀림이 없다.
$B_{n}$ 순서라 불리는 $Bn$ {\ $displaystyle$ B_ ${n}$ 에 좌불변 선형 순서가 있다 $.$
$n\geq 3$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ 의 경우 $n\geq 3$ $B_{n}$ ${\$ 에는 두 개의 발전기에서 자유 그룹에 대한 부분군 이형성이 포함되어 $B_{n}$ 있다.
$σ i$ 1에 $의해$ 정의된 $B_{n}\to \mathbb {Z}$ $\mathb {Z}$ 에 동형상 $B_{n}\to \mathbb {Z}$ → Z ${\$ 이 있다.그래서 예를 들어 땋은 $σσσσσσ$ 은₂₃₁⁻¹₂₃ $1$ + 1 - $1$ + 1 + 1 + $1$ = 3으로 $매핑된다$ . 이 지도는 땋은 집단의 아벨리안화에 해당한다. $k i k$ $k=0$ = 0 {\ $displaystyle k=0}$ 인 경우에만 σ이 $i k$ ID가 된다 $k=0$ 이것은 발전기의 질서가 무한하다는 것을 증명한다.

상호작용

대칭 그룹 및 순수 브레이드 그룹과의 관계

가닥이 어떻게 꼬이고 교차하는지를 잊어버림으로써, $n$ 가닥의 모든 땋은 것은 n $원소$ 의 순열을 결정한다. 이 임무는 구성과 호환되며, 따라서 브레이드 그룹에서 대칭 그룹까지 굴절 그룹 $동형성 n$ B → $S$ 가_n 된다. 땋은 σ_i $B$ 의_n 이미지는 $전이 i$ s = ( $i,$ i+1 $) \in$ S. $이러한 n$ 전이들은 대칭 집단을 생성하여 땋은 집단 관계를 만족시키고 순서 2를 갖는다. 이렇게 하면 브레이드 그룹의 Artin 프레젠테이션이 대칭 그룹의 Coxeter 프레젠테이션으로 변환된다.

S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1} s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }} i-j \geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .

동형성 $B n$ → $S$ 의_n 알맹이는 $n$ 가닥에 순수한 땋은 그룹이라 불리는 $B$ 의_n 부분군이며 $P$ 를_n 나타낸다. 순수한 땋은 머리에는 각 가닥의 시작과 끝이 같은 위치에 있다. 순수한 땋은 그룹이 짧은 순서에 맞음

1\to F_{n-1}\to P_{n}\to 1.

이 시퀀스는 분리되어 순수한 브레이드 그룹이 자유 그룹의 반직접 제품으로 구현된다.

$B_{3}$ $B_{3}$ ${\$ 와 $B_{3}$ 모듈 그룹 간의 관계

B_{3}

B_{3}

{\

은

B_{3}

모듈러 그룹의 보편적인 중앙 확장이다.

브레이드 그룹 $B_{3}$ ${\$ B_ ${3}$ 는 모듈 그룹 $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ ( $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ 2 , $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ ) $\mathrmat {PSL}(2,\mathb {Z})$ 의 범용 중앙 확장이며 $B_{3}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ 이러한 확장자는 (상호) 범용 커버 그룹 내부에 래티로 앉아 있다.

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

(

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

,

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

R

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

)

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

→ P

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

L

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

(

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

,

){\displaystyle {\overline {\mathrm {SL}(2,\mathb {R})}}}}}\to \mathrmat {PSL}(2,\mathb {R}

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )

나아가 모듈형 집단은 사소한 중심을 가지며, 따라서 모듈형 $B_{3}$ 은 B $B_{3}$ ${\$ 의 $B_{3}$ 지수 집단에 이형성이며, $Z(B_{3}),$ ( $Z(B_{3}),$ 3 $Z(B_{3}),$ ${\displaysty Z$ $($ $B_{3}),$ {\ $displaystytle B_{3}$ 의 내부 자동화 집단에 동등하다 $Z(B_{3}),$ $B_{3}$

이것은 이형질성의 구성이다. 정의

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

=

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

,

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

=

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

1

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

2

a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}

{\

displaystyle a=\mama

_{1

}\mama _{1}\mama

_

{1},\quadb=\{ma _{1}\

1}\

sigma

}}.

땋은 관계에서 $a^{2}=b^{3}$ = $a^{2}=b^{3}$ $a^{2}=b^{3}$ ${\$ a $^{2}=b^{3$ 이 후자의 $c$ 을 c $c$ 로 표시하면 $c$ 땋은 관계에서 확인할 수 있다.

