올바른 공식

수학 논리학, 명제 논리학, 술어 논리학에서, 잘 형성된 공식, 줄여서 WFF 또는 wff는 종종 단순히 공식으로 표현되는, 주어진 알파벳의 제한된 수열로, 형식 ^[1]언어의 일부이다.공식 언어는 해당 언어의 공식 세트로 식별할 수 있습니다.

공식은 해석을 통해 의미적 의미를 부여할 수 있는 통사적 객체입니다.공식의 두 가지 주요 용도는 명제 논리와 술어 논리에 있다.

서론

공식의 주요 용도는 1차 논리 같은 명제 논리 및 술어 논리입니다.이러한 맥락에서 공식은 have의 자유변수가 인스턴스화되면 " true가 참입니까?"라고 묻는 것이 의미가 있는 기호열이다.형식 논리학에서 증명은 특정한 성질을 가진 공식의 시퀀스로 표현될 수 있으며, 그 시퀀스의 최종 공식은 증명된 것이다.

"공식"이라는 용어는 서면 마크(예를 들어 종이 또는 칠판)에 사용될 수 있지만, 더 정확하게 표현되는 기호 시퀀스로 이해되며, 그 마크는 공식의 토큰 인스턴스이다.따라서 동일한 공식은 여러 번 쓰여질 수 있으며, 공식은 원칙적으로 너무 길어서 물리적 우주 내에서 전혀 쓰여질 수 없습니다.

수식 자체는 구문 객체입니다.그것들은 해석에 의해 의미를 부여받는다.예를 들어, 명제 공식에서 각 명제 변수는 구체적인 명제로 해석될 수 있으며, 따라서 전체 공식은 이들 명제 간의 관계를 나타낼 수 있다.그러나 공식을 공식으로만 해석할 필요는 없다.

명제 미적분

명제 ^[2]공식이라고도 불리는 명제 미적분의 공식은 ( $(A\land (B\lor C))$ $(A\land (B\lor C))$ ( $(A\land (B\lor C))$ C $(A\land (B\lor C))$ ) $(A\land (B\lor C))$ \ $displaystyle (A\land (B\lor$ C $)$ ) ) $(A\land (B\lor C))$ 。그 정의는 명제 변수 집합 V의 임의 선택에서 시작됩니다.알파벳은 명제접속어와 괄호("와")의 기호와 함께 V의 문자로 구성되며, 이 모든 문자는 V에 없는 것으로 가정됩니다.공식은 이 알파벳 위에 있는 특정 표현식(즉, 기호 문자열)이 됩니다.

공식은 다음과 같이 유도적으로 정의됩니다.

각 명제 변수는 그 자체로 공식입니다.
is이 식이면 φ이 식입니다.
and와 are가 공식이고 •가 임의의 이진법 연결식일 경우 ( • • ))이 공식입니다.여기서 • 일반 연산자 ,, ,, → 또는 ↔일 수 있다(단, 이에 한정되지 않는다).

변수 집합이 유한하다면, 이 정의는 Backus-Naur 형식으로 형식 문법으로 작성될 수도 있다.

<alpha set> ::= p q r s t u...(임의의 유한한 명제 변수 집합) <form> ::= <알파 집합> ¬ <form> (<form>) (<form>) (<form>→<form>) (<form>) (<form>↔<form>)

이 문법을 사용하여, 기호들의 시퀀스는

(((p → q) ((r → s)) ((sq ∧ s))

문법적으로 맞기 때문에 공식입니다.기호 순서

((p → q)→(qq)p)

문법에 맞지 않기 때문에 공식은 아닙니다.

예를 들어 괄호의 확산으로 인해 복잡한 공식은 읽기 어려울 수 있습니다.이 마지막 현상을 완화하기 위해 연산자 사이에 우선순위 규칙(표준적인 수학적 연산 순서에 따라)이 가정되어 일부 연산자가 다른 연산자보다 구속력이 더 높아진다.예를 들어, 우선 순위(가장 바인딩이 많은 것부터 가장 바인딩이 적은 것까지)를 가정하면 1. 2. 3. 4..그럼 공식은

(((p → q) ((r → s)) ((sq ∧ s))

라고 줄여서 말할 수 있다

p → q ∧ r → s ∨ q ¬ s

그러나 이는 공식의 서면 표현을 단순화하기 위해 사용되는 규약일 뿐이다.예를 들어, 우선순위가 1. ¬ 2. 3 3. ∨ 4. →의 순서로 왼쪽과 오른쪽의 관련성이 있다고 가정했을 경우, 위의 (괄호 없이) 같은 공식은 다음과 같이 고쳐 씁니다.

