부분 트레이스

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선형대수학 및 기능분석에서 부분 트레이스는 트레이스의 일반화다.트레이스는 연산자의 스칼라 값 함수인 반면, 부분 트레이스는 연산자 값 함수다.부분적 추적은 양자 측정과 관련된 양자 정보와 해독에 적용되며, 따라서 일관된 이력과 상대적 상태 해석을 포함한 양자역학 해석에 대한 일관성 없는 접근법에 적용된다.

세부 사항

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$ W ${\displaystyle W}$이(가) 필드 위에 있는 유한 차원 벡터 공간이며$$, 치수는 $각각{\displaystyle }$ m ${\displaystyle$ m$},$ $n$ {\$displaystyle n}$이라고 가정합시다$.$임의의 $공간{\displaystyle }$A {\$displaystyle$ A$}$에 $대해{\displaystyle }$$$L${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$)$${\$displaystyle L(A)}$이(가) A$${\$displaystyle A}$에 있는 선형 연산자의 공간을 나타내도록$$ 하십시오$.$$그런{\displaystyle }$ 다음 W ${\displaystyle W}$에 대한 부분 추적을 ${\displaystyle {\mathrm{Tr}}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L}(V\otimes W)\to \operatorname {L$$V)$로 기록한다$$.

다음과 같이 정의된다.For ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$, let ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$, and ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$, be bases for V and W respectively; then T has a matrix representation

${\displaystyle \{a_{k\ell,ij}\}\display 1\leq k,i\leq m,\display 1\leq \ell,j\leq n}$

기준 e ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 상대적인 V ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\otimes W$

이제 지수 k, i의 경우 1, ..., m 범위의 경우 합계를 고려하십시오.

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}$

이것은 행렬 b를 준다_{k, i}.V의 관련 선형 연산자는 베이스 선택과 무관하며 정의상 부분 트레이스다.

물리학자들 사이에서는 W와 V가 양자 시스템과 연관된 힐버트 공간(아래 참조)이라는 맥락에서 V에 연산자만을 남겨두기 위해 이것을 흔히 "추적" 또는 "추적" W라고 부른다.

불변 정의

부분 추적 연산자는 다음과 같이 (즉, 근거를 참조하지 않고) 변함없이 정의될 수 있다: 고유한 선형 연산자다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W:\operatorname {L}(V\otimes W)\오른쪽 화살표 \operatorname {L}(V)}$

그런

${\displaystyle \operatorname {T} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {T}(S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L}(V)\quad \for \operatorname {L}(W).}$

To see that the conditions above determine the partial trace uniquely, let ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$ form a basis for ${\displaystyle V}$, let ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ form a basis for ${\displaystyle W}$, let ${\displaystyle E_{i$$j}\colon V\to V}$ be the map that sends ${\displaystyle v_{i}}$ to ${\displaystyle v_{j}}$ (and all other basis elements to zero), and let ${\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}$ be the map that sends ${\displaystyle w_{k}}$ to ${\displaystyle w_{l}}$. Since the vectors${\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}$ form a basis for ${\displaystyle V\otimes W}$, the maps ${\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}$ form a basis for ${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}$.

이 추상적 정의에서 다음 속성은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

범주 이론적 개념

Joyal, Street, Verity의 Tracted monoidal 범주의 주제인 선형 변환의 부분적 흔적이다.추적된 단면체 범주는 단일 범주$({\displaystyle C,,,}$ I$$) {\$displaystyle($C,\$otimes, I$)}이며$$, 범주 내 객체 X, Y, U의 경우 홈 집합의 함수,

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}}$

어떤 공리를 만족시키는 것.

이러한 추상적 개념의 부분적 추적의 또 다른 사례는 그들 사이의 유한 집합과 편향의 범주에서 발생하는데, 이 범주에서 단일 결합은 분리 결합이다.유한 집합에 대해 X,Y,U 및 $바이어싱{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$+ U${\displaystyle }$+ ${\displaystyle U}$+ ${\displaystyle U}$ ${\디스플레이 스타일$ X$+U\cong Y}$에 해당하는$$ "부분 추적" 바이어싱 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle Y}$ ${\$디스플레이 $스타일 X\cong Y}$이(가) 존재함을 보여줄 수 있다$.$

Hilbert 공간의 운영자에 대한 부분 추적

부분 추적은 무한 치수 힐버트 공간의 운영자에게 일반화된다.V, W가 힐버트 공간이라고 가정하고

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

W의 정형화된 기초가 되다. 이제 등축 이형성이 있다.

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathb {C}f_{\ell })\오른쪽 화살표 V\otimes W}$

이 분해에서 모든 연산자 $T{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \otimes }$ W${\displaystyle }$) ${\displaystyle T\in \operatorname {L}(V\otimes W)}$은 V상의 연산자의 무한 행렬로 간주될 수 있다$$.

${\displaystyle {\bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L}(V$

먼저 T가 음이 아닌 측정 시스템이라고 가정해 보십시오.이 경우 위 행렬의 모든 대각선 입력은 V의 비 음수 연산자가 된다.만약 합계가

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell \}}}$

L(V)의 강력한 연산자 토폴로지에서 수렴하며, W의 선택된 기준과 무관하다.부분 트레이스 TR_W(T)은 이 연산자로 정의된다.자가 적응 연산자의 부분 트레이스는 양과 음의 부분 트레이스가 정의된 경우에만 정의된다.

