곡률

테두리가 곡률로 착색된 이동 야생형 디스코스테륨 셀.축척바: 5 µm.

수학에서 곡률은 기하학에서 강하게 연관된 개념 중 하나이다.직관적으로 곡률은 곡선이 직선이거나 표면이 평면인 상태에서 벗어나는 양입니다.

곡선의 경우, 곡률이 반지름의 역수와 동일한 원의 곡률입니다.원이 작을수록 곡률이 높아집니다.미분 가능한 곡선의 한 점에서의 곡률은 접촉 원의 곡률이며, 이 점 근처의 곡선에 가장 가까운 원입니다.직선의 곡률은 0입니다.벡터량인 탄젠트와는 대조적으로, 점에서의 곡률은 일반적으로 스칼라량, 즉 단일 실수로 표현됩니다.

유클리드 공간에 내장된 표면(및 보다 일반적으로 고차원 다양체의 경우)의 경우 곡률 개념은 표면 또는 다양체의 방향 선택에 따라 달라지기 때문에 더 복잡하다.이는 최대 곡률, 최소 곡률 및 평균 곡률의 개념으로 이어집니다.

유클리드 공간에 반드시 포함되어 있지 않은 (적어도 2차원) 리만 다양체의 경우, 외부 공간을 참조하지 않고 곡률을 본질적으로 정의할 수 있다.정의에 대해서는 리만 다양체의 곡률을 참조하십시오. 이 정의는 다양체에 추적된 곡선의 길이로 수행되며 선형 대수를 사용하여 리만 곡률 텐서로 표현됩니다.

역사

에서 논리 드 configurationibus qualitatum 것은 motuum,[1]은 14세기의 철학자이며 수학자 니콜 오렘을 소개하는 개념의 만곡으로 측정의 출발에서 직선;계는 자신이 가지고 있는 만곡으로 있는 반비례의.에 반경;그리고 그는 시도로 확대된다는 점을 생각을 다른 여러 곡선으로 지속적으로.잘 지내니폭주하고 있습니다.^[2]

미분 가능한 곡선의 곡률은 원래 서로 맞물리는 원을 통해 정의되었습니다.이 설정에서 Augustin-Louis Cauchy는 곡선의 중심이 ^[3]곡선에 무한히 가까운 두 정규선의 교차점임을 보여 주었습니다.

평면 곡선

직관적으로 곡률은 곡선의 모든 부분에 대해 곡선 방향이 이동하는 작은 거리에 걸쳐 얼마나 변화하는지 설명하므로(예: $rad$ /m의 $각도$ ), 곡선 상에서 이동하는 점의 방향 변화 순간 속도를 측정하는 것입니다. 곡률이 클수록 이 변화 속도가 커집니다.즉, 곡면성은 원곡선에^[4] 대한 단위 접선 벡터의 회전 속도를 측정합니다(원곡선 위치 측면에서 빠름).사실, 이 순간적인 변화율이 정확히 곡률이라는 것을 증명할 수 있다.보다 정확하게는 점이 하나의 단위에서 일정한 속도로 곡선 위를 이동한다고 가정하자. 즉, 점 $P (s)$ 의 위치가 $모수$ s의 함수이며, 이는 주어진 원점으로부터의 시간 또는 호 길이로 간주될 수 있다.T $(s)$ 를 P $(s)$ 에서 곡선의 단위 탄젠트 벡터라고 $하자$ . 이것은 s에 $대한$ P $(s)$ 의 도함수이기도 하다.다음으로, s에 $대한$ T $(s)$ 의 도함수는 곡선에 정규이고 길이가 곡률인 벡터이다.

의미 있는 곡률의 정의와 그 다른 특성화는 연속적으로 변화하는 탄젠트를 가지기 위해 곡선이 P $근처$ 에서 연속적으로 미분 가능해야 하며, 또한 관련된 한계와 $T$ 의도함수의 존재를 보장하기 위해 곡선이 $P$ 에서 2배 미분 가능해야 합니다.

단위 접선 벡터의 도함수 측면에서 곡률의 특성은 아마도 접촉 원의 측면에서 정의보다 덜 직관적일 수 있지만 곡률 계산을 위한 공식은 더 쉽게 추론할 수 있습니다.따라서, 또한 운동학에서의 사용 때문에, 이 특성화는 종종 곡률의 정의로 주어진다.

오스코팅 서클

역사적으로, 미분 가능한 곡선의 곡률은 한 점에 곡선을 가장 잘 근사하는 원인 접촉 원을 통해 정의되었습니다.보다 정확하게는 곡선의 $점$ P가 주어지면 곡선의 모든 $다른$ 점 Q는 Q를 통과하고 $P$ 에서 곡선에 접하는 원(또는 때로는 선)을 정의합니다.Q가 P로 $향하는$ 경향이 있는 $경우$ , 이 원의 한계(존재하는 경우)가 됩니다.그러면 $P$ 에서 곡선의 중심과 곡률 반경이 접촉 원의 중심과 반지름이 됩니다.곡률은 곡률 반경의 역수입니다.즉, 곡률은

\kappa = flac {1}{R}

$여기$ 서 R은 곡률^[5] 반지름입니다(원 전체가 이 곡률을 가지며, 길이 $2$ 'R에 걸쳐 2' $회전$ 으로 읽을 수 있습니다).

