Resolvent (갈루아 이론)

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추상 대수학 분야 내의 학문인 갈루아 이론에서 순열 그룹 G에 대한 분해자는 다항식으로서, 계수가 주어진 다항식 p의 계수에 따라 다항식적으로 의존하며, 대략적으로 말하면 p의 갈루아 그룹이 G에 포함되는 경우에만 합리적인 뿌리를 가지고 있다.더 정확히 말하면, 갈루아 그룹이 포함되는 경우. G에서 그러면 분해자는 이성적인 뿌리를 가지고 있고, 이성적인 뿌리가 단순한 뿌리라면 그 반대는 진실이다. 해결제는 조셉 루이스 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)가 도입했으며, 에바리스테 갈루아가 체계적으로 사용했다. 오늘날 그것들은 여전히 갈루아 집단을 계산하는 근본적인 도구다. 분해제의 가장 간단한 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$ 여기서$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 판별이며, 이는 교대 그룹의 분해물이다. 입방정식의 경우, 이 분해능을 2차 분해능이라고 부르기도 한다. 그 뿌리는 입방정식의 뿌리에 대한 공식에 명시적으로 나타난다.
• 8개 원소의 분면 그룹에 대한 분해능인 사분방정식의 입방 분해능.
• 케이리 분해능은 최대 분해능 갈루아 집단의 분해능 5도 입니다. 6급 다항식이다.

이 세 가지 분해제는 항상 분리할 수 있는 성질을 가지고 있는데, 즉, 뿌리가 여러 개일 경우 다항 p는 되돌릴 수 없는 성질이 아니라는 뜻이다. 모든 순열 그룹에 대해 항상 분리 가능한 해결책이 있는지 여부는 알려져 있지 않다.

모든 방정식에 대해 뿌리는 급진적인 면과 분해능 그룹에 대한 분해능의 뿌리로 표현될 수 있다. 왜냐하면, 이 뿌리에 의해 생성된 필드에 대한 방정식의 갈루아 그룹은 분해능이 있기 때문이다.

정의

n을 양의 정수로 하고, 이것은 우리가 고려할 방정식의 정도가 될 것이고, (X_1n, ..., X) 순서의 불분수 리스트가 될 것이다. 이것은 도 n의 일반적인 다항식을 정의한다.

여기서 E는_i ih 초등 대칭 다항식이다.

대칭군 S는_n X를_i 허용함으로써 X에 작용하며, 이는 X의_i 다항식들에 대한 작용을 유도한다. 이 작용에 따라 주어진 다항식의 안정성은 일반적으로 사소한 것이지만, 일부 다항식의 안정성은 더 크다. 예를 들어, 기본 대칭 다항식의 안정성은 전체 그룹 S이다_n. 스태빌라이저가 비임계인 경우 다항식은 일부 비임계 부분군 G에 의해 고정된다. G의 불변성이라고 한다. 반대로 S의_n 부분군 G에 대해 G의 불변성분은 더 큰 부분군의_n 불변성이 아닌 경우 G의 분해 불변성이다.^[1]

S의_n 주어진 부분군 G에 대한 불변제를 찾는 것은 비교적 쉽다; S의_n 작용에 따라 단항 궤도를 합칠 수 있다. 그러나 결과적인 다항식이 더 큰 집단의 불변성인 경우가 발생할 수 있다. 예를 들어 (12)(34), (13)(24), (14)(23)로 구성된 순서 4의₄ S의 부분군 G의 경우와 (표기법은 순열 그룹 참조)를 고려한다. 단수 XX는₁₂ 불변성 2(XX₁₂ + XX₃₄)를 준다. (12)에 의해 불변하기 때문에 G에 대한 분해불변형 불변성이 아니며, 사실 이음 부분군 ⟨(12), (1324)⟩에 대한 분해불변형 불변형이며, 사분방정식의 분해불변형 입방체를 정의하는 데 사용된다.