부분 추적 계산

W에 직교적인 기초가 있다고 가정해 보자. 우리가 케트 벡터 표기법을 {$ℓ$ ${\displaystyle ⟩}$ ⟩ ${\displaystyle {}_{}}$ $}$ {\$displaystyle \{$ \ell $\rangele \}_${\ell$$}}}}}라고 하면. 그러면$.$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\왼쪽(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otime \, k\angle \langle \ell \right)=\sum _{j}T^{j}.}$

괄호 안의 위첨자는 행렬 구성요소를 나타내지 않고 행렬 자체에 레이블을 붙인다.

부분 트레이스 및 불변 통합

유한 치수 힐버트 공간의 경우, W의 단일 군집 U(W)에 걸쳐 적절하게 정규화된 Har 측정 μ에 대해 통합을 포함하는 부분 추적을 검토하는 유용한 방법이 있다. 적합하게 정규화된 것은 μ가 총 질량 딤(W)을 가진 측정으로 취해진다는 것을 의미한다.

정리.V, W가 유한 치수 힐버트 공간이라고 가정하자.그러면

${\displaystyle \int _{\operatorname {U}(W)}(I_{V}\otimes U^{*}T(I_{V}\otimes U)\d\mu(U)}$

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I_{V}\otimes S}$ 형식의 모든 연산자와 통근하므로$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$ 형식과 고유하다$.$ 연산자 R은 T의 부분 추적이다.

양자 연산으로서의 부분 트레이스

부분 트레이스는 양자 연산으로 볼 수 있다.상태 공간이 힐버트 공간의$$ 텐서 제품 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$인 양자 기계 시스템을 생각해 보십시오.A mixed state is described by a density matrix ρ, that is a non-negative trace-class operator of trace 1 on the tensor product ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$ The partial trace of ρ with respect to the system B, denoted by ${\displaystyle \rho ^{A}}$, is called the reduced state of ρ on system A.기호로는

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$

이것이 정말로 A 서브시스템의 상태를 ρ에 할당하는 합리적인 방법이라는 것을 보여주기 위해, 우리는 다음과 같은 정당성을 제시한다.서브시스템 A에서 M을 관측할 수 있도록 하고, 그 다음 복합시스템에서 해당 관측할 수 있는 $것$은 M${\displaystyle i}$ I$${\$displaystyle$M\$otimes$I}이다$.$ 그러나 감소된 상태 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$를 정의하기로 선택한다$.$ 측정 통계의 일관성이 있어야 한다.서브시스템 A가 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$에 준비된 후 $M$의 기대값과 ${\displaystyle \mathrm{복합시스템}}$이 ρ에 준비되었을 때의$$ M ${\displaystyle \otimes }$ I ${\displaystyle M\otimes$ I$}$의 기대값은 같아야 한다. 즉, 다음과 같은 동등성이 유지되어야 한다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(M\cdot \rho ^{A}=\operatorname {Tr})(M\otimes I\cdot \rho).}$

$\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$이(가) 부분 추적을 통해 위에서 정의한 것과 같을 경우 이것이 충족되는 것을 알 수 있다.게다가, 그러한 수술은 독특하다.

T(H)를 힐베르트 공간 H에 있는 트레이스 클래스 운영자들의 바나흐 공간이 되게 하라.지도로 본 부분 추적을 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B:T(H_{A}\otimes H_{B}}\오른쪽 화살표 T(H_{A})}$

완전히 긍정적이고 추적추적이야

밀도 행렬 ρ은 에르미트어로 양의 반정확이며, 1의 자취가 있다.분광 분해:

${\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}{m}}\Psi _{m}\langle \langle \langle \psi_{m}\leq 1, \sum _{m}p_{m}=1}$

부분 트레이스 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$도 이러한 조건을 만족하는 것을 쉽게 알 수 있다.예를 들어, H ${\displaystyle A_{}}$ ${\$의 모든 순수 상태 ${\displaystyle {\psi }_{}}${\$displaystyle \psi _{A}\rangele$$\}$에 대해, 다음이 있다.

${\displaystyle \langle \psi _{A} \rho ^{A} \psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A} \Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m} \psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

Note that the term ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A} \Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m} \psi _{A}\rangle ]}$ represents the probability of finding the state ${\displaystyle \psi _{A}\rangle }$ when the composite system is in the state $$$⟩{\displaystyle \Psi _{m}\rangele$ $\}.$ 이는 $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$의 양의 반정의식을 증명한다$.$

위에 제시된 부분 트레이스 맵은 ${\displaystyle H_{}}$ A ${\$ $\operatorname {Tr} _{B}^{*}}}$의 경계 연산자 C*-algebras 간$$ 이중 ${\displaystyle {맵}_{}^{}}$을 유도한다$.$$H_{A}$ 및$$ H ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$이(가) 제공됨

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\imports I.}$

${\displaystyle {\mathrm{TR}}_{}^{}}$ $∗{\$은(는) 관측 가능 데이터를 관찰 가능 파일에 매핑하고$$, ${\displaystyle {\mathrm{TR}}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$의 하이젠베르크 그림 표현이다$.$

고전적 사례와의 비교

양자역학 시스템 대신, 두 시스템 A와 B가 고전적이라고 가정하자.각 시스템에 대한 관측 가능 공간은 아벨리안 C*-알게브라가 된다.콤팩트 스페이스 X, Y의 경우 각각 C(X)와 C(Y) 형식이다.복합 시스템의 상태 공간은 단순하다.

$[\displaystyle C(X)\time C(Y)=C(X\time Y)]}$

복합체계의 상태는 C(X × Y)의 이중의 양요소 ρ으로, 리에츠-마코프 정리에 의해 X × Y의 정규 보렐 측정에 해당한다.해당 감소 상태는 측정값 ρ을 X에 투영하여 얻는다.따라서 부분 트레이스는 이 연산의 양자 역학적 등가물이다.