이 정의는 조작하거나 공식으로 표현하기가 어렵습니다.따라서 다른 동등한 정의가 도입되었다.

호 길이 매개 변수화의 관점에서

모든 미분 가능한 곡선은 호 ^[6]길이에 대해 매개 변수를 지정할 수 있습니다.평면 곡선의 경우, 이것은 파라메이션 $δ ($ s) $= (x (s),$ $y ($ s))의 존재를 의미하며 $여기$ 서 $x$ 와 y는 다음을 만족하는 실제 값 미분 가능 함수이다.

{\displaystyle\\boldsymbol\{x'(s)^{2}+y'(s)}=1.}

이것은 탄젠트 벡터가

(\displaystyle \mathbf {T} (s)="bigl (}x'(s),y'(s){\bigr})}

는 1과 같은 노름을 가지므로 단위 탄젠트 벡터입니다.

곡선이 두 배 미분가능하다면, 즉 $x$ 와 $y$ 의 두 번째 도함수가 존재한다면 $,$ $T$ 의 $도함수$ 가 존재하는 것이다.이 벡터는 곡선에 대해 법선이며, 노름은 곡률 $θ (s$ )이며 곡률의 중심을 향합니다.그것은,

{s}&\mathbf {T}(s)=\mathbf {T}(s)^{2}(s)=1\\text{(s)}}}\cdot \mathbf {T} '(s)\cdot \mathbf {T}(s)=0\&\kappa(s)=\mathbf {T} '(s)=\boldsymbol {x(s)^{2}+y(s)^{{s}}}})^{{{{s}}}}}}}}}}}{{{{\s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{\cdot}}}}}}}

게다가, 곡률의 반경이

R(s)=svsfrac {1}{\kappa(s)}

곡률의 중심은 곡선에 대한 법선상에 있고 곡률의 중심은 점이고

\displaystyle \mathbf {C}(s)=\bold symbol {s}+{\frac {1}{2}}\mathbf {T} '(s).}

N $(s)$ 이 T $(s)$ 로부터 얻어진 단위 법선 벡터인 $경우$ , 다음의 반시계방향 회전에 의해 얻어진 단위 법선 벡터그럼 §/2

\displaystyle \mathbf {T} '(s)=k(s)\mathbf {N}(s),}

$k (s)$ = ± $µs일$ 때.실수 $k (s)$ 를 방향 곡률 또는 부호 곡률이라고 합니다.이는 평면의 방향(반시계 방향의 정의)과 매개변수화에 의해 제공되는 곡선의 방향에 따라 달라집니다.실제로 $변수$ s → – $s$ 의 변경은 또 다른 호 길이 모수화를 제공하며 $k(s$ )의 부호를 변경합니다.

일반적인 매개 변수화의 관점에서

$δ (t)$ = ( $x (t),$ $y (t))$ 가 2배 미분 가능한 평면 곡선의 적절한 파라메트릭 표현이라고 하자.여기서 적절한 것은 파라미터화의 정의 영역 상에서 $미분d // dt$ 가 정의되고, 미분 가능하며, 제로 벡터와 같은 곳이 없음을 의미한다.

이러한 매개 변수화를 통해 부호화된 곡률은

{{displaystyle k=black {x'y'-y'x'}{\leftflacx'}^{2}+{y'}{2}\오른쪽)^{\flac {3}{2}}}},

여기서 prime은 t에 $대한$ 도함수를 의미한다.곡률 $θ$ 는 다음과 같습니다.

({displaystyle \kappa = specfrac {x'y'-y'x'}{\leftfracx'}^{2}+{y'}^{2}\오른쪽)^{\frac {3}{2}}}}.}

이것들은 좌표 없이 다음과 같이 표현될 수 있다.

({displaystyle k=boldsymbol {det\boldsymbol}, {\boldsymbol {}}, {\boldsymbol}}, {\qquad \kappa}, {\boldsymbol}, {\boldsymbol})}

이러한 공식은 다음과 같은 방법으로 호 길이 매개 변수화의 특수한 경우에서 파생될 수 있습니다.파라메이션에 대한 위의 조건은 호 $길이$ s가 $파라메타$ t의 미분 가능한 단조함수이고, $반대$ 로 t가 $s$ 의 단조함수임을 의미한다.또한, 필요에 따라 $s$ 를 $- s$ 로 변경함으로써, 이러한 함수가 증가하고 있으며 양의 파생 함수를 갖는다고 가정할 수 있다.이전 섹션의 표기법과 체인 규칙을 사용하여 다음과 같이 할 수 있습니다.

({displaystyle {dsbold symbol {dt}} {dt}} = ds} {dt}} \ mathbf {T} , )

따라서, 양쪽의 규범을 취함으로써

{{displaystyle}{ds}={1}{\boldsymbol {\boldsymbol {\symbol}{\}}}

여기서 prime은 t에 $대한$ 차이를 나타낸다.

곡률은 s에 $대한$ $T$ 의 도함수의 표준이다.상기 식과 연쇄규칙을 사용함으로써 이 도함수와 그 규범은 호장 $파라미터$ s가 완전히 제거된 상태에서 $θ$ 및 $θ만$ 으로 표현할 수 있으며, 곡률에 대한 상기 공식을 얻을 수 있다.

함수의 그래프

$함수$ y = $f (x)$ 의 그래프는 모수 곡선의 특수한 경우로, 다음과 같은 형태입니다.

