오일러-베르누이 빔 이론

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오일러-베르누이 빔 이론(엔지니어 빔 이론 또는 고전 빔 ^[1]이론이라고도 함)은 빔의 하중 전달 및 편향 특성을 계산하는 수단을 제공하는 탄성 선형 이론을 단순화한 것입니다.가로 하중을 받는 빔의 작은 편향에 해당하는 경우를 다룹니다.전단 변형과 회전 관성의 영향을 무시함으로써, 이는 티모셴코 빔 이론의 특별한 경우이다.그것은 ^[2]1750년경에 처음 발표되었지만, 19세기 후반 에펠탑과 관람차가 개발되기 전까지 대규모로 적용되지는 않았다.이러한 성공적인 시연에 이어, 그것은 빠르게 엔지니어링의 초석이 되었고 제2차 산업혁명의 주춧돌이 되었습니다.

판 이론과 같은 추가적인 수학적 모델이 개발되었지만 빔 이론의 단순성은 과학, 특히 구조 및 기계 공학에서 중요한 도구로 만듭니다.

역사

갈릴레오 갈릴레이가 빔 이론을 개발하려는 첫 시도를 했다는 것이 지배적인 의견이지만, 최근의 연구들은 레오나르도 다빈치가 결정적인 관찰을 한 첫 번째 사람이었다고 주장한다.다빈치는 이론을 완성하기 위해 후크의 법칙과 미적분이 부족한 반면 갈릴레오는 그가 한 잘못된 ^[3]추정에 발목을 잡혔다.

베르누이 빔은 중요한 발견을 한 제이콥 베르누이의 이름을 따서 지어졌다.레온하르트 오일러와 다니엘 베르누이는 ^[4]1750년경에 유용한 이론을 처음으로 만들었다.

정적 빔 방정식

오일러-베르누이 방정식은 빔의 편향과 가해진 ^[5]하중 사이의 관계를 설명합니다.

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}} {\mathrm {d} x^{2}}\left(EI {\frac {d} ^{2}w} {\mathrm {d} x^{2}}\right}=q,}$

$곡선{\displaystyle }$w (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ w$(x)}$는$$빔이 x {\displaystyle $x}$ $위치$에서 z {\$displaystyle$ z$}$ $방향$으로 편향되는 것을 나타냅니다(빔이 1차원 물체로 모델링되었음을 호출).${\displaystyle }$q$${ $display style$q }는 분산 부하입니다.즉, 단위 길이당 힘(면적당 압력인 경우)입니다$.$x { $displaystyle$ x$$} , $w{\displaystyle }${ $displaystyle$ w$\}$ 또는 기타 $변수$의 함수일 수 있습니다.$(디스플레이 스타일$ E$)$는 탄성 계수이고 $(디스플레이 스타일$ I$)$는 빔 단면적의 두 번째 모멘트입니다.$I은$가해진$하중$에 수직이며 단면의 ^{[N 1]}중심을 통과하는 축에 대해 계산해야 합니다.명시적으로 z${displaystyle$ z$\}$에 따라 하중이 가해지는 x${displaystyle$ x$}$에 $따라{\displaystyle }$ 축이 향하는 빔의 경우 빔의 단면은 $y{\displaystyle }$ $\displaystyle yz$평면에 있으며 해당 영역의 두 번째 모멘트는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle I=\int z^{2}\;dy\;dz,}$

여기서 단면의 중심은 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ y$=z=0$에서 발생한다고 가정한다.

종종 ${\displaystyle \mathrm{제품}}$ $EI($굴곡 강성이라고 함)$$는 일정하기 때문에

${\displaystyle EI{\frac{mathrm {d}^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}=q(x).\,}$

균일한 정적 빔의 편향을 설명하는 이 방정식은 엔지니어링 실무에서 널리 사용됩니다.일반적인 빔 구성에 대한 $휘어짐{\displaystyle }$(\$display$ style w$)$에 대한 표식은 엔지니어링 핸드북에서 찾을 수 있습니다.좀 더 복잡한 상황에서는 "직접적분", "맥컬리의 방법", "순간면적법", "공역빔법", "가상작업의 원리", "카스티글리아노법", "유연성법", "기울기 분포법"과 같은 기법을 사용하여 오일러-베르누이 방정식을 풀어서 편차를 결정할 수 있다.thod" 또는 "직접 강직법"을 참조하십시오.

다른 표기법이 ^[5]문헌에 기재되어 있기 때문에 여기서 부호 표기법이 정의되어 있습니다.이 문서에서는$x축$이 $오른쪽에$있고$z축$이 $위쪽$을 가리키며$y축$이 $그림$을 가리키도록 오른손 좌표계를 사용합니다.벤딩 $M$의 부호는 섹션 우측의 벤딩 모먼트와 관련된 토크 벡터가 $양$의$$y $방향$일 때 양의 값으로 간주됩니다. 즉$,$ M의 $양$의 값({$display style$M$})$이 하단 표면에 압축 응력을 생성합니다.${\displaystyle 이}$ 굴곡 모멘트 부호 규칙의 선택에서는 d M ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d}$x {\$displaystyle$$$$dM= Qdx$를 가지기 위해서는 모멘트의 정적 평형을 달성하기 위해 단면 우측에 작용하는 $전단력{\displaystyle }$Q {\$displaystyle$ Q$}$가$$z $방향$으로 양수여야 한다.하중 $q$($디스플레이{\displaystyle }$ 스타일$$q$)$가 양의 z($디스플레이 스타일$ z$)$ 방향에서$$ 양이면 힘의 평형을 ${\displaystyle \mathrm{위해}}$ d $=$ - ${\displaystyle q}$d x($디스플레이 스타일$ dQ=-$qdx)$가 필요합니다.