(p → (q ∧ r) → (s ∨ ( ((q ∧ r))))

술어 논리

1차 ${\mathcal {QS}}$ Q $(\$ 공식의 ${\mathcal {QS}}$ 정의는 해당 이론의 서명과 관련이 있습니다.이 시그니처는 함수와 술어 기호의 특성과 함께 이론의 상수 기호, 술어 기호 및 함수 기호를 지정합니다.

공식의 정의는 여러 부분으로 나눌 수 있습니다.첫째, 용어 집합을 재귀적으로 정의한다.용어는 비공식적으로 담론의 영역에서 대상을 나타내는 표현이다.

모든 변수는 용어입니다.
시그니처의 상수 기호는 모두 용어입니다.
f(t₁,…,t_n) 형식의 식. 여기서 f는 n-ary 함수 기호이고₁ t,…,t는_n 항이다.

다음 단계는 원자식을 정의하는 것입니다.

t와₁₂ t가 항이면 t=t는₁₂ 원자식이다.
R이 n-ary 술어 기호이고₁ t,…,t가_n 항이면 R(t₁,…,t_n)은 원자식이다.

마지막으로, 공식 집합은 원자 공식 집합을 포함하는 최소 집합으로 정의되며, 다음과 같이 정의됩니다.

$¬$ { $displaystyle$ \ $neg$ \ phi $\neg \phi$ }는 $\neg \phi$ ${\$ { $displaystyle$ \ phi $\phi$ }의 $\phi$ $\phi$ 입니다 $\neg \phi$
$displaystyle (\phi \land \psi )$ 및 $(\phi \land \psi )$ $displaystyle (\phi$ 는 $(\phi \lor \psi)$ ${\$ {\ $displaystyle$ $\psi$ \ $phi$ } $\psi$ ${\$ {\ $displaystyle$ \ $psi$ }의 $\psi$ 공식입니다.
$($ $x$ $)$ 는 x(\displaystylex $x$ $)$ 가 $\phi$ 이고 $,$ x $(\$ displaystyle \ $phi$ $)$ 가 $\exists x\, \phi$ $\phi$ $x$ 일 때 공식은 x(\ $displaystyle$ x)입니다 $\exists x\,\phi$
$\forall x\,\phi$ {\ $x （$ \ display $style$ \ $forall$ x , \ $phi$ ）는 $\forall x\,\phi$ x { \ $displaystyle \$ phi $\phi$ }가 $x$ $\phi$ 이고 ${\$ { $\neg \exists x\,\neg \phi$ $displaystyle$ \ forall x , \ $phi }$ 가 $\phi$ $\forall x\, \phi$ 식( $또는$ $\neg \exists x\,\neg \phi$ x { $displaystyle$ \ $forall$ x $\neg \exists x\,\neg \phi$ , \ $phi }$ 의 $\neg \exists x\,\neg \phi$ 약자로 정의할 수 있는 경우 $)$ 입니다 $\forall x\,\phi$

변수 $x$ (\ $displaystyle$ x $x$ 에 대해 $\exists x$ 에 ${\x$ (\displaystyle $\exists$ x) 또는 $\exists x$ $(\displaystyle\forall$ x $\forall x$ 가 없는 경우, 그 수식은 quantifier-free라고 불립니다.실존적 공식은 실존적 수량화의 시퀀스로 시작하여 양자가 없는 공식입니다.

원자 공식과 개방형 공식

원자 공식은 논리 연결도 수량화도 포함하지 않는 공식 또는 이와 동등하게 엄밀한 보조 공식이 없는 공식입니다.원자 공식의 정확한 형태는 고려 중인 형식 체계에 따라 달라진다; 예를 들어, 명제 논리학의 경우, 원자 공식은 명제 변수이다.술어 논리의 경우, 원자는 그들의 주장과 함께 술어 기호이며, 각 인수는 하나의 용어이다.