P가 지수 m의 G 그룹에 대한 분해 불변제라면, S에_n 따른 그것의 궤도는 m을 명령한다. P₁, ..., P를_m 이 궤도의 원소가 되게 하라. 그러면 다항식

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

S하에서는_n 불변이다. 따라서, 확장되었을 때, 그 계수는 대칭 그룹의 작용에 따라 불변하는_i X의 다항식이므로, 기초 대칭 다항식에서는 다항식으로 표현될 수 있다. 즉, R은_G Y에서 계수가 F의 계수에서 다항식인 불가역 다항식이다. 분해 불변성을 근원으로 하여 분해능(때로는 분해능 방정식)이라고 한다.

이제 돌이킬 수 없는 다항식을 고려하십시오.

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

주어진 필드 K(일반적으로 이성계 필드)에 계수를 두고 대수적으로 닫힌 필드 확장에 루트 x를_i 적용한다. X를_ii x로 대체하고 F의 계수를 f의 계수로 대체하면 다항식 $R{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle G_{}^{}}$( ${\displaystyle f_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}Y}$ $){\displaystyle R_{G}^{{$G}^{($f)}(Y$ 애매한 경우 resolvent 또는 특수 resolvent라고도 한다. F의 갈루아 그룹이 G에 포함되어 있는 경우, 분해 불변성의 특화는 G에 의해 불변성이므로 K(K)에 속하는$$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ G${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle f_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle R_{G}^{$G}^{$f)}($Y$)}$의 근원이 된다. 반대로 $R{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle G_{}^{}}$( f${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}Y}$) ${\displaystyle R_{G}^{{$G}^{($f)}(Y)}}$이(가) 다중 루트가 아닌 합리적인 루트를 가지고 있다면$$ f의 갈루아 그룹은 G에 포함되어 있다.

용어.

용어에는 몇 가지 변형된 것이 있다.

• 저자나 맥락에 따라, 분해능은 분해능 방정식이 아닌 분해능 불변성을 나타낼 수 있다.
• 갈루아 분해자는 분해 불변제가 뿌리에서 선형인 분해물이다.
• Lagrange 분해능은 선형 다항식을 참조할 수 있다.
  $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\오메가 ^{i}}}}$$

  
  여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 단일성의 원시 n번째 루트다. 그것은 정체성 그룹에 대한 갈루아 분해자의 분해 불변성이다.
• 상대적 분해능은 분해능과 유사하게 정의되지만, S의_n 주어진 부분군 H 원소의 작용만을 고려하여, H의 부분군 G에 대한 상대 분해능이 합리적 단순 뿌리를 가지고 있고 f의 갈루아 그룹이 H에 포함되어 있는 경우, F의 갈루아 그룹이 G에 포함되어 있는 특성을 갖는다. 이런 맥락에서 통상적인 분해능을 절대 분해능이라고 한다.

리졸벤트법

$도수{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$의 다항식 갈루아 ${\displaystyle {그룹}_{}}$은 S n ${\$이거나 그 중 적절한 하위 그룹이다. 다항식이 분리 가능하고 수정할 수 없는 경우 해당 갈루아 그룹은 전이적 하위 그룹이다.

${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 전이성 부분군은 지시된 그래프를 형성한다$$. 한 그룹은 여러 그룹의 하위 그룹이 될 수 있다. 한 가지 해결사는 다항식의 갈루아 그룹이 주어진 그룹의 (필수적으로 적절하지 않은) 하위 그룹인지 구별할 수 있다. 레졸벤트 방식은 한 그룹만 가능해질 때까지 한 그룹씩 점검하는 체계적인 방법일 뿐이다. 이것은 모든 그룹이 확인되어야 한다는 것을 의미하지 않는다: 모든 해결책이 가능한 많은 그룹을 취소할 수 있다. 예를 들어, 5도 다항식의 경우 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$: A ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{M}}_{}}$ 20$${\$displaystyle M_{20}$의 분해제는 원하는 정보를 제공할$$ 필요가 없다.

한 가지 방법은 최대(전환) 부분군에서 시작하여 적절한 부분군이 발견될 때까지 계속하여 그 부분의 최대 부분군을 찾는 것이다.

참조

• Dickson, Leonard E. (1959). Algebraic Theories. New York: Dover Publications Inc. p. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "On the computation of resolvents and Galois groups". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007/BF01165834. S2CID 123752910.