(\displaystyle\x&=t\y&=f(t)).\end { aligned}}

x의 $첫$ 번째와 두 번째 도함수는 1과 0이므로 이전 공식은 다음과 같이 단순화된다.

\kappa = specfrac { y'}{\left(1+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}

곡률에 대해서,

{{displaystyle k=black {y'}{\left(1+{y'}^{2}\right)^{\flac {3}{2}}}},

부호 있는 곡률에 대해서요.

일반적으로 곡선의 경우 부호화된 곡선의 부호는 곡선의 방향에 따라 달라지기 때문에 다소 임의적입니다.함수의 그래프의 경우 x의 $값$ 을 증가시켜 자연방향이 있다.이것은 부호화된 곡률의 부호를 의미하게 합니다.

부호화된 곡면 부호는 f의 $2차$ 도함수 부호와 같다.양수이면 그래프에 위쪽 오목부가 있고 음수이면 그래프에 아래쪽 오목부가 있습니다.0이면 변곡점 또는 기복이 있는 점이 있습니다.

그래프의 기울기(함수의 도함수)가 작을 경우 부호화된 곡률은 두 번째 도함수에 의해 근사됩니다.보다 정확하게는 빅 O 표기법을 사용하면

(\displaystyle k(x)=y'\left(1+O\left({y'}^{2}\오른쪽)\right).}

예를 들어 빔 이론이나 시제 끈의 파동 방정식 도출 및 작은 기울기가 관련된 다른 응용 분야에서 2차 도함수로 곡률을 근사하는 것은 물리학과 공학에서 일반적이다.이를 통해 비선형 시스템을 선형으로 간주할 수 있습니다.

극좌표

곡선이 극좌표에서 극각의 함수로 표현되는 반지름에 의해 정의된다면, 즉 $r$ 은 $θ$ 의 함수이며, 곡률은 다음과 같다.

\kappa (\theta ) = frac {\left(r^{2}+{r'')^{\right}{\left(r^{2}+{r'}^{{2}\right)^{3}{2}}

여기서 소수점은 $θ$ 에 대한 차이를 말합니다.

이는 매개 변수를 고려함으로써 일반적인 매개 변수화에 대한 공식에서 비롯됩니다.

(\displaystyle\syn {aligned}x&=r(\theta)\cos \theta \y&=r(\theta)\sin \theta \end{aligned}})

암묵 곡선

F, $F y$ , $F xx$ , $F xy$ , F, $F yy$ , F로 표시된 $x$ 편미분을 갖는 $암묵적 방정식$ F( $x$ , y) = 0으로 정의된 곡선의 경우, 곡률은 다음과 같이 주어진다^[7].

\kappa = frac {\left F_{y}^{2}F_{x}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{y}\right }{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

부호화된 곡률은 암묵적 방정식에 의해 제공되지 않는 곡선의 방향에 따라 달라지기 때문에 정의되지 않습니다.또한 F를 – $F$ 로 $변경$ 해도 곡선은 변경되지 않고 앞의 공식에서 절대값이 생략된 경우 분자의 부호가 변경됩니다.

$F x$ = $F y$ = $0인$ 곡선의 한 점은 이 지점에서 곡선을 구분할 수 없으므로 곡률이 정의되지 않음을 의미합니다(대부분의 경우 해당 점은 교차점 또는 첨두).

곡률에 대한 위의 공식은 함수의 그래프의 곡률 표현에서 암묵적 함수 정리를 사용하여 도출될 수 있으며, 그러한 곡선에서, 사람은 다음을 가지고 있다.

(\displaystyle {frac {dy}}=-{\frac {F_{x}}){F_{y}}}.}

예

위의 항에서 설명한 여러 공식에서 동일한 결과를 얻을 수 있는지 확인하는 것은 간단한 예에서 유용합니다.

원형

$반지름$ r의 원의 공통 파라미터화는 $θ (t) =(r$ cos $t$ , r $sin$ t $)$ 이다.곡률 공식은 다음과 같다.

k(t)=sinfrac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}=blac {1}{r}}}.

따라서 예상대로 곡률 반경은 원의 반지름이고 곡률 중심은 원의 중심입니다.

원은 호 길이 매개변수화를 계산하기 쉬운 드문 경우입니다.

{\boldsymbol {s}}=\left(r\cos {s}{r},r\sin {frac {s}\r}\오른쪽).

이것은 호 길이 매개 변수화이다, 왜냐하면 표준이

{\displaystyle\boldsymbol\s}=\leftswin\frac{s},\cos\frac{s}\r}

1과 같습니다.이 매개 변수화는 이전 공식에서 분자와 분모 모두 $r$ 로³ 나누기 때문에 곡률에 동일한 값을 제공합니다.

또한 동일한 원은 F $(x,$ $y)$ = $x 2 + y 2$ – $r$ 인² 암묵적 $방정식$ F $(x, y$ ) = $0$ 으로 정의할 수 있다.이 경우 곡률 공식은 다음과 같습니다.

{{displaystyle}\kappa &=frac {left F_{y}^{2}F_{x}-2F_{x}F_{y}F_{xy}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{y}\right }{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&=frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}\&=frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{3}}=frac {1}{r}}}.\end { aligned}}

포물선

$포물선$ y $= ax 2$ + $bx$ + $c$ 를 고려합니다.