$편향{\displaystyle }$ w$\displaystyle$w의$$ 연속 도함수는 중요한 물리적 의미를 $갖습니다{\displaystyle }$.${\displaystyle d}$ ${\displaystyle w}$ / ${\displaystyle d}$x {\$displaystyle$ dw$/dx}$는 빔의 기울기이며, 이는 작은 변위 한계에서$y{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ y$}$ 축을$$ 중심으로 한 반시계방향 회전 각도입니다.

${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{display^{2}}}}$

빔의 휨 모멘트입니다.

${\displaystyle Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI {\frac {d^{2}w}{display^{2}}\right)}$

빔의 전단력입니다.

빔의 응력은 주어진 하중에 의한 편향이 결정된 후 위의 식에서 계산할 수 있습니다.

굽힘 방정식의 도출

엔지니어링에서 휨 모멘트 방정식의 근본적인 중요성 때문에, 우리는 짧은 도출을 제공할 것입니다.극좌표로 바꿉니다그림에서 중성축의 길이는 ${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle .}$。{ $displaystyle \rho$d\theta$$$$}중성축 아래의 $반경거리{\displaystyle }$z {$displaystyle$ z$}$의 파이버의 길이는${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ +${\displaystyle z}$ } $..\displaystyle (\rho +z)d\theta$ 입니다$$. 따라서 이 파이버의 변형률은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle {\frac +z-\rho \rho \rho \rho \rho } {\theta } = displayfrac {z} {\rho } ).}$

이 파이버의 응력은 E ${\displaystyle z{\displaystyle \frac{}{}}}$ ${\dfrac {z}{\rho$}}입니다. $여기$서$$E {\$displaystyle$ E$}$는 Hooke의 법칙에 따른 탄성 계수입니다.이 응력으로 인한 미분력 벡터 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$,$${\$displaystyle$ d$\mathbf {F}}$는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho}}}dA\mathbf {e_{x}}}$

이것은 그림에 표시된 섹션의 오른쪽에 작용하는 미분력 벡터입니다.그림에서는 하부의 파이버가 장력을 받고 있는 것을 알 수 있기 때문에 $(\$ $방향임$을 알 수 있습니다.${\displaystyle d}$ A$(\displaystyle dA)$는 파이버 위치에 있는 영역의 미분 요소입니다.${\displaystyle d\mathbf{}}$ F$(\$ d$\mathbf {F})$와 연관된$$ 차분 벤딩 모멘트 벡터 $(\$ d$\mathbf {M})$는 다음과 같습니다.

$\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}} {\rho }} dA.}$

이 식은 빔의 아래쪽 절반에 있는 섬유에 대해 유효합니다.빔의 상반부에 있는 파이버의 표현은 모멘트 암 $벡터$가 양의$$z\$displaystyle$z 방향이고$$ 상부 파이버가 압축 상태이기 때문에 힘 벡터가 $\displaystyle -x$ 방향이라는$$ 점을 제외하고는 유사합니다.그러나 결과${\displaystyle {}_{}{벤딩\mathbf{}}_{}{모멘트\mathbf{}}_{}}$ 벡터는 e ${\displaystyle z{\mathbf{}}_{}}$ × - ${\displaystyle e}$ x ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {e\mathbf{}}_{}}$.$$y . { $displaystyle$$$\ $mathbf${ $e$_ {$x } =$ - \ $mathbf${ $e$_ { $y }$ } $\}{\displaystyle }$$그래서$ 빔의 전체 단면에 $걸쳐서{\displaystyle \mathbf{}}$ \$mathbf$m .$}$ 빔의$$ 우측 단면에 가해지는 휨 모멘트 벡터 식

${\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E} {\rho}}}\int {z^{2}}\dA=-\mathbf {e_{y}} {f}}$

두 번째 순간은 디스플레이 스타일$I$은 이 영역의 두 번째 순간입니다.미적분학에서 알 수 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{있듯이}}{}}}$ d ${\displaystyle {\displaystyle \frac{w}{}}}$x ({$displaystyle {dw}{dx}})$가 작을 $때{\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$ 오일러-베르누이 빔의 경우 1 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\rho }{}}{\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ $({$ {$d^2}}}}}$을 만들 수 $있습니다{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$.ature. 그러므로,

${\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}$

이 벡터 방정식은 벤딩 단위 벡터 정의(${\displaystyle }${\$displaystyle$M$}$은$$y {\displaystyle \$mathbf$ {$e_{y}}})$ 및 벤딩 방정식에서 분리할 수 있습니다.

