가우스의 최소한의 제약 원칙

다음에 대한 시리즈 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}={\frac {d}{dt}(m{\textbf {v})}$ 운동 제2법칙
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최소 제약의 원리는 칼 프리드리히 가우스가 1829년에 발표한 고전 역학의 한 변이형 공식으로, 분석 역학의 다른 모든 공식과 동등하다. 직관적으로, 제약된 물리적 시스템의 가속도는 해당 제약되지 않은 시스템의 가속과 가능한 유사할 것이라고 말한다.^[1]

성명서

최소 구속조건의 $원리$는 n ${\displaystyle n}$중량의$$ 기계적 시스템의 진정한 가속이 수량의 최소임을 나타내는 최소 제곱 원리다.

${\displaystyle Z\,{\stackrel {def}}{=}}}{n_{j}\cdot \왼쪽 \,{\ddot {\mathbf{r}}-{j}-{j}-{j}-\mathbf{j}}}\{j}}\mathbf}\오른쪽 ^{{2}}:$

여기서 j번째 입자는 질량 m ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 위치 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ $j{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ 질량에 작용하는$$ 비기존력 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 가했다.

표기 $˙{\$은 벡터 함수 $r{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {r}(t)},$즉 위치의 시간 파생을 나타낸다$$. The corresponding accelerations ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$ satisfy the imposed constraints, which in general depends on the current state of the system, ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$.

It is recalled the fact that due to active ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ and reactive (constraint) ${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$ forces being applied, with resultant ${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}}$$_{j}}$, a system will experience an acceleration ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {$$a_{c} _{j$ .

다른 공식에 대한 연결

가우스의 원리는 달렘베르트의 원리와 맞먹는다.

최소 제약의 원리는 기계시스템에 의해 취해지는 참된 경로가 행동의 극치라는 해밀턴의 원리와 질적으로 유사하다. 그러나 가우스의 원칙은 참(현지) 최소한의 원칙인 반면, 다른 원칙은 극단적 원칙이다.

헤르츠의 최소 곡률 원리

헤르츠의 최소 곡률 원리는 가우스 원리의 특수한 경우로서, 외부적으로 가해진 힘도 없고 상호작용도 없으며(대개 전위 에너지로 표현될 수 있으며), 모든 질량이 동일하다는 두 가지 조건에 의해 제한된다. 일반성을 상실하지 않는 한, 대중은 1과 동등하게 설정될 수 있다. 이러한 조건 하에서 가우스의 최소 수량을 기록할 수 있다.

${\displaystyle Z=\sum _{j=1}^{n}\왼쪽 {\dot {\mathbf {r}}}}}}{j}\오른쪽 ^{2}}$

운동 에너지 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$도 이러한 조건에서 보존된다$$.

${\displaystyle T\ {\stackrel {def}{}}{}}}{=}}}{{1}:{j=1}sum _{j=1}^{n}\왼쪽 {\dot {\mathbf{r}}}{j}\right ^{2}}:$

좌표의 ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle 3N}$ - 차원$$ 공간에$$ 선 요소 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 정의되므로

${\displaystyle ds^{2}\\\stackrel {def}{}}}{=}\\\sum _{j=1}^{n}\왼쪽 d\mathbf {r} _{j}\오른쪽 ^{2}}$

에너지의 보존도 또한 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \left\frac {ds}{dt}\오른쪽)^{2}=2T}$

$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{2T}}${\$displaystyle 2T}$로 나누면 또 다른 최소 수량이 생성됨$$

${\displaystyle K\{ds^{2}}\\\sum _{j=1}^{n}\왼쪽 {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}{ds^{2}}}\오른쪽 ^{2}}:$

$K{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$는 좌표의 ${\displaystyle \mathrm{3n}}$ ${\displaystyle 3n}$차원$$ 공간에 있는 궤적의 국소 곡률이기 때문에 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 최소화는 제약조건과 일치하는 최소 곡률(지오데틱)의 궤적을 찾는 것과$$ 같다.

헤르츠의 원리는 또한 자코비가 최소 행동 원리를 공식화한 특별한 경우다.

참고 항목

• 호칭 운동 방정식

참조

• Gauss, C. F. (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". Crelle's Journal. 1829 (4): 232–235. doi:10.1515/crll.1829.4.232. S2CID 199545985.
• Gauss, C. F. Werke. Vol. 5. p. 23.
• Hertz, H. (1896). Principles of Mechanics. Miscellaneous Papers. Vol. III. Macmillan.
• Lanczos, Cornelius (1986). "IV §8 Gauss's principle of least constraint". The variational principles of mechanics (Reprint of University of Toronto 1970 4th ed.). Courier Dover. pp. 106–110. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Papastavridis, John G. (2014). "6.6 The Principle of Gauss (extensive treatment)". Analytical mechanics: A comprehensive treatise on the dynamics of constrained systems (Reprint ed.). Singapore, Hackensack NJ, London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. pp. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4.

외부 링크

• [1] 가우스의 원리에 대한 현대적 논의와 증거
• 수학 백과사전의 가우스 원리
• 수학 백과사전의 헤르츠 원리