플라틱 모노이드

수학에서, 플랙틱 모노이드는 양의 정수 모둘로 크누스 동등성의 알파벳에 있는 모든 단어의 모노이드다.그것의 요소들은 세미스탠다드 영 tableau와 동일시될 수 있다.그것은 도날드 크누스(1970)에 의해 발견되었는데, 그는 Craige Scensted(1961년)가 순열에서 가장 오래 증가하는 부분들에 대한 연구에서 제공한 수술을 사용했다.

라스쿠스&슈첸베르거(1981)가 '모노크데 플라시크'로 명명했는데, 그는 이 정의에서 완전히 순서가 정해진 알파벳을 모두 허용했다."plaxique"라는 단어의 어원은 불분명하다; 균등성을 생성하는 초등관계는 발전기 기호의 조건부 분류를 허용하기 때문에 판구조론("tectonique des placques")을 가리킬 수 있다. 그들은 때때로 서로 미끄러질 수 있다(tectonic plate에 대한 명백한 비유), 그러나 자유롭지 않다.

정의

완전히 순서가 정해진 알파벳(흔히 양의 정수) 위에 있는 플랙틱 모노이드(plactic monoid)는 다음과 같은 프레젠테이션을 가진 모노이드(monoid)이다.

발전기는 알파벳의 문자다.
관계란 x < y z z, x y y z z, x y y z zxy 때마다 xzy z zxy의 기본적인 Knuth 변환이다.

크누스 등가성

두 단어는 플라틱 모노이드의 동일한 원소를 나타내는 경우 Knuth 등가라고 하며, 다시 말하면 기본적인 Knuth 변환의 순서에 의해 다른 단어로부터 하나를 얻을 수 있는 경우 Knuth 등가라고 한다.

Knuth 등가성에 의해 몇 가지 성질이 보존된다.

만약 어떤 단어가 역 격자 단어라면, 그것에 해당하는 어떤 단어 크누스도 마찬가지다.
두 단어가 크누스와 동등한 경우, 가장 오른쪽의 최대 요소들을 제거하여 얻은 단어들도, 가장 왼쪽의 최소 요소를 제거하여 얻은 단어들도 마찬가지다.
Knuth 동등성은 가장 긴 비감소 여분의 길이를 보존하며, 일반적으로 고정 k에 대한 k 분리 비감소 여분의 길이의 합을 더 많이 보존한다.

Semistandard Young Tableau와의 통신

어린 테이블라우 표기법을 사용하여 그림에 표시된 제너레이터 4와 원소를 테이블라우 형식(38)(1257)으로 곱한 값:
• (1257)*4 = 5*(1247)
• (38)*5 = 8*(35)이므로 (5) 2열에서 (8)을 교체한다.
• (8) 세 번째 행 작성
• 제품에는 (8)(35)(1247)의 Tableau 형식이 있음

모든 단어는 동일한 순서에 따라 행 또는 열로 읽을 수 있는 동일한 알파벳에 걸쳐 고유한 세미산다드 영 tableau의 단어에 해당하는 Knuth이다.그래서 플라틱 모노이드의 원소들은 세미스탠다드 영 tableau로 식별할 수 있고, 따라서 모노이드도 형성된다.

세미스탠다드 영 테이블라우의 단어를 왼쪽에 제너레이터로 곱하면 스헨스테드가 영 테이블라우에 삽입하는 것과 같다.행 순서로, tableau의 단어는 점점 더 긴 비감소 발전기 시퀀스의 산물과 동일하다.새 발전기는 크기가 클 경우 이를 추가하고 그렇지 않을 경우 플랙틱 관계를 반복적으로 적용하여 시퀀스 이탈 요소를 다음 행으로 이동함으로써 적절한 위치에 삽입할 수 있다.후자의 경우, 순서 이탈 요소는 각 행의 항목보다 큰 맨 왼쪽 항목을 대체하고, 그 다음 행에 변위된 요소를 삽입한다.