$(\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}).}$

동적 빔 방정식

동적 빔 방정식은 다음 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

${\displaystyle S=\int _{t_{2}}{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}\mu \left\frac {\frac w}{{\frac t}}\right}^2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial^{2}w}{\partial x^{2}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.}$

첫 번째 항은 운동 에너지를 나타냅니다. $여기$서$$μ {\$displaystyle$ $\mu}$는 단위 길이당 질량이고, 두 번째 항은 내부 힘에 의한 잠재적 에너지(부호로 간주되는 경우), 세 번째 항은 외부 $부하{\displaystyle }$q$(x$에 의한 잠재적 에너지를 나타냅니다.오일러-라그랑주 방정식은 $S$를 최소화하는 함수를 결정하기 위해 $사용$됩니다. 동적$$오일러-베르누이 빔의 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\cfrac ^{2}}\left(EI {\cfrac ^{2}w}\right)=-\mu(\cfrac ^{2}w}+q(x)입니다.}$

빔에 대한 오일러-라그랑주 방정식의 도출

라그랑지안은 ${\displaystyle {\mathcal {L}:=tfrac {1}{2}\mu \frac\frac {\frac w}{\fright}-{\tfrac {1}{2}}EI\left({\frac {{2}w}{\frac x^{2}}\오른쪽)^{2}+q(x,t)=tfrac {\dot {w}{2}-{\tfrac {EI}{2}{{2}}_{{{x}+w}{equ}{eq}{eq}}{cal}{cal}{cal}}{cal}}{cal}}}}}}$ 대응하는 오일러-라그랑주 방정식은 ${\displaystyle} {\frac {L} {\frac} - {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\partial {w}} {\frac} + {\frac ^{2}} {\frcal {\frac}$ 지금이다, ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\partial w}=q~~{\frac {\dot {w}}={\mu {w}~{\frac {\mathcal {L}}}={\frac {\partial w}~{\partial w}}~{\frac {\frcal {\mathcal {\mathcal {\x}}}={{{\cal {\cal {\cal {\cal {\cal {\}}}}}}$ 오일러-라그랑주 방정식에 연결하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다. ${\displaystyle q-\mu {w}}-(EIW_{xx})_{x}=0}$ 또는, ${\displaystyle {\cfrac ^{2}} \left(EI {\cfrac {{2}w} {\cfrac x^{2}} \right)=-\mu {\cfrac {{2}w} {\cfrac t^{2}} +q}$ 이것은 오일러-베르누이 빔의 역학에 대한 지배 방정식이다.

빔이 균일한 경우 E$(\displaystyle$ E$)$와 I$(\displaystyle$ I$)$는 x$(\displaystyle$ x$)$와는 독립적이며 빔 방정식이 더 단순합니다.

$\displaystyle EI {\cfrac ^{4}w}=-\mu(\cfrac ^{2}w){\cfrac t^{2}}+q,}$

자유 진동

횡하중이 없는 $경우{\displaystyle }$ q$\displaystyle$q는 자유진동방정식이 있습니다.이 방정식은 형태의 조화 진동 합계에 대한 변위의 푸리에 분해를 사용하여 풀 수 있다.

${\displaystyle w(x,t)=text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\obega t}}}$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \obega)$는 진동 주파수입니다.그러면 주파수의 각 값에 대해, 우리는 상미분 방정식을 풀 수 있다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}} {\mathrm {d} x^{4}}-\mu \mega ^{2}{\hat {w}}=0,}$

위의 방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

${\displaystyle {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\sin(\beta {with}\synams:=\leftfac\frac(\mu \Omega ^{2}}){EI}}\right)^{1/4}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 A1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {A3\mathrm{}}_{}}$ $({$는 상수입니다.이러한 상수는 주어진 경계 조건 집합에 대해 고유합니다.그러나 변위 솔루션은 고유하지 않고 주파수에 따라 달라집니다.이러한 솔루션은 일반적으로 다음과 같이 기술됩니다.

${\displaystyle {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta_{n}x)+A_{2}\sinh(\beta_{n}x)+A_{3}\cos(\beta_{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {text {with}\quad \beta _{n}:=\leftfrac\frac {mu \mega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4},}$

${\displaystyle {\delta }_{}}$n(\$displaystyle \obega$ _${n})$의 양을 빔의 고유 주파수라고 합니다.각각의 변위해를 모드라고 하고, 변위곡선의 형상을 모드형이라고 합니다.

예: 캔틸레버 보

$L$의 ${\displaystyle \mathrm{캔틸레버}}$$$빔(x ${\displaystyle =}$0 {$displaystyle$ x$=0$의 경우)의 경계 조건은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {displaystyle {w}_{n}=0~,~{\frac {displayhat {w}_{n}}={n}}=0\frac {text{at}~x=0\&{\frac {d^2}=0~{w}}~{d}}}{frac}}{frac}=0~{d}}}{d}}}{frac}{frac}}}}}}{frac}}}}}{0~{w}}}}}}}}}}}}\end { aligned}}$

이러한 조건을 적용하면 ${\displaystyle \cosh }$θ (${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {}_{}}$L ) cos${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$n${\displaystyle \mathrm{L}}$ ) + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle =}$0 . \ displaystyle \$cosh$( \ $display$style _ { $n$} $L$) , \ $cos$( \ $cos$ ( \ $displaystyle$ _ { $n$} $L$) + 1$$=$$0 , } } 인 경우에만 비결정 솔루션이 존재하는 것이 확인됩니다$.$$$ 이 비선형 방정식은 수치로 풀 수 있다.$첫{\displaystyle {}_{}}$ 번째 4개의 루트는 ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle =\mathrm{}}$0.${\displaystyle 596864}$ { $displaystyle$ $\$$displaystyle _$ {1} $L =$ 0.$596864\pi$}, ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle =\mathrm{}}$1.${\displaystyle 49418}$ $†$ {2$} L = 1.49418\pi$}, ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$L $π$${\displaystyle {}_{\mathrm{}}\mathrm{}}$ \$display$style $\display$ style \display style입니다.