\properma _{1}c\probma _{1}^{-1}=\probma _{2}c\probma _{2}^{-1}=c

$c$ $c$ 이(가) $B_{3}$ $B_{3}$ ${\$ 의 중심에 있음을 $c$ 암시함 $B_{3}$ $C$ $C$ 는 $C$ 가 생성한 $B_{3}$ $B_{3}$ 3 ${\$ 의 부분군을 나타내며 $C$ $,$ $C$ ⊂ $Z (B 3$ )이므로 일반 $부분군$ 이므로₃ B $/ C$ 를 취할 수 있다. $우리$ 는₃ B $/ C$ ≅ $PSL (2,$ $Z$ )을 주장한다 $;$ 이 이등형식은 명시적인 형태를 줄 수 있다. 코세츠 $σC 1$ 및 $σC 2$ 맵:

\sigma _{1}C\mapsto R={\bmatrix}1&\\0&1\end{bmatrix}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\bmatrix}1&0\1\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $L$ 과 $R$ 은 Stern-Brocot 트리의 표준 좌우 이동이며, 이러한 이동은 모듈 그룹을 생성한다는 것은 잘 알려져 있다.

또는 모듈 그룹에 대한 하나의 일반적인 프레젠테이션은

\langle v,p\, \,v^{2}=p^{3}=1\angle

어디에

v={\bmatrix}0&1\-1&0\end{bmatrix},\qquad p={\matrix}0&1\-1\end{bmatrix}}}.

$a$ 를 v와 $b$ 에 $p$ 에 매핑하면 굴절 그룹 동형성 $B 3$ → $PSL(2,$ Z)이 발생한다 $.$

$B$ 의₃ 중심은 $C$ 와 같으며, $c$ 가 중심에 있다는 사실의 결과물이며, 모듈 그룹은 사소한 중심을 가지고 있으며, 위의 허탈적 동형성은 커널 $C$ 를 가지고 있다.

매핑 클래스 그룹과의 관계 및 브레이드 분류

브레이드 그룹 $B$ 는_n $구멍$ 이 뚫린 디스크의 매핑 클래스 그룹에 이형성인 것으로 보일 수 있다. 이것은 각각의 구멍이 하나의 줄로 디스크의 경계에 연결되는 것으로 상상함으로써 가장 쉽게 시각화된다; 각각의 구멍 두 개를 허용하는 균형성을 매핑하는 것은 끈의 호모토피, 즉 이 끈의 브레이딩으로 볼 수 있다.

브레이드의 이러한 매핑 클래스 그룹 해석을 통해 각 브레이드는 주기적, 환원 가능 또는 유사 아노소프로 분류될 수 있다.

매듭에 대한 연결 이론

땋은 다음 새 줄을 사용하여 첫 번째 왼쪽 항목을 첫 번째 오른쪽 항목에 연결하고, 두 번째 왼쪽 항목을 두 번째 오른쪽 항목 등에 연결하면(새 문자열에서 땋은 부분을 만들지 않음) 연결고리를 얻으며, 때로는 매듭을 맺는다. 땋은 이론의 알렉산더의 정리에는 역행도 사실이라고 되어 있다: 모든 매듭과 모든 연결은 적어도 하나의 땋은 머리에서 생겨난다; 그러한 땋은 것은 그 고리를 끊어 얻어낼 수 있다. 땋은 머리를 발전기 $σ$ 에서_i 단어로 구체적으로 제시할 수 있기 때문에, 이는 종종 컴퓨터 프로그램에 매듭을 입력하는 선호되는 방법이다.

계산적 측면

브레이드 관계에 대한 문제는 효율적으로 해결할 수 있으며 발전기 $σ 1, ..., σ$ 의_n−1 관점에서 $B$ 의_n 요소들에 대한 정상적인 형태가 존재한다. (본질적으로 브레이드의 정상적인 형태를 계산하는 것은 위의 두 번째 이미지 세트에서 예시된 바와 같이 " 가닥을 당기는"의 대수적 아날로그가 된다.) 자유 GAP 컴퓨터 대수 시스템은 원소들이 이러한 발전기들의 관점에서 주어진다면 $B$ 의_n 계산을 수행할 수 있다. 또한 땋은 그룹을 위한 특별 지원을 포함한 GAP3용 CHEVIE라는 패키지도 있다. 로렌스-크람머 표현을 통해서도 문제가 효율적으로 해결된다.

문제라는 단어 외에도, 브레이드 그룹을 구현할 수 있는 몇 가지 알려진 하드 연산 문제가 있으며, 암호학의 응용 프로그램이 제안되었다.^[13]

행동들

순열에 의한 대칭 집단의 작용과 유사하게, 다양한 수학적 설정에서 땋은 집단의 자연적인 작용이 물체의 n-투쌍이나 n-폴드 텐서 제품에 존재하며, 이 작용은 일부 "트위스트"를 수반한다. 임의의 그룹 $G$ 를 고려하고 $X$ 를 $G$ 의 ID 요소인 $G$ 의 모든 n-tules 집합으로 한다. 그 후 $B$ 는_n $다음$ 과 같은 방법으로 X에게 행동한다.

\sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).

따라서 원소 $x$ 와_i $x$ 는_i+1 위치를 교환하며, 또한 $x$ 에_i+1 해당하는 내부 자동형성에 의해 $x$ 가_i 뒤틀리게 되는데, 이는 $x$ 의 성분의 산물이 정체성 원소를 유지하도록 보장한다. 브레이드 그룹 관계가 만족하는지 확인할 수 있으며, 이 공식은 $실제로$ X에 $대한 n$ B의 그룹 작용을 정의한다. 또 다른 예로, 땋은 단면체 범주는 땋은 그룹 액션이 있는 단면체 범주다. 그러한 구조는 현대 수학 물리학에서 중요한 역할을 하며 양자 매듭 불변제로 이어진다.

표현

땋은 $그룹 n$ B의 요소들은 행렬로 더 구체적으로 표현될 수 있다. 고전적인 표현 중 하나는 Burau 표현인데, 여기서 행렬 항목은 단일 변수 Laurent 다항식이다. 부라우 대표성이 충실했는가는 오랜 의문이었지만, 답은 $n$ ≥ $5$ 에 대해 부정적으로 판명되었다.더 일반적으로 땋은 그룹이 선형인지 아닌지가 중요한 개방적인 문제였다. 1990년에 루스 로렌스는 몇 가지 변수에 따라 보다 일반적인 "로렌스 표현"의 가족을 묘사했다. 1996년 체탄 나약과 프랭크 윌체크는 $SO$ (3 $)$ 의 투사적 표현과 유사하게 브레이드 그룹의 투사적 표현은 부분 양자 홀 효과에서 특정 퀘이파티클에 물리적 의미를 갖는다고 주장했다. 2001년경 Stephen Bigelow와 Dan Krammer는 독립적으로 모든 땋은 그룹이 선형이라는 것을 증명했다. 그들의 연구는 변수 $q$ 와 $t$ 에 따라 $n(n-1)/2$ 치수 $n(n-1)/2$ ( $n(n-1)/2$ - 1 $n(n-1)/2$ ) $n(n-1)/2$ / $n(n-1)/2$ $(\displaystyle n(n-1)/2}$ 의 로렌스-크람머 표현을 사용했다. 이러한 변수를 적절히 전문화함으로써 브레이드 그룹 $B_{n}$ ${\$ 을 복잡한 숫자에 걸쳐 일반 선형 그룹의 하위 그룹으로 실현할 수 있다 $B_{n}$ .

무한히 생성된 브레이드 그룹

이 개념을 무한한 수의 가닥으로 일반화하는 방법은 여러 가지가 있다. The simplest way is to take the direct limit of braid groups, where the attaching maps $f\colon B_{n}\to B_{n+1}$ send the $n-1$ generators of $B_{n}$ to the first $n-1$ generators of ${\displayst$ $yle B_{n+1$ }:{n+1 $}($ 즉, 사소한 가닥을 붙여서). Paul Fabel은 각각의 완성이 다른 그룹을 산출하는 결과 그룹에 부과될 수 있는 두 가지 토폴로지가 있음을 보여주었다. 하나는 매우 길들여진 집단이고 무한히 구멍이 난 디스크의 매핑 클래스 그룹, 즉 디스크의 경계에 제한되는 분리된 구멍들의 집합과 이형성이다.

두 번째 그룹은 유한한 땋은 그룹과 같은 것으로 생각할 수 있다. Place a strand at each of the points $(0,1/n)$ and the set of all braids—where a braid is defined to be a collection of paths from the points $(0,1/n,0)$ to the points $(0,1/n,1)$ so that the function yields a permutation on endpoints—이 와일더 그룹에 이형성인 것이다. 흥미로운 사실은 이 그룹의 순수 브레이드 그룹이 유한 순수 브레이드 그룹 $P_{n}$ n ${\$ 의 역 한계와 $P_{n}$ 힐버트 큐브의 기본 그룹 - 세트 - 이형이라는 것이다.

\{(x_{i})_{i\in \mathb {N}\}\mid x_{i}=x_{j}{\text{{} 일부 }i\neq j\}.

코호몰로지

그룹 $G$ $G$ 의 코호몰로지(cohomology)는 $G$ $해당$ Eilenberg-MacLane 분류 공간 $K(G,1)$ $K(G,1)$ $K(G,1)$ ) ${\displaysty K(G,1)$ 의 코호몰로지로서 정의되는데 $K(G,1)$ 이 복합체는 G ${\displaysty G}$ 에서 $G$ 호모토피까지 고유하게 결정되는 CW 복합물이다. 브레이드 그룹 $B_{n}$ ${\$ 의 분류 공간은 $B_{n}$ n^th $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\$ 즉 평면에서 $n$ ${\displaystyle$ n $}개$ 의 고유 $n$ 비순서형 점 집합:^[14]

\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}

.