$이것$ 은 $2ax$ + b와 2차 $도함수$ 2a를 갖는 함수의 그래프이다.부호화된 곡률은

{{displaystyle k(x)=snapfrac {2a}{\left(1+\left(2ax+b\right)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}.}

$x$ 의 모든 값에 $대해$ a의 기호가 있습니다.즉, a > $0$ 이면 오목부가 모든 곳에서 위쪽으로 향하고, $a$ = $0$ 이면 오목부가 모든 곳에서 아래쪽으로 향하고, a = 0이면 곡률이 0이므로 이 경우 포물선이 직선으로 퇴화함을 확인할 수 있습니다.

(부호되지 않은) 곡률은 포물선의 정점인 함수의 정지점(0도함수)에 있는 x $=$ – $b / 2a$ 에 $대해$ 최대입니다.

매개변수화 $δ (t)$ = ( $t 2,$ + bt + $c)$ = ( $x,$ $y)$ 를 고려합니다. $x$ 의 1차 도함수는 $1$ 이고, 2차 도함수는 0이다.일반적인 파라미터화 공식에 대입하면 위와 정확히 같은 결과를 얻을 수 $있으며$ x는 t로 $대체$ 된다. $변수$ t에 대한 도함수에 소수를 사용한다면

또한 동일한 포물선은 F $($ $x,$ $y)$ = $0$ 과² F( $x,$ $y) =$ ax + $bx + c$ – $y$ 의 암묵적 $방정식$ 으로 정의할 수 있다. $F y$ = – $1$ , $F yy$ = $F xy$ = $0$ 이면 (지정되지 않은) 곡률에 대해 정확히 동일한 값을 얻을 수 있습니다.그러나 $-F (x,$ $y)$ = $0$ 은 동일한 포물선에 대한 유효한 암묵적 방정식이며, 곡률에 대한 반대 부호를 제공하기 때문에 부호화된 곡률은 여기서 의미가 없습니다.

평면 곡선에 대한 Frenet-Serret 공식

평면 곡선의 두 점에서의

벡터

T

와 N, 두 번째 프레임의 변환된 버전(점) 및 T의

변화

δT

.다음은 포인트

사이

의 거리입니다.제한 범위

내

에서

dT

/ds는 N

방향

으로 됩니다.곡률은 프레임의 회전 속도를 나타냅니다.

곡률의 표현 호 길이 매개변수화의 관점에서 본질적으로 첫 번째 Frenet-Serret 공식이다.

\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa(s)\mathbf {N}(s),}

여기서 소수는 호 $길이$ s에 대한 도함수를 $나타내며,$ N( $s)$ 은 Tµ $(s)$ $방향$ 의 정규 단위 벡터이다.

평면 곡선이 0 비틀림을 가지므로, 두 번째 Frenet-Serret 공식은 다음과 같은 관계를 제공한다.

{\frac {d\mathbf {N}}{ds}}&=-\kappa \mathbf {T},\=\kappa {frac {dsbold symbol {n}}{ds}}{ds}}}.\end { aligned}

$파라미터$ t에 의한 일반적인 파라미터화의 경우 t에 $관한$ 도함수를 포함하는 식이 필요하다.이것들은 s에 $대한$ 파생물에 ds/dt를 곱하여 구하므로, 적절한 매개 변수화를 위해 다음과 같이 된다.

\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa(t){\boldsymbol {\bold }}'(t)}

공간 곡선

곡률 및 가속도

벡터

Tδ

(s)

의 애니메이션

2차원 곡선의 경우와 마찬가지로 3차원(이상)에서의 일반 공간 $곡선$ C의 곡률은 곡선을 따라 단위 속도에 따라 이동하는 입자의 가속도 크기이다.따라서 $θ (s)$ 가 C의 $호$ 길이 매개변수화라면 단위 탄젠트 $벡터$ T $(s)$ 는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \mathbf {T} (s)="bold symbol" {\displaystyle }" (s)

곡률은 가속도의 크기입니다.

\displaystyle \kappa(s)=\mathbf {T} '(s)=\ boldsymbol {\s}'(s)\ .}

가속의 방향은 단위 법선 $벡터$ N으로 $,$ $다음$ 과 같이 정의됩니다.

\mathbf {N} (s) = flac {\mathbf {T} '(s)} {\ mathbf {T} '(s)\ }

2개의 $벡터$ T $(s)$ 와 N $(s)$ 을 포함한 평면이 $µ$ ( $s)$ 에서의 곡선에 대한 접촉면이다.곡면에는 다음과 같은 기하학적 해석이 있습니다.접촉점에서 2차까지의 테일러 급수가 $θ$ 의 급수와 일치하는 $θ$ $($ s)에 접하는 접촉면에 원이 존재한다.이게 곡선에 연결된 원이에요 $원 R$ 의반지름을 곡률 반지름이라고 하며 곡률은 곡률 반지름의 역수입니다.

\kappa(s)=svsfrac {1}{R(s)}}.

접선, 곡면 및 법선 벡터는 함께 점 근처 곡선의 2차 동작을 나타냅니다.3차원에서 곡선의 3차 거동은 곡선이 공간의 나선 경로로 이동하는 경향을 측정하는 비틀림 개념에 의해 설명된다.비틀림과 곡률은 Frenet-Serret 공식(3차원)과 그 일반화(고차원)에 의해 관련된다.