해당하는 고유 진동수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mega _{1}=\display_{1}^{2}{\displayrt {EI}{\mu }}=displayfrac {3.5160}{L^{2}}{\sqrt {Frac {EI}{\mu }}~,~\dots}$

경계 조건을 사용하여 용액의 변위 모드 모양을 결정할 수도 있습니다.

${\displaystyle {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cos \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {cos \beta _{n}L+\cos \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}}}L}{\sin\beta _{n}}}{\beta \beta _{x}}}}$

${\displaystyle {알\mathrm{}}_{}}$ 수 없는 상수(실제로 각 $n{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$}$에 대해$$1 {\$displaystyle$$A_{1$$}})$는 일반적으로 복잡하지만 빔의 속도 및 변위에 대한 $초기{\displaystyle }$ 조건에 따라 ${\displaystyle \mathrm{결정}}$됩니다$.$일반적으로 모드 모양을 그릴 ${\displaystyle \mathrm{때}}$A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $=$ 1(\$displaystyle A_{1$}=1$})$의 값이 사용됩니다.증폭되지 않은 강제 문제에 대한 해결책은 구동 주파수가 고유 주파수 ${\displaystyle {\delta }_{}}$n(\$displaystyle \obega$ _${n$과 일치할 때, 즉 빔이 공진할 수 있을 때 무제한 변위를 가집니다.따라서 빔의 고유 주파수는 공명이 발생할 수 있는 주파수와 일치합니다.

예: 프리 프리(지원되지 않음) 빔

자유 빔은 ^[6]지지대가 없는 빔입니다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {$style$ x$=0}$ ~ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ x$=L}$까지의 자유 $길이{\displaystyle }$L({$displaystyle$ L$})$의 경계 조건은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\hat {w}_{n}}=0~,~{\hat {d^3}{\hat {w}_{n}}=0\hat {at}~x=0,x{and},x=L,}$

이러한 조건을 적용하면 다음과 같은 경우에만 중요하지 않은 솔루션이 존재하는 것으로 확인됩니다.

$\displaystyle \cosh(\displaystyle _{n}L),\cos(\beta _{n}L)-1=0,}$

이 비선형 방정식은 수치로 풀 수 있다.첫 번째 4개의 루트는 ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ $=$1.$50562$L $π$= 1.$50562 \pi$$\}$ , ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ L ${\displaystyle =2}$.$49975 {\$ {$2}$L$$= 2.$49975{\displaystyle {}_{}}$ \$pi$} , ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$3 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ 3.${\displaystyle 1962}$$$\pi ${\displaystyle \pi }$ $style$ style = { 3 L $style$ stylestyle $style$ \ 3 stylestyle = 3$$style style \3 style3 π3 π3 π3 π3 π3 π3 π3 π3 π3 $\pi 3{\displaystyle {}_{}}$ π3 the3 π3 the the

해당하는 고유 진동수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {1}=\displaystyle _{1}^{2}{\frac {EI}{\mu }}=sqrt {22.3733}{L^{2}}{\sqrt {EI}{\mu}}}~,~\displayrt}$

경계 조건을 사용하여 용액의 변위 모드 모양을 결정할 수도 있습니다.

${\displaystyle {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin\beta}_{n}\beta}\beta {\beta}_{\beta}-{\beta}Bigr ]}}:$

캔틸레버 빔과 마찬가지로 알 수 없는 상수는 빔의 속도 및 변위에 대한 초기 조건 t$$ ${\displaystyle 0}$({$displaystyle$ t$=0})$에 $따라{\displaystyle }$ 결정됩니다.또한, 비감쇠 강제 문제에 대한 해결책은 구동 주파수가 고유 주파수 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ n$(\$ _${n$와 일치할 때 무제한 변위를 가진다.

스트레스

편향 외에도 빔 방정식은 힘과 모멘트를 기술하므로 응력을 기술하는 데 사용할 수 있습니다.이러한 이유로, 오일러-베르누이 빔 방정식은 엔지니어링, 특히 토목 및 기계에서 굽힘 상태의 빔의 강도(및 편향)를 결정하기 위해 널리 사용됩니다.

굴곡 모멘트와 전단력 모두 빔에 응력을 발생시킵니다.전단력에 의한 응력은 빔의 중성축을 따라 최대이며(빔의 폭 t가 빔의 단면을 따라 일정할 때, 그렇지 않을 경우 첫 번째 모멘트와 빔의 폭을 포함하는 적분을 특정 단면에 대해 평가할 필요가 있음), 최대 인장 응력은 상단 또는 하단 서에 있다.따라서 빔의 최대 주응력은 표면이나 중심에서가 아니라 일부 일반적인 영역에서일 수 있다.그러나 전단력 응력은 가장 작은 빔을 제외한 모든 빔의 굽힘 모멘트 응력에 비해 무시할 수 있을 뿐만 아니라 응력 집중이 일반적으로 표면에서 발생한다는 사실, 즉 빔의 최대 응력이 표면에 있을 가능성이 높다는 것을 의미한다.