어떤 용어에 따르면, 오픈식은 양자화 ^[3]배제를 제외하고 논리접속만을 사용하여 원자식을 조합함으로써 형성된다.이것은 닫힌 공식과 혼동해서는 안 된다.

닫힌 공식

닫힌 공식은 기본 공식 또는 문장으로, 변수의 자유로운 발생이 없는 공식입니다. $A$ 가₁ 변수 v, $\dots,$ $v$ 가_n 자유발생하는 1차 언어의 공식일 경우 $,$ $앞$ 에₁ "v $"$ 가_n 붙는 A는 A의 종결입니다.

수식에 적용할 수 있는 속성

Q $(\$ ${\mathcal {Q}}$ 의 ${\mathcal {Q}}$ ${\mathcal {Q}}$ 공식 $A$ 는 Q $(\displaystyle$ mathcal ${Q})$ 의 모든 해석에 대해 참일 경우 유효합니다.
Q $(\$ ${\mathcal {Q}}$ 의 ${\mathcal {Q}}$ 공식 A는 Q $(\$ displaystyle\ $mathcal$ {Q ${\mathcal {Q}}$ 의 해석에 참일 경우 만족할 수식 A는 Q $(\$ \mathcal ${Q})$ 입니다.
산술언어의 공식 A는 결정 가능한 집합을 나타내는 경우, 즉 A의 자유변수 치환이 주어졌을 때 A의 결과 인스턴스가 증명가능하거나 그 부정을 나타내는 효과적인 방법이 있는 경우 결정 가능하다.

용어의 사용법

(예: 교회에 의한^[4]) 수학 논리학의 초기 연구에서, 공식은 기호열을 참조했고, 이 문자열들 중에서 잘 형성된 공식은 (올바른) 공식의 형성 규칙을 따르는 문자열이었다.

몇몇 작가들은 단순히 ^[5]^[6]^[7]^[8]수식을 말한다.현대의 사용법(특히 모델 체커, 자동정리프로버, 인터랙티브정리프로버와 같은 수학 소프트웨어를 사용한 컴퓨터 사이언스의 맥락에서)은 수식의 개념만을 유지하고 수식의 구체적인 문자열 표현에 대한 질문을 남기는 경향이 있다.r 이 괄호 표기법 또는 폴란드어 또는 인픽스 표기법 등)을 사용하여 단순히 표기상의 문제로 연결어와 수량화 기호.

잘 형성된 공식이라는 ^[9]^[10]^[11]표현은 여전히 사용되고 있지만, 이 작가들은 ^{[citation needed]}수학 논리학에서 더 이상 흔하지 않은 오래된 공식의 의미와 모순되게 그것을 반드시 사용하지^{[weasel words]} 않는다.

대중문화에도 '잘 형성된 공식'(WFF)이라는 표현이 스며들었다.WFF는 학술 게임의 이름에 사용되는 난해한 말장난의 일부입니다.레이먼 ^[12]앨런의 WFF 'N PROF: The Game of Modern Logic'은 그가 예일 로스쿨에 다닐 때 개발되었다.게임 세트는 (폴란드어 ^[13]표기법에서) 어린이들에게 상징 논리의 원리를 가르치기 위해 고안되었습니다.이것의 이름은 휘펜푸프의 메아리인데, 휘펜푸프의 노래와 휘펜푸프에서 ^[14]인기를 끌었던 예일 대학에서 응원용으로 사용된 말도 안 되는 단어이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 공식은 입문 논리학의 표준 주제이며, 엔더튼(2001), 가뮤트(1990), 클린(1967)을 포함한 모든 입문 교과서에서 다루어진다.
^ 1차 논리 및 자동 정리 증명, Melvin Fitting, Springer, 1996 [1]
^ 논리사 핸드북 (5권, 러셀에서 교회로의 논리), 키스 시몬스, D. 가베이, J. 우즈 에드, p568 [2].
^ Alonzo Church, [1996](1944), 수리논리개론, 49페이지
^ 힐버트, 데이비드; 아커만, 빌헬름(1950)[1937], 뉴욕 수학논리 원리: 첼시
^ Hodges, Wilfrid(1997), 짧은 모델 이론, 케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-58713-6
^ Barwise, Jon, ed. (1982) "수학 논리 핸드북, 논리학과 수학 기초, 암스테르담:노스홀랜드, ISBN 978-0-444-86388-1
^ Cori, Rene; Lascar, Daniel(2000), 수학논리: A Course with Actures, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850048-3
^ Enderton, Herbert [2001년](1972년), 논리학의 수학적 입문 (제2판), 보스턴, 매사추세츠주: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3
^ R. L. Simpson(1999), Essentials of Symbolic Logic, 12페이지
^ Mendelson, Elliott [2010](1964), An Introduction to Mathematical Logic (5th ed.)런던:채프먼 & 홀
^ 2002년 에렌부르크
^ 엄밀히 말하면, 피치식 미적분을 사용한 명제 논리입니다.
^ 앨런(1965년)은 그 말장난을 인정한다.