일반식

$θ$ (t)= ( $x (t),$ y $(t),$ $z (t))$ 에 의해 데카르트 좌표에서 주어진 3차원의 파라메트릭 정의 공간 곡선의 경우, 곡률은 다음과 같다.

{{displaystyle \kappa = prechrc {\left(z'y'-y'z'\right)^{2} +\left(x'-z'-x'\right)^2} +\left(y'-x'y'\right)^{2} {\fright}

여기서 prime은 $매개변수$ t에 대한 차별화를 나타낸다.이것은 좌표계와는 독립적으로 공식에 의해 표현될 수 있다.

(*displaystyle\kappa=boldfrac {\boldsymbol {\boldsymbol}\"\"\"boldsymbol {\}"\"^{3}}}}

여기서 ×는 벡터 교차곱을 나타냅니다.이 마지막 공식은 모든 차원의 유클리드 공간에서 곡선의 곡률에 유효하다.

\displaystyle \kappa = cdot frac {\boldsymbol {\boldsymbol {\baldsymbol } \ ^{2} - \ left \ boldsymbol {\baldsymbol } } {\cd } }}

호 및 현 길이에 따른 곡률

C $위$ 의 두 점 $P$ 와 Q가 주어졌을 때, s $(P, Q)$ 는 $P$ 와 Q $사이$ 의 곡선 부분의 호 $길이$ 이고 d $(P, Q)$ 는 P에서 Q까지의 $선분$ 의 길이를 나타낸다. $P$ 에서의 $C$ 의 곡률은 한계로^{[citation needed]} 나타납니다.

\displaystyle \kappa (P)=\lim _{Q\to P}{\sqrt {\sqrt {24µbigl (}s(P,Q)-d(P,Q)}}{s(P,Q)^{3}}}}

$여기$ 서 점 Q가 $C$ 의 P에 $접근$ 하면 한계가 취해진다.분모는 똑같이 $d(P$ ,Q $) 3$ 라고 할 수 있다.공식은 모든 차원에 유효합니다.또한 P의 $어느$ 쪽이든 독립적으로 한계를 고려함으로써 이 곡률 정의는 때때로 $P$ 에서의 특이점을 수용할 수 있다.이 공식은 동그라미를 확인하는 것으로 이어집니다.

표면

표면에 그려진 곡선의 곡률은 표면의 곡률을 정의하고 연구하기 위한 주요 도구입니다.

지표면의 곡선

표면에 그려진 곡선의 경우(3차원 유클리드 공간에 포함), 곡률의 방향을 표면의 단위 법선 벡터에 관련짓는 다음과 같은 여러 곡선이 정의된다.

평활면상의 임의의 비단일곡선은 그 탄젠트 $벡터$ T를 표면의 탄젠트 평면에 포함한다.곡선이 비행기는 곡선의 접선 T었고 표면은 정상적인 u가 포함된에 비추어지의 정상적인 곡률, kn은 곡률, 곡선은 표면의 접선 평면에 비추어지의 측지 곡률, kg은 곡률, 측지선 비틀림(또는 상대적인 비틀림), τr, 표면의 변경의 비율이 정상을 측정한다.t그는 접선하고 있다.

곡선을 호 길이 매개 변수로 설정하고 $t$ $= u$ × $T$ 로 하여 $T,$ $t$ , u가 다르부 프레임이라고 하는 직교 정규 기저를 $형성$ 하도록 합니다.위의 수량은 다음과 같습니다.

{\displaystyle{\begin{pmatrix}\mathbf{T}'\\\mathbf{t}'\\\mathbf{u}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&, \kappa _{\mathrm{g}}&\kappa _{\mathrm{n}}\\-\kappa _{\mathrm{g}}&0&, \tau _{\mathrm{r}}\\-\kappa _{\mathrm{n}}&-\tau _{\mathrm{r}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{t}\\\mathbf{u}\end{시.atrix}}}

주곡률

주 곡선 방향의 법선 평면이 있는 새들 표면

주어진 점에서 접선 벡터가 동일한 표면의 모든 곡선은 T $및$ u를 $포함$ 하는 평면과 표면을 교차하여 얻은 곡선의 곡률과 동일한 정규 곡률을 가집니다.가능한 모든 탄젠트 벡터를 취하면, 한 점에서 법선 곡률의 최대값과 최소값을 주곡률 $k$ 와₁₂ k라고 하고, 대응하는 탄젠트 벡터의 방향을 주법선 방향이라고 합니다.

일반 섹션

곡률은 표면 법선 단면을 따라 평가할 수 있으며, 이는 위 표면의 § 곡선과 유사합니다(예: 지구 곡률 반지름 참조).

현상 가능한 표면

매끄러운 종이로 만든 것과 같은 일부 곡면은 고유의 특징을 일그러뜨리지 않고 평면으로 평평하게 만들 수 있습니다.이러한 현상 가능한 표면은 0 가우스 곡률을 가집니다(아래 ^[8]참조).

가우스 곡률

고유 곡률은 없지만 외부 곡률(내장된 곡률만 있음)이 있는 곡선과 달리 표면은 내장 곡률과는 독립적으로 고유 곡률을 가질 수 있습니다.칼 프리드리히 가우스의 이름을 딴 가우스 곡률은 주요 곡률의 $곱인 12$ kk와 같다.길이⁻² 치수를 가지며 구면에는 양수, 원시트 하이퍼볼로이드에 대해서는 음수, 평면 및 실린더에 대해서는 0입니다.표면이 국소적으로 볼록한지(양수인 경우) 또는 국소적으로 안장 모양인지(음수인 경우)를 결정합니다.