단순 또는 대칭 벤딩

중성면에 수직인 평면을 중심으로 대칭인 빔 단면의 경우 빔에 의해 발생하는 인장응력은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle\mathrm {Mz}{I}}=-zE~{\frac {mathrm {d}^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}},},$

여기서$$z {$displaystyle$ z$}$는 중립축에서 관심 지점까지의 $거리$이고$$M {$displaystyle$ M$}$은 굽힘 모멘트입니다.이 방정식은 (양수 부호의) 순수 굽힘이 중성축에 0의 응력, 빔의 "상단"에 양의 응력, 빔 하단의 음의 응력을 발생시킨다는 것을 의미하며, 또한 최대 응력이 상단의 표면에 있고 하단의 최소가 된다는 것을 의미합니다.이 굽힘 응력은 축방향으로 가해지는 응력으로 중첩될 수 있으며, 이로 인해 중립(영점 응력) 축의 이동이 발생합니다.

단면에서의 최대 응력

단면의 최대 인장 응력은 z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {{$displaystyle$ z$=$$c_{1}}$ $위치$에 있고 최대 압축 응력은 z$$${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2({$displaystyle$ z=-$c_{2}})$ $위치$에 있으며, ${\displaystyle {단면}_{}}$의 높이는 ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1 + ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2$({$입니다.이러한 스트레스는

${\displaystyle_{1}=mc_{1}}{I}}=cfrac {M}{S_{1}}~;~\sigma_{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}$

$수량{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle S_{1}, S_{2})$는 섹션 모듈리이며^[5] 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle S_{1}=cfrac {I}{c_{1}}~;~S_{2}=cfrac {I}{c_{2}}}}$

단면 계수는 빔의 단면에 대한 모든 중요한 기하학적 정보를 하나의 양으로 결합합니다.빔이 이중 대칭인 경우, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$2 ({$displaystyle c_{1$}=$c_{2})$이며, 단면 $계수{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle I}$ /$$c ({$displaystyle$ S$=I/c$가 1개 있습니다.

오일러-베르누이 빔의 변형률

우리는 오일러-베르누이 빔의 응력을 편향과 관련짓기 위해 중립 표면의 편향 측면에서 변형률에 대한 표현이 필요하다.이 식을 얻기 위해 우리는 변형 중에 중성 표면에 대한 규범이 정상으로 유지되고 편향이 작다는 가정을 사용한다.이러한 가정은 빔이 반경 $(\displaystyle\rho)$의 원호(그림 1 참조)로 구부러지고 변형 ^[5]시 중성면의 길이가 변경되지 않음을 의미합니다.

${\displaystyle d}$x {\$displaystyle \mathrm {d}$ x$}$를 변형되지 않은 상태의 중성 표면 요소의 길이라고 $합니다{\displaystyle \mathrm{}}$.작은 굴절의 경우 요소는 벤딩 후 길이가 변경되지 않고 반지름$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle$ $\rho$ 원의 호로 변형됩니다.d ${\$ { displaystyle \$mathrm {d$} \${\displaystyle \text{theta}\mathrm{}}$$}$가 이 호로 접선된 각도인 $경우{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ $=$ d ${\$ { $displaystyle \mathrm$ {$d}$ x\$rho$ } \$ta$} \$ta$ } {d} ~ {\ta$}$입니다.

이제 중립 표면 위 거리$z{\displaystyle }$\$displaystyle$z에$$ 있는 요소의 또 다른 세그먼트를 살펴보겠습니다.이 요소의 초기 길이는 d ${\displaystyle x}${\$displaystyle \mathrm {d}$x$\}$입니다. 단, 벤딩 후 요소의 ${\displaystyle 길이}$는 d x${\displaystyle {}^{}=}$ (${\displaystyle \theta }$- ${\displaystyle \text{z}\mathrm{}}$ ) d ${\displaystyle x}$ d ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$ = ${\$ \ $displaystyle \mathrm {d'$ ~ $\rmathrm {d}$ \ta $-z$} xrm {$d}$ {$x}$가 $됩니다{\displaystyle \mathrm{}}$.

${\displaystyle \varepsilon _{x}=\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}=-{\mathrm {d} x}=-\kappa ~z}$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \kappa)$는 빔의 곡률입니다.이것은 중성 표면으로부터의 거리의 함수로 빔의 축방향 변형률을 제공합니다.단, 곡률반경과 빔 $편향$의 관계를 $찾아야$ 합니다$.wisplaystyle$w에서 찾을 필요가 있습니다.

