곡선 방향
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수학에서, 곡선의 방향은 곡선을 여행할 수 있는 두 가지 방향 중 하나를 선택하는 것이다. 예를 들어 데카르트 좌표의 경우 전통적으로 x축은 우측을 향하며 y축은 상향 방향이다.
평면 단순 폐쇄 곡선(즉, 시작점이 끝점이기도 하고 다른 자기 교차점이 없는 평면의 곡선)의 경우, 곡선은 항상 왼쪽으로 곡선 내부를 가지고 있다면(결과적으로 오른쪽의 곡선 외부) 이동 시 양방향 또는 시계 반대방향 방향이라고 한다.그것에 열중하여 그렇지 않으면, 즉 왼쪽과 오른쪽을 교환할 경우 곡선은 음의 방향 또는 시계 방향이다. 이 정의는 모든 단순한 닫힌 곡선이 잘 정의된 내부를 인정한다는 사실에 의존하며, 이는 요르단 곡선 정리에서 따르게 된다.
도로 우측을 운전하는 나라에서 벨트웨이 도로의 내측 루프는 부정(시계방향) 방향의 곡선을 보여주는 예다. 삼각법에서 단위 원은 전통적으로 시계 반대 방향으로 향한다.
곡선의 방향 개념은 다지관 방향 개념의 특정한 경우일 뿐이다(즉, 곡선의 방향 이외에 표면, 초경면 등의 방향도 말할 수 있다).
단순 다각형 방향
2차원에서는 단순한 다각형을 형성하는 3개 이상의 연결 정점(점)(예: 커넥트-테-닷)의 정렬된 집합이 주어지며, 결과적인 다각형의 방향은 예를 들어 그림에서 ABC 각도의 각도와 같은 폴리곤의 볼록 선체의 어떤 꼭지점에서 각도의 기호와 직접 관련된다. 계산에서 벡터 쌍에 의해 형성된 작은 각도의 부호는 벡터의 교차 생산의 부호에 의해 결정된다. 후자는 방향 행렬의 결정 인자의 부호로 계산될 수 있다. 특히 두 벡터가 ABC 각도의 측면 BA와 BC와 같이 공통 끝점을 가진 두 선 세그먼트에 의해 정의되는 경우 방향 매트릭스는 다음과 같이 정의될 수 있다.
결정 인자에 대한 공식은 예를 들어 공동 인자 팽창 방법을 사용하여 얻을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(O)&=1{\begin{vmatrix}x_{B}&y_{B}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{B}&y_{B}\end{vmatrix}}\\[4pt]&=x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}-x_{A}y_{C}+y_{A}x_{C}+x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\\[4pt]&=(x_{B}y_{C}+x_{A}y_{B}+y_{A}x_{C})-(y_{A}x_{B}+y_{B}x_{C}+x_{A}y_{C}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5f9441ca7207e2bb32894caf834d53f3669c2)
결정 요인이 음수일 경우 폴리곤은 시계 방향으로 향한다. 결정요소가 양이면 폴리곤은 시계 반대 방향으로 향한다. 점 A, B, C가 결합되지 않은 경우 결정 인자는 0이 아니다. 위의 예에서 점 A, B, C 등을 순서화한 경우 결정요인은 음이므로 폴리곤은 시계방향이다.
현실적 고려
실무적용에서는 일반적으로 다음과 같은 고려사항을 고려한다.
적당한 꼭지점을 찾기 위해 다각형의 볼록한 선체를 만들 필요는 없다. 일반적인 선택은 가장 작은 X 좌표를 가진 다각형의 정점이다. 여러 개가 있으면 Y 좌표가 가장 작은 것이 선택된다. 폴리곤의 볼록한 선체의 꼭지점임이 보장된다. 또는 가장 큰 X 좌표를 가진 정점들 중에서 가장 작은 Y 좌표를 가진 정점들 또는 가장 큰 Y 좌표를 가진 정점들 중 가장 작은 X 좌표를 가진 정점들(또는 가장 작은, 가장 큰 8개의 X/Y 조합 중 어떤 것)도 또한 그렇게 할 것이다. 일단 볼록한 선체의 정점을 선택하면, 이전 정점과 다음 정점을 사용하여 공식을 적용할 수 있는데, 이 정점에 국소 정점이 있을 수 없기 때문이다.