가우스 곡률은 표면의 고유 특성으로, 표면의 특정 매립에 의존하지 않습니다. 직관적으로 이는 표면에 사는 개미가 가우스 곡률을 결정할 수 있음을 의미합니다.예를 들어, 구에 사는 개미는 삼각형의 내부 각도의 합을 측정할 수 있고 그것이 180도 이상이라고 결정할 수 있는데, 이것은 그것이 살고 있는 공간이 양의 곡률을 가지고 있다는 것을 암시한다.반면에, 원통 위에 사는 개미는 유클리드 기하학에서 그러한 이탈을 감지하지 못할 것이다; 특히 개미는 두 표면이 다른 평균 곡률을 가지고 있다는 것을 감지하지 못했는데, 이것은 순전히 외인적인 형태의 곡률이다.

공식적으로 가우스 곡률은 표면의 리만 메트릭에 의존합니다.이것은 가우스가 지리 조사와 지도 제작에 관여하던 중 발견한 유명한 이론마 에그리움입니다.

$점$ P에서의 가우스 곡률의 본질적인 정의는 다음과 같습니다. $즉$ , 길이가 r인 짧은 스레드로 $P$ 에 연결되어 있는 개미를 상상해 보십시오.스레드가 완전히 늘어나는 동안 P $주위$ 를 돌고 P $주위$ 를 한 바퀴 $도는$ 길이 C $(r)$ 를 측정합니다.만약 표면이 평평하다면, $개미$ 는 C(r) = $2µr$ 을 $찾을$ 것이다.곡면에서는 C $(r)$ 의 공식이 다르며, P $지점$ 의 가우스 $곡률$ K는 Bertrand-Diguet에 의해 계산될 수 있다.푸이삭스 정리

(\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}\오른쪽).}

표면 전체에 걸친 가우스 곡률의 적분은 표면의 오일러 특성과 밀접하게 관련되어 있습니다. 가우스-보넷 정리를 참조하십시오.

곡률의 이산적 유사체는 한 점에 집중되어 있고 다면체에 특히 유용한 곡률에 대응하며, (각도) 결함이다. 가우스-보넷 정리의 유사체는 총각 결함에 대한 데카르트의 정리이다.

(가우스) 곡률은 매립공간에 관계없이 정의할 수 있으므로 곡선을 그리기 위해 표면을 고차원공간에 매립할 필요는 없다.이러한 본질적으로 곡선화된 2차원 표면은 리만 다양체의 단순한 예이다.

평균 곡률

평균 곡면도는 주곡선의 절반인 $k 1$ + $k 2$ / $2$ 와 같은 곡면성의 외적 측도입니다.그것은⁻¹ 길이의 치수를 가지고 있다.평균 곡률은 표면적의 첫 번째 변동과 밀접한 관련이 있습니다.특히 비누막과 같은 최소 표면은 평균 곡률 0을 가지며 비누 거품은 일정한 평균 곡률을 가진다.가우스 곡률과는 달리 평균 곡률은 외부 곡률이며 매립에 따라 달라집니다. 예를 들어 실린더와 평면이 국소 등각이지만 평면의 평균 곡률은 0인 반면 실린더의 곡률은 0이 아닙니다.

제2기초형식

표면의 내적 곡률과 외적 곡률은 두 번째 기본 형태로 결합될 수 있습니다.이것은 지표면에 대한 접선 평면의 2차 형식이며, 지표면에 대한 특정 접선 $벡터$ X의 값이 $X$ 에 접하는 표면을 따라 곡선의 가속도의 정규 성분입니다. 즉, $X$ 에 접하는 곡선에 대한 정규 곡면입니다(위 참조).상징적으로

{\displaystyle\operatorname{I\!I}(\mathbf {X},\mathbf {X})=\mathbf {N} \cdot(\cdla _{\mathbf {X}}\mathbf {X})})}

$여기$ 서 N은 지표면에 수직인 단위이다.단위 접선 $벡터$ X에 대해 제2의 기본 형태는 각각 $주방향 1$ $u 2$ 및 u에서 발생하는 $최대값 1$ k 및 $최소값 2$ k를 가정한다.따라서, 주축 정리에 의해, 두 번째 기본 형태는

{\displaystyle\operatorname{I\!I}(\mathbf {X},\mathbf {X})=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {X})^{2} {2})^{2} {2} } } 。

따라서 두 번째 기본 형태는 내적 곡선 및 외적 곡선 모두를 부호화한다.

형상 연산자

표면 곡률의 캡슐화는 형상 연산자 $S$ 에서 찾을 수 있다. 형상 연산자는 접선 평면(구체적으로는 가우스 맵의 미분)에서 자기접점 선형 연산자이다.

접선 $벡터$ X와 $법선$ N이 있는 표면의 경우 형상 연산자는 다음과 같이 지수 합산 표기법으로 콤팩트하게 표현할 수 있다.

_{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.

(평면 곡선의 곡률의 대체 표현식을 비교합니다.)

Weingarten 방정식은 제1과 제2의 기본 형태의 계수의 관점에서 S의 $값$ 을 다음과 같이 제시합니다.