곡률과 빔 편향의 관계

P를${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle z}$) \ $displaystyle ($ x ,$$z ) \ displaystyle ( x , z ) 좌표계$$ 원점에서$x{\displaystyle }$ \ $displaystyle$ ($$x$$ , z ) 거리에 있는 빔의 중립 표면상의 점이라고 합니다.빔의 기울기는 빔 이론에서 발생하는 작은 각도에 대해$x축{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ x$}$ -축이$$ 있는 중립 표면에 의해 만들어진 각도와 거의 동일합니다.따라서 이 근사치를 사용하여

${\displaystyle \theta (x)=sysac {mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}$

따라서 무한소수 $요소{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$x {\$displaystyle$$$\$mathrm {d} x$의 경우 ${\displaystyle d}$ x $=$ ${\displaystyle d}$ d$${\ {\$displaystyle$ \$mathrm {d}$ x=\$rho ~\mathrm {d}$ \$theta }$의 $관계$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {1}{\rho } = paramac {mathrm {d} \theta } {\mathrm {d} x} = paramac {mathrm {d} w} {\mathrm {d} x^{2} =\kappa }$

따라서 빔의 변형률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }$

스트레스-왜곡관계

균질 등방성 선형 탄성 재료의 경우 응력은 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle =}$ E ${\$ {$style \display$=$E\varepsilon$의 스트레인과 관련되며$,$ $여기$서 E {$displaystyle$ E$}$는 영 계수이다.따라서 오일러-베르누이 빔의 응력은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle _{x}=-zE{\cfrac {mathrm {d}^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}$

상기 관계는 축 응력과 휨 모멘트 사이의 관계와 비교할 때 다음과 같이 유도됩니다.

${\displaystyle M=-EI{\cfrac{mathrm {d}^{2}w}{\mathrm {d}x^{2}}}}$

전단력은 Q $=$ ${\displaystyle d}$M / ${\displaystyle d}$x {\$displaystyle$ Q=\$mathrm {d} M/\mathrm {d} x$에 의해 주어지기 때문에, 우리는 또한

${\displaystyle Q=-EI{\cfrac {mathrm {d}^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

경계 고려 사항

빔 방정식은 x$(\displaystyle$ x$)$에 4차 도함수를 포함합니다${\displaystyle .}$ (${\displaystyle x,}$ $)$ {\$displaystyle w(x$, t$)}$의 고유한 $솔루션$을 찾으려면 4가지 경계 조건이 필요합니다.경계 조건은 일반적으로 지지대를 모델링하지만 점 하중, 분산 하중 및 모멘트를 모델링할 수도 있습니다.지지 또는 변위 경계 조건은 경계에서 변위 값( $\displaystyle$w )$$및 회전 값( ${\displaystyle d}$ w${\displaystyle }$/ ${\displaystyle d}$x \ $displaystyle$\ $mathrm${ d}$w/\ mathrm {d} x$)을 고정하기 위해 사용됩니다.이러한 경계 조건을 디리클레 경계 조건이라고도 합니다.하중 및 모멘트 경계 조건은 w$\displaystyle$의 더 높은 도함수를 포함하며 운동량 플럭스를 나타냅니다.플럭스 경계 조건을 노이만 경계 조건이라고도 합니다.

예를 들어, 인접한 그림에 표시된 것처럼 한쪽 끝에는 내장되어 있고 다른 한쪽 끝에는 프리한 캔틸레버 빔을 고려합니다.빔의 내장 끝에는 빔의 변위 또는 회전이 있을 수 없습니다.즉, 왼쪽 끝에서는 편향과 기울기가 모두 0입니다.빔의 자유단에는 외부 벤딩 모멘트가 적용되지 않으므로 해당 위치의 벤딩 모멘트는 0입니다.또한 빔에 외력이 가해지지 않으면 자유단 전단력도 0이 된다.

왼쪽 $끝$의 x$(\displaystyle$ x$)$ 좌표를$$ 0$(\$$displaystyle$ 0$)$$$으로, 오른쪽 끝의 L$(빔$ 길이)로 하면, 이러한 문장은 다음과 같은 경계 조건 세트로 변환됩니다(${\displaystyle E}$ I$\displaystyle$EI가$$ 상수라고 가정).

$({displaystyle w _{x=0}=0\display;\display {frac w}{\digg x}}_{x=0}=0\qquad {{{mbox}}}},}$

캔틸레버 빔.

${\displaystyle {\frac ^{2}{\frac x^{2}}_{x=L}=0\quad;\frac {\frac x^{3}}{\bigg }_{x=0\qad {\free},$

