대칭함수

수학에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 함수는 변수의 순서에 상관없이 값이 같으면 대칭이다. For example, a function ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ of two arguments is a symmetric function if and only if ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ for all ${\displaystyle x_{1}}$ and ${\displaystyle x_{}}$${\displaystyle x_{2}}$ such that ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ and ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ are in the domain of ${\displaystyle f.}$ The most commonly encountered symmetric functions are polynomial functions, which are given by the symm등각 다항식

관련된 개념은 변수의 교환에 따라 부호를 변경하는 다항식 교대형이다. 다항식 함수를 제외하고 여러 벡터의 함수로 작용하는 텐서는 대칭적일 수 있으며, 실제로 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$에 있는 $대칭{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$V} -tensor의$$ $공간$은${\displaystyle }$V.$${\$displaystyle V.}$ 대칭에서$$$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystystytyle k}$의 동종 다항식 공간과 이형이다.ic 함수는 다른 종류의 대칭을 갖는 짝수 및 홀수 함수와 혼동해서는 안 된다.

대칭화

아벨 그룹에 값이 있는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 함수$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주어진 경우, 인수의 모든 순열에서$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 값을 합산하여 대칭 함수를 구성할 수 있다. 이와 유사하게, 반대칭 함수는 짝수 순열에 대한 합계와 홀수 순열에 대한 합계를 빼서 구성할 수 있다. 이러한 조작은 물론 되돌릴 수 $없으며{\displaystyle }$, 그것의 대칭성과 대칭성이 $모두$ 알려진 경우 f ${\displaystyle$ $f$$.}$에 대해 동일한 영(0)인 함수를 얻을 수 있는$$ 유일한 $경우$는 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$ 및$$ ab.엘리언 그룹은 2(배율 2배)의 분할을 인정하며, 그 다음 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 대칭과 대칭에 대한 반의 합과 같다.

예

• 실제 기능을 고려하십시오.
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$

  
  정의에 따르면 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$} 변수$를 사용하는$$ 대칭 함수는 다음 속성을 갖는다.
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}=f(x_{1},\ldots,x_{n},x_{n1},\dots,x_{n_},x_{n-1}),\displaysty {\text{n1} 등.}}}$$

  
  일반적으로 함수는 변수의 순열마다 동일하게 유지된다. 이것은, 이 경우,
  $${\displaystyle(x-x_{1})(x-x_{3})(x-x_{1}(x-x_{3})(x-x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{1})(x-x_{1})(x-x-x_{2})}$$

  
  $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}{3}_{}}$의 모든 순열에 대해, ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.$$}$
• 함수를 고려하십시오.
  $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$

  
  $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 상호 교환하면 함수가
  $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$

  
  원본 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f(x,y$)와 정확히 동일한 결과를 산출한다$.$$}$
• 이제 함수를 고려하십시오.
  $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$

  
  $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 상호 교환되면$$ 기능이
  $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$

  
  이 함수는 비대칭으로 만드는$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ,$${\$displaystyle a\neq$ b$,}$인 경우 원래와 같지 않다.

적용들

U-통계학

통계에서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n} -샘플$$ 통계량의 대칭화를 부트스트래핑하여 n ${\$$displaystyle$ $k}$ -샘플$$ 통계량의 함수를 n {\$displaystyle n}$ 변수에$$ 대칭 함수를 생성하여 $얻은{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\$displaystyn$}$ -샘플$$ 통계량을 U-statistic이라고 한다. 예제에는 표본 평균과 표본 분산이 포함된다.

참고 항목

• 교번다항식
• 기본 대칭 다항식
• 짝수 및 홀수 함수 – 특정 대칭이 있는 수학 함수
• 준대칭함수
• 대칭함수 링
• 대칭화
• 반데르몽드 다항식

참조

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton(1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan(2009) 콤비네이터ics: 로타웨이, §5.1 대칭 함수, 페이지 222–5 캠브리지 대학 출판부, ISBN978-0-521-73794-4.