\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\오른쪽)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\fE-F\end{pmatrix}}}

주 곡률은 형상 연산자의 고유값, 주 곡률 방향은 고유 벡터, 가우스 곡률은 결정 요인, 평균 곡률은 궤적의 절반입니다.

공간의 곡률

전자의 인수의 확장에 의해 3차원 이상의 공간이 본질적으로 곡면될 수 있다.곡률은 곡률을 포함하는 더 큰 공간에 대해 정의된 특성이 아니라 공간의 모든 점에서 정의된 특성이라는 점에서 본질적입니다.일반적으로 곡선 공간은 고차원 주변 공간에 포함된 것으로 간주될 수도 있고 그렇지 않은 경우 곡률은 본질적으로 정의될 수 있습니다.

비유클리드 기하학과 밀접하게 연관된 곡률의 본질적인 정의가 발견된 후, 많은 수학자들과 과학자들은 비록 그때까지의 유클리드 기하학의 성공은 곡률 반경이 천문학적으로 커야 한다는 것을 의미했지만, 보통의 물리적 공간이 곡률적일 수 있는지에 대해 의문을 제기했다.중력과 우주론을 설명하는 일반 상대성 이론에서, 그 생각은 "시공간의 곡선"으로 약간 일반화된다. 상대성 이론에서 시공간은 의사-리만 다양체이다.일단 시간 좌표가 정의되면, 특정 시간에 대응하는 3차원 공간은 일반적으로 곡선 리만 다양체이다. 그러나 시간 좌표 선택은 대부분 임의적이기 때문에 물리적으로 중요한 것은 기초 시공간 곡률이다.

임의 곡선 공간은 설명하기가 매우 복잡하지만 국소적으로 등방적이고 균일한 공간의 곡률은 표면에 대해 단일 가우스 곡률로 설명된다. 수학적으로 이것들은 강한 조건이지만 합리적인 물리적 가정(모든 점 및 모든 방향은 구별할 수 없다)에 대응한다.양의 곡률은 곡률의 역제곱 반경에 해당합니다. 예를 들어 구면 또는 초구면입니다.음의 곡선 공간의 예는 쌍곡선 기하학이다.곡률이 0인 공간 또는 시공간을 평탄이라고 합니다.예를 들어, 유클리드 공간은 평평한 공간의 예시이고, 민코프스키 공간은 평평한 공간의 예시이다.단, 두 설정 모두 플랫 지오메트리의 다른 예가 있습니다.토러스 또는 실린더는 모두 평탄한 메트릭을 제공할 수 있지만 토폴로지가 다릅니다.곡면 공간에도 다른 위상이 가능합니다.우주의 모양을 참조하십시오.

일반화

A →

N

→

B

→

A

에서 벡터를 병렬로 전송하면 다른 벡터가 생성됩니다.이 초기 벡터로 돌아가지 못하는 것은 표면의 홀로노믹에 의해 측정됩니다.

곡률의 수학적 개념은 또한 훨씬 더 일반적인 맥락에서 ^[9]정의된다.이러한 일반화의 대부분은 낮은 차원으로 이해되기 때문에 곡률의 다양한 측면을 강조한다.

그러한 일반화 중 하나는 운동학이다.곡선의 곡률은 자연스럽게 곡선을 따라 이동하는 특정 관찰자에 의해 느껴지는 힘을 나타내는 운동학적 양으로 간주될 수 있다.유사하게, 고차원에서의 곡률은 일종의 조력(이것은 단면 곡률의 한 가지 사고방식)으로 간주될 수 있다.이러한 곡률의 일반화는 주변 테스트 입자가 공간 내에서 자유롭게 이동할 수 있을 때 얼마나 분산되거나 수렴되는지에 따라 달라집니다. 야코비 필드를 참조하십시오.

곡률의 또 다른 광범위한 일반화는 표면에서의 평행 운송에 대한 연구로부터 온다.예를 들어 벡터가 운동 내내 평행한 구면상의 루프 주위로 이동하면 벡터의 최종 위치는 벡터의 초기 위치와 동일하지 않을 수 있다.이 현상은 홀로노미라고 ^[10]알려져 있다.다양한 일반화는 곡률에 대한 이 개념을 홀로노미의 척도로 추상적으로 포착합니다. 곡률 형식을 참조하십시오.곡률에 대한 밀접하게 관련된 개념은 물리학에서 게이지 이론에서 유래합니다. 여기서 곡률은 필드를 나타내며 필드의 벡터 전위는 일반적인 경로에 의존하는 양입니다. 즉, 관찰자가 루프 주위를 이동하면 바뀔 수 있습니다.

곡률의 또 다른 두 가지 일반화는 스칼라 곡률과 리치 곡률입니다.구면 등의 곡면에서는 평면공간에서의 디스크 면적과 동일반경의 디스크 면적이 다르다.이 차이는(적절한 한계에서) 스칼라 곡률로 측정됩니다.디스크 섹터의 면적 차이는 리치 곡률로 측정됩니다.스칼라 곡률 및 리치 곡률 각각은 3차원 이상에서 유사한 방식으로 정의된다.그것들은 시공간의 기하학을 나타내는 아인슈타인의 장 방정식의 측면에 나타나는 상대성 이론에서 특히 중요합니다.이러한 곡률의 일반화는 예를 들어 곡률이 측정의 특성이 될 수 있다는 개념의 기초가 됩니다. 측정의 곡률을 참조하십시오.