단순 지지체(핀 또는 롤러)는 빔의 위치를 고정하도록 조정되는 빔에 대한 점력과 동등하다.고정 지지대 또는 클램프는 점력과 점토크의 조합에 상당하며, 점토크는 빔의 위치와 기울기를 모두 고정하도록 조정된다.점력과 토크는 지지대로부터 또는 직접 가해지는 것에 관계없이 빔을 세그먼트 세트로 분할하고, 빔 방정식은 세그먼트의 양 끝에 있는 4개의 경계 조건에서 연속적인 솔루션을 생성합니다.제품 EI를 상수라고 가정하고, f =${\displaystyle F}$ / ${\displaystyle \mathrm{EI}}$ $\$ $displaystyle \ da displayda =$ $F /$$$${\displaystyle \mathrm{EI}}$를 정의하며, $m = M$은 점 토크의 크기인 경우에 따라서는 경계 조건이 적절하다.x가 증가함에 따라 경계를 가로지르는 w의 특정 도함수의 변화는$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Delta)$에 이어 해당 도함수로 표시됩니다.예를 들어, ${\displaystyle {}^{}}$ w w$=$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (}$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$+ ) - ${\displaystyle w（}$x -$$) \ $display$$style$ \ $Delta$ w$'=w'(x$ + ) - $w'$ ($x$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle {。}^{}}여기$서 w${\displaystyle }$" (${\displaystyle x}$ +$$)는 상위 세그먼트의 하위에 있는 w $"\$ $displaystyle$ w$"$ ($x$$$${\displaystyle +}$ )의 값입니다$.$$$ 아래쪽 세그먼트의 위쪽 경계에 있습니다.특정 도함수의 값이 경계에 걸쳐 연속적일 뿐만 아니라 고정될 경우, 경계 조건은 ${\displaystyle {}^{}}$ w$=$ 0$$ (\$displaystyle \Delta$ w'=$0^{*})$로 기록되며, 이는 실제로 두 개의 개별 방정식(예: $w{\displaystyle {}^{}}$δ (${\displaystyle x}$- )$=$ ($x$)-$style)$로 구성됩니다.

경계	$(\displaystyle w''')$	$(\displaystyle w\')$	${\displaystyle w`}$	${\displaystyle w}$
클램프			$(\displaystyle \Delta w'=0^{*}$	$\displaystyle \Delta w=0^{*}$
심플한 지원		$\displaystyle \Delta w'=0'$	$(\displaystyle\Delta w'=0)$	$\displaystyle \Delta w=0^{*}$
점력	$\displaystyle \Delta w''=\displayda}$	$\displaystyle \Delta w'=0'$	$(\displaystyle\Delta w'=0)$	$\displaystyle \Delta w=0}$
포인트 토크	$\displaystyle \Delta w''=0'$	$\displaystyle \Delta w'=\displays }$	$(\displaystyle\Delta w'=0)$	$\displaystyle \Delta w=0}$
프리엔드	${\displaystyle w''=0}$	${\displaystyle w`=0}$
끝의 클램프			$(\$ w$')$ ${\displaystyle {\mathrm{고정}}^{}}$	$display style$w는$$ 고정되어 $.$
단순 지원 종료		${\displaystyle w`=0}$		$display style$w는$$ 고정되어 $.$
끝의 점력	$\displaystyle w''=\pm \displayda}$	${\displaystyle w`=0}$
끝의 포인트 토크	${\displaystyle w''=0}$	$\displaystyle w"=\pm \displays }$

점의 힘과 토크가 두 세그먼트 사이에 있는 첫 번째 경우에는 하한 세그먼트에 대해 2개, 상한 세그먼트에 대해 2개 등 4개의 경계 조건이 4개의 경계 조건이 있습니다.빔의 한쪽 끝에 힘과 토크를 가하면 그 끝에 적용되는 두 가지 경계 조건이 주어진다.끝단에서의 점력 및 토크의 부호는 하단에는 양, 상단에는 음이 됩니다.

로드 고려 사항

적용된 하중은 경계 조건 또는 외부 분산 하중을 나타내는 $함수q{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle t}$) {$displaystyle$q ($x$ , $t$)} 를$$ 통해 나타낼 수 있습니다.분산 하중을 사용하는 것은 단순성을 위해 종종 유리합니다.그러나 경계 조건은 상황에 따라 하중을 모델링하는 데 자주 사용된다. 이 방법은 진동 분석에서 특히 일반적이다.

실제로는 부하가 일반적으로 연속 함수가 아니기 때문에 분산 부하가 분할 방식으로 나타나는 경우가 매우 많습니다.포인트 하중은 Dirac 델타 기능을 사용하여 모델링할 수 있습니다.예를 들어, $자유단$에 상향 점 $하중{\displaystyle }$F(\$display$ style F$)$가 적용된 길이$$L(\$displaystyle$ L$)$의 정적 균일 캔틸레버 빔을 생각해 보겠습니다.경계 조건을 사용하여 두 가지 방법으로 모델링할 수 있습니다.제1접근법에서는 프리엔드에 가해지는 전단력에 의해 가해지는 점하중을 근사한다.이 경우 지배방정식과 경계조건은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일EI{\frac {mathrm {d}^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\&w _{x=0}=0\big;\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} x} {\bigg } _ {x= 0\big;\frac {mathrm {d} w ^{2} w} {\mathrm {d} {x} {\big} {g}$

또는 Dirac 함수를 사용하여 포인트 하중을 분포로 나타낼 수 있습니다.이 경우 방정식과 경계 조건은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일EI {\frac {mathrm {d} ^{4} w {\mathrm {d} x^{4}} = F\delta (x-L) \\w _ {x= 0\delta ;\frac {mathrm {d} w} {\bigrm {d} {x} = {x0\d}$

전단력 경계 조건(제3 도함수)이 제거되면 모순이 발생한다.이것들은 동등한 경계값의 문제이며, 둘 다 해결책을 제시합니다.

${\displaystyle w=flac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3}),~.}$

서로 다른 위치에 여러 개의 포인트 하중을 적용하면 w${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ w$(x)}$가 부분적 함수가 $됩니다{\displaystyle }$.Dirac 함수를 사용하면 이러한 상황이 크게 간소화됩니다. 그렇지 않으면 빔이 4개의 경계 조건을 개별적으로 해결하는 섹션으로 분할되어야 합니다.특이함수라고 불리는 잘 정리된 함수군은 종종 디랙 함수, 그 도함수 및 그 반파생 함수의 약어로 사용됩니다.