레퍼런스

Allen, Layman E. (1965), "Toward Autotelic Learning of Mathematical Logic by the WFF 'N PROOF Games", Mathematical Learning: Report of a Conference Sponsored by the Committee on Intellective Processes Research of the Social Science Research Council, Monographs of the Society for Research in Child Development, 30 (1): 29–41
Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002), Computability and Logic (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00758-0
Ehrenberg, Rachel (Spring 2002). "He's Positively Logical". Michigan Today. University of Michigan. Archived from the original on 2009-02-08. Retrieved 2007-08-19.
Enderton, Herbert (2001), A mathematical introduction to logic (2nd ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3
Gamut, L.T.F. (1990), Logic, Language, and Meaning, Volume 1: Introduction to Logic, University Of Chicago Press, ISBN 0-226-28085-3
Hodges, Wilfrid (2001), "Classical Logic I: First-Order Logic", in Goble, Lou (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell, ISBN 978-0-631-20692-7
Hofstadter, Douglas (1980), Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Penguin Books, ISBN 978-0-14-005579-5
Kleene, Stephen Cole (2002) [1967], Mathematical logic, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42533-7, MR 1950307
Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.), New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6

외부 링크

First Order 술어 로직을 위한 올바른 공식 - 짧은 Java 퀴즈를 포함합니다.
ProvenMath에서의 올바른 공식

[1] 공식은 입문 논리학의 표준 주제이며, 엔더튼(2001), 가뮤트(1990), 클린(1967)을 포함한 모든 입문 교과서에서 다루어진다.

[2] 1차 논리 및 자동 정리 증명, Melvin Fitting, Springer, 1996 [1]

[3] 논리사 핸드북 (5권, 러셀에서 교회로의 논리), 키스 시몬스, D. 가베이, J. 우즈 에드, p568 [2].

[4] Alonzo Church, [1996](1944), 수리논리개론, 49페이지

[5] 힐버트, 데이비드; 아커만, 빌헬름(1950)[1937], 뉴욕 수학논리 원리: 첼시

[6] Hodges, Wilfrid(1997), 짧은 모델 이론, 케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-58713-6

[7] Barwise, Jon, ed. (1982) "수학 논리 핸드북, 논리학과 수학 기초, 암스테르담:노스홀랜드, ISBN 978-0-444-86388-1

[8] Cori, Rene; Lascar, Daniel(2000), 수학논리: A Course with Actures, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850048-3

[9] Enderton, Herbert [2001년](1972년), 논리학의 수학적 입문 (제2판), 보스턴, 매사추세츠주: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3

[10] R. L. Simpson(1999), Essentials of Symbolic Logic, 12페이지

[11] Mendelson, Elliott [2010](1964), An Introduction to Mathematical Logic (5th ed.)런던:채프먼 & 홀

[12] 2002년 에렌부르크

[13] 엄밀히 말하면, 피치식 미적분을 사용한 명제 논리입니다.

[14] 앨런(1965년)은 그 말장난을 인정한다.

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서론

명제 미적분

술어 논리

원자 공식과 개방형 공식

닫힌 공식

수식에 적용할 수 있는 속성

용어의 사용법

「」를 참조해 주세요.

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