곡률의 또 다른 일반화는 곡률이 일정한 다른 공간과 곡률을 비교하는 능력에 의존합니다.이것은 종종 공간에 삼각형으로 이루어집니다.삼각형의 개념은 미터법 공간에서 의미가 있으며, 이것이 CAT $(k)$ 공간을 $발생$ 시킵니다.

「」를 참조해 주세요.

벡터 번들 및 접속이 있는 주요 번들에 대한 곡률의 적절한 개념을 위한 곡률 형식
측정 이론의 곡률 개념에 대한 측정값의 곡률
파라메트릭 표면의 곡률
고차원 리만 다양체에 대한 가우스 곡률 일반화를 위한 리만 다양체의 곡률
모든 차원의 리만 다양체에서 곡선의 곡률에 대한 적절한 개념을 위한 곡률 벡터 및 측지선 곡률
곡률도
임의의 차원의 유클리드 공간에 내장된 곡선의 완전한 처리를 위한 곡선의 미분 기하학
광학에서 사용되는 곡률 측정값인 Dioptre
Evolute, 주어진 곡선의 곡률 중심 궤적
곡선의 기본 정리
곡률의 기본 적용에 대한 가우스-보넷 정리
가우스 곡률의 기하학적 특성을 위한 가우스 지도
가우스의 최소 구속 원리, 최소 작용 원리의 표현
표면의 한 점에서의 평균 곡면
최소 철도 곡선 반지름
곡률 반지름
일반적으로 하이퍼서페이스의 외인성 곡률에 대한 두 번째 기본 형태
부신도
곡선의 비틀림

메모들

^ Clagett, Marshall (1968), Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions; a treatise on the uniformity and difformity of intensities known as Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Madison, WI: University of Wisconsin Press, ISBN 0-299-04880-2
^ Serrano, Isabel; Suceavă, Bogdan (2015). "A Medieval Mystery: Nicole Oresme's Concept of Curvitas" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 62 (9): 1030–1034. doi:10.1090/noti1275.
^ Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), "Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus", Foundations of Science, 17 (3): 245–276, arXiv:1108.2885, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, doi:10.1007/s10699-011-9235-x, S2CID 119320059
^ Pressley, Andrew. Elementary Differential Geometry (1st ed.). p. 29.
^ Kline, Morris. Calculus: An Intuitive and Physical Approach (2nd ed.). p. 458.
^ Kennedy, John (2011). "The Arc Length Parametrization of a Curve". Archived from the original on 2015-09-28. Retrieved 2013-12-10.
^ Goldman, Ron (2005). "Curvature formulas for implicit curves and surfaces". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
^ 개발 가능한 표면, Mathworld. (2021년 2월 11일 회수)
^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry. Wiley Interscience. vol. 1 ch. 2–3.
^ Henderson, David W.; Taimiņa, Daina. Experiencing Geometry (3rd ed.). pp. 98–99.

레퍼런스

Coolidge, Julian L. (June 1952). "The Unsatisfactory Story of Curvature". American Mathematical Monthly. 59 (6): 375–379. doi:10.2307/2306807. JSTOR 2306807.
Sokolov, Dmitriĭ Dmitrievich (2001) [1994], "Curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Kline, Morris (1998). Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. pp. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0. (Google Books의 제한된 온라인 복사, 페이지 457).
Klaf, A. Albert (1956). Calculus Refresher. Dover. pp. 151–168. ISBN 978-0-486-20370-6. (Google Books의 제한된 온라인 복사, 페이지 151).
Casey, James (1996). Exploring Curvature. Vieweg+Teubner. ISBN 978-3-528-06475-4.

외부 링크

이동하는 Frenet-Serret 프레임 및 곡률에 대한 자체 애니메이션 그림 만들기(메이플 워크시트)
곡률의 역사
산술 페이지의 곡률, 내적 및 외적

[1] Clagett, Marshall (1968), Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions; a treatise on the uniformity and difformity of intensities known as Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Madison, WI: University of Wisconsin Press, ISBN 0-299-04880-2

[2] Serrano, Isabel; Suceavă, Bogdan (2015). "A Medieval Mystery: Nicole Oresme's Concept of Curvitas" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 62 (9): 1030–1034. doi:10.1090/noti1275.

[Cauchy-3] Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), "Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus", Foundations of Science, 17 (3): 245–276, arXiv:1108.2885, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, doi:10.1007/s10699-011-9235-x, S2CID 119320059

[4] Pressley, Andrew. Elementary Differential Geometry (1st ed.). p. 29.

[5] Kline, Morris. Calculus: An Intuitive and Physical Approach (2nd ed.). p. 458.

[6] Kennedy, John (2011). "The Arc Length Parametrization of a Curve". Archived from the original on 2015-09-28. Retrieved 2013-12-10.

[7] Goldman, Ron (2005). "Curvature formulas for implicit curves and surfaces". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.

[8] 개발 가능한 표면, Mathworld. (2021년 2월 11일 회수)

[9] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry. Wiley Interscience. vol. 1 ch. 2–3.

[10] Henderson, David W.; Taimiņa, Daina. Experiencing Geometry (3rd ed.). pp. 98–99.

[2]

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[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v t 미분 기하학에서 정의된 곡률의 다양한 개념
미분 지오메트리 곡선의	곡률 곡선의 비틀림 프레네-세레 공식 곡률 반지름(어플리케이션) 아핀 곡률 총 곡률 총 절대 곡률
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