브루하트 순서

Bruhat order

수학에서 브루하트 순서(강력한 순서 또는 강한 브루하트 순서 또는 체발리 순서 또는 브루하트-체발리 순서 또는 체발리 순서라고도 함)는 콕시터 그룹의 요소에 대한 부분 순서로서 슈베르트 품종에 대한 포함 순서에 해당한다.

역사

국기 다지관이나 그라스만인의 슈베르트 품종에 대한 브루하트 명령은 에흐레스만(1934년)에 의해 처음 연구되었고, 더 일반적인 반실행 대수집단을 위한 아날로그는 체발리(1958년)에 의해 연구되었다.베르마(1968년)는 바일그룹에서 브루하트 질서에 대한 결합 연구를 시작했으며, 프랑수아 브루하트가 도입한 브루하트 분해와의 관계 때문에 '브루하트 순서'라는 이름을 도입했다.

좌우의 약한 브루하트 순서는 비외르너(1984)에 의해 연구되었다.

정의

(W, S)가 발전기 S가 있는 Coxeter 시스템이라면 Bruhat 순서는 W 그룹의 부분 순서다.W의 원소 w에 대한 축소된 단어는 S의 원소의 산물로서 w의 최소 길이 표현이며, w의 길이 ((w)는 축소된 단어의 길이임을 상기하라.

  • (강력한) Bruhat 순서는 v에 대해 일부(또는 모든) 축소된 단어 중 일부가 u에 대해 축소된 단어인 경우 u v v에 의해 정의된다. (여기서 하위 문자열은 반드시 연속적인 하위 문자열은 아니라는 점에 유의하십시오.)
  • 약한 왼쪽(Bruhat) 순서는 v에 대해 일부 축소된 단어의 최종 하위 문자열이 u에 대한 축소 단어인 경우 u ≤L v에 의해 정의된다.
  • 약한 권리(Bruhat) 순서는 v에 대해 일부 축소된 단어의 초기 하위 문자열이 u에 대한 축소 단어인 경우 u ≤R v에 의해 정의된다.

약한 순서에 대한 자세한 내용은 약한 순열 순서 항목을 참조하십시오.

브루하트 그래프

브루하트 그래프는 (강한) 브루하트 질서와 관련된 지시 그래프다.정점 세트는 Coxeter 그룹의 요소 집합이며, u = 일부 반사 t 및 ℓ(u) < ℓ(v)에 대한 TV가 될 때마다 에지 세트는 방향 에지(u, v)로 구성된다.어떤 사람은 그래프를 반사의 집합에서 나오는 가장자리 레이블이 있는 가장자리 레이블로 표시된 그래프로 볼 수 있다. (또한 오른쪽의 곱셈을 사용하여 Bruhat 그래프를 정의할 수 있다. 그래프로서 결과 객체는 이형이지만 가장자리 레이블은 다르다.)

The strong Bruhat order on the symmetric group (permutations) has Möbius function given by , and thus this poset is Eulerian, meaning its Möbius function is produced by the rank function on the poset.

참고 항목

참조

  • Björner, Anders (1984), "Orderings of Coxeter groups", in Greene, Curtis (ed.), Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983), Contemp. Math., vol. 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 175–195, ISBN 978-0-8218-5029-9, MR 0777701
  • Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 231, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-27596-7, ISBN 978-3-540-44238-7, MR 2133266
  • Chevalley, C. (1958), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B", in Haboush, William J.; Parshall, Brian J. (eds.), Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 56, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–23, ISBN 978-0-8218-1540-3, MR 1278698
  • Ehresmann, Charles (1934), "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes", Annals of Mathematics, Second Series (in French), Annals of Mathematics, 35 (2): 396–443, doi:10.2307/1968440, ISSN 0003-486X, JFM 60.1223.05, JSTOR 1968440
  • Verma, Daya-Nand (1968), "Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 74: 160–166, doi:10.1090/S0002-9904-1968-11921-4, ISSN 0002-9904, MR 0218417