전체 그룹
Complete group수학에서 G군은 G의 모든 자동화가 내면에 있고 중심이 없으면 완전하다고 한다. 즉, 사소한 외부 자동화 그룹과 사소한 중심을 가지고 있다.
동등하게, 결합 지도 G → Aut(G) (원소 g를 g로 결합으로 보내는 것)가 이소모르피즘이면 그룹이 완성된다: 주입성은 정체성 요소에 의한 결합만이 정체성 오토모르피즘임을 의미하며, 이는 집단이 중심이 없다는 것을 의미하며, 굴절성은 외부 오토모픽스가 없음을 의미한다.
예
예를 들어, n ∈ {2, 6}을(를) 제외한 모든 대칭 그룹 S가n 완성된다.사례 n = 2의 경우 그룹은 비경쟁적 중심을 갖는 반면 사례 n = 6의 경우 외부 자동형성이 있다.
단순집단의 오토모르피즘 집단은 거의 단순한 집단이다. 비아벨리안 단순집단 G의 경우, G의 오토모르피즘 집단은 완전하다.
특성.
완전한 집단은 (그 원소에 의한 결합을 위해 원소를 보내는 것을 통해) 항상 그 자동형 집단에 이형성을 가지지만, 역이 유지될 필요는 없지만, 예를 들어, 8개 원소의 이형 집단은 그 자동형 집단에 이형성을 가지지만 완전하지는 않다.자세한 내용은 (Robinson 1996, 섹션 13.5)를 참조하십시오.
전체 그룹의 확장
그룹 G가 그룹의 짧은 정확한 순서에 따라 주어진 그룹 확장이라고 가정하십시오.
- 1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G ⟶ 1
커널, N, 지수 G로.만일 커널인 N이 완전한 그룹이라면 확장자는 분할된다: G는 직접 생산물인 N × G′에 이형성이다.동형식과 정확한 순서를 사용하는 증거는 자연적인 방법으로 제시될 수 있다.정상 부분군 N에 대한 G(결합에 의한)의 작용은 집단 동형성, φ: G → 자동(N) ≅ N을 발생시킨다. Out(N) = 1과 N은 사소한 중심을 가지고 있기 때문에 동형성 φ은 굴절적이며 G에 N을 포함함으로써 주어지는 분명한 부분을 가진다.φ의 낟알은 G에서 N의 중앙집중제G C(N)이며, 따라서 G는 적어도 반간접 제품G C(N) is N이지만G, C(N)에 대한 N의 작용은 사소하므로 제품은 직접적이다.
이는 요소 및 내부 조건 측면에서 재작성할 수 있다.N이 그룹 G의 정규 완전 부분군인 경우 G = CG(N) × N은 직접 생산물이다.증거는 정의에서 직접 다음과 같다.N은 중앙이 없는G C(N)를 주는 것이다 ∩ N은 사소한 것이다.g가 G의 요소인 경우 결합에 의해 N의 자동형성을 유도하지만, N = 자동(N)과 이 결합은 N의 일부 요소 N에 의한 결합과 같아야 한다.그 다음 gn에−1 의한 결합은 N에 대한 식별이고, 따라서 gn은−1 CG(N)에 있고, g의 모든 원소는G C(N)N에 있는 제품(gn−1)n이다.
참조
- Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
- Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 (제7장, 특히 정리 7.15 및 7.17).