Scensted insertation은 Young tableaux를 보존하고 있기 때문에, 이것은 Plactic monoid의 요소들이 Young tableau에 해당하는 표준 형태로 쓰여질 수 있다는 귀납적인 증거를 제공하며, 이 구조는 세미스탠다드 tableaux의 자연산물을 정의한다.

주 드 타킨

두 개의 꼬치 영 타코는 그들의 단어 판독값이 크누스와 동등한 경우, 즉, 플랙틱 그룹의 동등한 원소에 해당하는 경우에만 주 드 타퀸 등가물이다.이것은 영 tableaux의 관점에서 직접 플랙틱 그룹 제품에 대한 대체 정의를 제공한다.빈 직사각형 둘레에 두 개의 탁자를 그려 꼬치 탁자를 형성하고, 주 드 타킨 슬라이드를 사용하여 이를 수정하면 두 개의 탁자를 곱할 수 있다.

테이블라우 링

테이블라우 링은 플라틱 모노이드의 모노이드 링이기 때문에 플라틱 모노이드의 원소로 구성된 Z-basis를 가지고 있으며, 플라틱 모노이드에서와 동일한 제품을 가지고 있다.

알파벳의 플랙틱 링에서 다항식 링(문자에 의해 색인된 변수 포함)에 이르는 동형성이 존재하며, 플랙틱 세미그룹의 아벨리아화(abelianization)에 해당하는 입력 변수의 곱에 어떤 테이블라우(tableau)를 취한다.

성장

크기 n의 알파벳에 있는 Plactic monoid의 생성 기능은

\Gamma(t)={\frac {1}{1-t)^{n}{n}{{1}{n}^{n(n-1)/2}}\ }

치수 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ ( ${\frac {n(n+1)}{2}}$ + ${\frac {n(n+1)}{2}}$ ) ${\frac {n(n+1)}{2}}$ {\ $displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}:$ .

참고 항목

참조

Duchamp, Gérard; Krob, Daniel (1994), "Plactic-growth-like monoids", Words, languages and combinatorics, II (Kyoto, 1992), World Sci. Publ., River Edge, NJ, pp. 124–142, MR 1351284, Zbl 0875.68720
Fulton, William (1997), Young tableaux, London Mathematical Society Student Texts, vol. 35, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56144-0, MR 1464693, Zbl 0878.14034
Knuth, Donald E. (1970), "Permutations, matrices, and generalized Young tableaux", Pacific Journal of Mathematics, 34 (3): 709–727, doi:10.2140/pjm.1970.34.709, ISSN 0030-8730, MR 0272654
Lascoux, Alain; Leclerc, B.; Thibon, J-Y., "The Plactic Monoid", archived from the original on 2011-07-18 {{citation}}:누락 또는 비어 있음 title=(도움말)
Littelmann, Peter (1996), "A plactic algebra for semisimple Lie algebras", Advances in Mathematics, 124 (2): 312–331, doi:10.1006/aima.1996.0085, ISSN 0001-8708, MR 1424313
Lascoux, Alain; Schützenberger, Marcel-P. (1981), "Le monoïde plaxique" (PDF), Noncommutative structures in algebra and geometric combinatorics (Naples, 1978), Quaderni de La Ricerca Scientifica, vol. 109, Rome: CNR, pp. 129–156, MR 0646486
Lothaire, M. (2011), Algebraic combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 90, With preface by Jean Berstel and Dominique Perrin (Reprint of the 2002 hardback ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-18071-9, Zbl 1221.68183
Schensted, C. (1961), "Longest increasing and decreasing subsequences", Canadian Journal of Mathematics, 13: 179–191, doi:10.4153/CJM-1961-015-3, ISSN 0008-414X, MR 0121305
Schützenberger, Marcel-Paul (1997), "Pour le monoïde plaxique", Mathématiques, Informatique et Sciences Humaines (140): 5–10, ISSN 0995-2314, MR 1627563

추가 읽기

Green, James A. (2007), Polynomial representations of GL_n, Lecture Notes in Mathematics, vol. 830, With an appendix on Schensted correspondence and Littelmann paths by K. Erdmann, J. A. Green and M. Schocker (2nd corrected and augmented ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-46944-5, Zbl 1108.20044

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