그러니까 정의상으로는

H^{*}(B_{n})=H^{*}(K(B_{n},1)=H^{*}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathb {R} ^{2})).

$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\$ 의 계수에 대한 계산은 Fuks(1970)에서 확인할 수 있다 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .^[15]

마찬가지로 순수 브레이드 그룹 $P_{n}$ ${\$ 의 분류 공간은 $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ ( $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ 2 $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ ) ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathb {R} ^{2}),$ 입니다 $P_{n}$ $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ n R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}의 Thorderedconfiguration 공간}. 1968년 블라디미르 아르놀트에서 외부 대수degree-one 수업의 컬렉션에 의해 생성되는 순수한 브레이드 그룹의 정수 cohomology Pn{\displaystyle P_{n}}은 지수 ω 나는 < 나는 j 1≤, j≤ n{\displaystyle \ome을 보여 주었다.ga_{ $ij}\;\;1\leq$ i $<j.leq$ n $\omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n$ 관계에^[16] 따라 달라진다.

\displaystyle \omega _{k,\ell _{\ell,m}+\omega _{m,k}+\omega_{m,k}\omega _{k,\ell}=0.}

참고 항목

아르틴-티츠 그룹
땋은 단면체 범주
브레이드 벡터 공간
브레이드 호프 대수
링잉 소프트웨어 변경 – 소프트웨어가 브레이드 이론을 사용하여 벨링 패턴을 모델링하는 방법
매듭 이론
비확정암호법

참조

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추가 읽기

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외부 링크

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과학잡지 WINNER 2017 Dance Your PhD: 브레이드 그룹의 표현. 낸시 셰리히
춤의 수학 박사학위 1부: 땋은 그룹 낸시 셰리히 영화에서 사용된 땋은 그룹에 대한 설명.

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v t 브레이딩
이론	브레이드 그룹 브레이드 이론 브룬어 링크
연습	땋다 브레이딩 머신 땋은 로프 3D 직조 3D 복합 재료 3D 땋은 직물 직조

v t 매듭 이론(knots and links)
쌍곡선	그림-8(4₁) 3-twist(5₂) 스테베도어(6₁) 6₂ 6₃ Endless (7₄) 카릭 매트(8₁₈) 페르코 쌍(10₁₆₁) (-2,3,7) 프레첼(12n242) 화이트헤드(5² ₁) 보로미아 링(6³ ₂) L10a140
위성	합성노츠 할머니 사각형 매듭합
토러스	Unknot (0₁) 트레포일(3₁) 신케포일(5₁) Septafoil (7₁) 연결² ₁ 해제(0) 호프² ₁ (2) 솔로몬의 (4² ₁)
불변제	교대로 아르프 불변성 브리지 넘버. 교량2길 브루니안 치랄리티 되돌릴 수 없는 크로스캡 번호. 건널목 NO. 유한형 불변성 쌍곡체량 호바노프 호몰로지 속 매듭군 링크 그룹 링크 번호. 다항식 알렉산더 브래킷 홈플라이 존스 카우프만 프레첼 프라임 리스트를 작성하다 안 돼. 삼색성 코트를 풀지 않는 번호와 문제
표기법 및 운영	알렉산더-브릭스 표기법 콘웨이 표기법 다우커 표기법 플라이페 돌연변이 리드미스터 이동 스키인 관계 표
기타	알렉산더의 정리 베르헤 브레이드 이론 콘웨이 구 보완 더블 토러스 섬유질된 매듭 매듭과 연결 목록 리본 슬라이스 합계 타이트 추측 트위스트 와일드 쓰기 수술 이론
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목차

소개

적용들

형식적 처리

클로즈드 브레이드

브레이드 인덱스

역사

기본 속성

생성자 및 관계

추가 특성

상호작용

대칭 그룹 및 순수 브레이드 그룹과의 관계

$B_{3}$ $B_{3}$ ${\$ 와 $B_{3}$ 모듈 그룹 간의 관계

매핑 클래스 그룹과의 관계 및 브레이드 분류

매듭에 대한 연결 이론

계산적 측면

행동들

표현

무한히 생성된 브레이드 그룹

코호몰로지

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크

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클로즈드 브레이드

브레이드 인덱스

역사

기본 속성

생성자 및 관계

추가 특성

상호작용

대칭 그룹 및 순수 브레이드 그룹과의 관계

B 3 {\displaystyle B_{3}}와 모듈 그룹 간의 관계

매핑 클래스 그룹과의 관계 및 브레이드 분류

매듭에 대한 연결 이론

계산적 측면

행동들

표현

무한히 생성된 브레이드 그룹

코호몰로지

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크

$B_{3}$ $B_{3}$ ${\$ 와 $B_{3}$ 모듈 그룹 간의 관계