볼록한 다각형의 방향을 찾으면 물론 정점을 선택할 수 있다.
수치적 이유로 결정요소에 대해 다음과 같은 등가 공식이 일반적으로 사용된다.
후자의 공식은 4배수가 적다. 컴퓨터 그래픽이나 CAD와 같은 가장 실용적인 응용에 관련된 컴퓨터 계산에서 더 중요한 것은 승수의 절대값이 대개 더 작다(예: A, B, C가 같은 사분면에 있을 때), 따라서 더 작은 숫자 오차를 주거나 극단적인 경우에는 산술 오버플로를 피한다.
점의 순서가 단순한 다각형을 규정하는 것을 미리 알지 못할 때, 다음과 같은 것들을 명심해야 한다.
자가 교차 폴리곤(복잡한 폴리곤)의 경우(또는 임의의 자가 교차 곡선)에는 "내부"의 자연적인 개념이 없으므로 방향이 정의되지 않는다. 동시에, 기하학과 컴퓨터 그래픽에서는 닫힌 단순하지 않은 곡선에 대한 "내부"의 개념을 대체하는 여러 개념들이 있다. 예를 들어, "flood fill"과 "winding number"를 참조하라.
자기 인터섹션의 「mild」의 경우, 연속 3점을 허용했을 때 퇴보하는 정점을 같은 직선에 두고 0도 각도를 형성하는 경우는, 「내부」의 개념은 여전히 타당하지만, 시험한 각도를 선택할 때는 각별한 주의를 기울여야 한다. 주어진 예에서 세그먼트 BC에 위치할 점 A를 상상해 보십시오. 이 상황에서 ABC 각도와 결정 인수는 0이므로 무용지물이 된다. 해결책은 0이 아닌 결정 인자가 발견될 때까지 폴리곤(BCD, DEF,...)을 따라 연속 코너를 시험하는 것이다(모든 점이 동일한 직선에 놓여 있지 않는 한). (점 C, D, E가 같은 선에 있고 0 결정 인자로 180도 각도를 형성한다는 점에 유의)
국부적 결합
일단 순서가 정해진 정점 집합에서 형성된 다각형의 방향이 알려지면, 폴리곤의 국부적 영역의 구체성은 두 번째 방향 매트릭스를 사용하여 결정할 수 있다. 이 행렬은 세 개의 연속 정점들로 구성되어 있으며, 이 정점은 동일성을 검사하고 있다. 예를 들어, 위에 그림의 다각형에서 F-G-H 지점의 순서가 오목한 것인지 볼록한 것인지 또는 콜린어(평평한 부분)인지를 알고자 한다면, 행렬을 구성한다.
이 행렬의 결정 요인이 0이면 오목하거나 볼록하지 않은 순서가 일직선이다. 결정요소가 전체 다각형에 대한 방향 행렬의 부호와 동일한 기호를 갖는 경우 시퀀스는 볼록하다. 기호가 다르면 순서가 오목하다. 이 예에서 폴리곤은 음의 방향이지만 F-G-H 점의 결정요인은 양성이므로 F-G-H 순서는 오목하다.
다음 표는 점의 시퀀스가 볼록한지, 오목한지 또는 평탄한지를 결정하는 규칙을 보여준다.
| 음의 방향 폴리곤(시계 방향) | 양방향 폴리곤(시계 반대 방향) | |
|---|---|---|
| 국소 점에 대한 방향 행렬의 결정 요인이 음수임 | 점의 볼록한 순서 | 점의 오목한 순서 |
| 국소 점에 대한 방향 행렬의 결정 요인이 양수임 | 점의 오목한 순서 | 점의 볼록한 순서 |
| 로컬 점에 대한 방향 행렬의 결정 계수는 0이다. | 점의 일렬 종렬 | 점의 일렬 종렬 |