하중 분포의 적절한 형태를 선택하여 정적 빔 방정식을 사용하여 동적 현상을 모델링할 수도 있습니다.예를 들어, 빔의 자유 진동은 하중 함수를 사용하여 설명할 수 있습니다.

${\displaystyle q(x,t)=\mu {frac ^{2}w {\display t^{2}},$

$여기$서$$μ {\$displaystyle \mu}$는 빔의 선형 질량 밀도이며 반드시 상수는 아닙니다.이 시간에 의존하는 부하를 사용하는 경우 빔 방정식은 편미분 방정식이 됩니다.

${\displaystyle {\frac ^{2}} {\frac x^{2} w} {\frac x^{2}\right} =-\mu {\frac {{2}w} {\frac t^{2}}}.}$

또 다른 흥미로운 예는 일정한 각도 주파수$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \omega$로 회전하는 빔의 편향에 대해 설명합니다.

${\displaystyle q(x)=\mu \obega ^{2}w(x)}$

이것은 구심력 분포입니다.이 경우 q$\displaystyle$는 변위(의존 변수)의 함수이며 빔 방정식은 자율 상미분 방정식이 됩니다.

예

3점 벤딩

3점 굽힘 테스트는 역학의 고전적인 실험입니다.이는 두 개의 롤러 지지대에 빔이 놓여 있고 빔 중간에 집중 하중이 가해지는 경우를 나타냅니다.전단부는 절대값이 일정합니다. 중심 하중 P/2의 절반입니다.빔의 중간에서 부호가 바뀝니다.휨 모멘트는 0인 한쪽 끝에서 선형으로 변화하며, 절대값이 PL / 4인 중심은 파열 위험이 가장 중요한 지점이다.빔의 변형은 하프 빔(나머지 절반은 대칭임)에 걸쳐 3차 다항식으로 설명됩니다.중심점 하중 및 비대칭점 하중을 받는 빔의 굽힘 모멘트(${\displaystyle }$\$displaystyle$M $$\), 전단력(${\displaystyle }$\$displaystyle$Q $$) 및 편향$(\displaystyle$ w$)$은 ^[5]아래 표에 나와 있습니다.

분배	최대값
중심 부하가 있는 단순 지지 빔
${\displaystyle M(x)=begin{case}{\frac {Px}{2}},&{\mbox{\leq {}{tfrac {L}{2}},&{\mbox{frac {P(L-x)}}{\frac {\frac}{L}}{\leq}}{\frac {\frac}}{\frcase}}}}}}$	${\displaystyle M_{L/2}=tfrac {PL}{4}}$
$({displaystyle Q(x)=begin{case}{\frac {P}{2}},&{\mbox{\leq {}}\leq {tfrac {L}{2}},&{\mbox{-P}{\tfrac {L}{2}})$	${\displaystyle Q_{0} = Q_{L} = tfrac {P}{2}}$
${\displaystyle w(x)=case{case}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2}}}{48EI}},&{\mbox{}0\leq x\leq {tfrac {L}{2}\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2}}}{48}EI}}},&{\mbox{}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end {case}}$	${\displaystyle w_{L/2}={PL^{3}}}{48EI}}}$
비대칭 하중을 가진 단순 지지 빔
${\displaystyle M(x)=begin{case}{\tfrac {Pbx}{L}},&{\mbox{}}\leq a\{\tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)=bfrac {Pa(L-x)}{L}, {\mbox},$	${\displaystyle M_{B}=tfrac {Pab}{L}}}$
${\displaystyle Q(x)=begin{case}{\tfrac {Pb}{L}}}},&{\mbox{\leq}a\leq {Pb}{L}}-P,&{\mbox{x\leQ L\end}}case$	$\displaystyle Q_{A}=440tfrac {Pb}{L}}}$ ${\displaystyle Q_{C}=420tfrac {Pa}{L}}}$
${\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2}}}{6}LEI}},&0\leq x\leq a\{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2}}}{6}LEI}}+{\tfrac {P(x-a)^{3}}}{6EI}},&a <x\leq L\end {case}}$	${\displaystyle w_{\mathrm {max} = tfrac {{\sqrt {3}}Pb(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}}{27}LEI}}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{L\mathrm{}}^{}}{}}}$2 - ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$ ({$displaystyle$ x$=svrt {tfrac$ {$L^{2}-b^{3}})에서$

캔틸레버 보

캔틸레버 빔에 관련된 또 다른 중요한 문제 유형은 다음과 같습니다.자유단에 점하중이 가해지고 균일한 하중이 가해지는 캔틸레버 빔의 굽힘 모멘트($M$\$displaystyle$ M $\),$ 전단력(${\displaystyle }$ $$$\displaystyle$ Q )$$및 편향$($ \$displaystyle$w$$)은 ^[5]아래 표에 나와 있습니다.

분배	최대값
끝 하중이 있는 캔틸레버 보
${\displaystyle M(x)=P(L-x)}$	${\displaystyle M_{A}=PL}$
${\displaystyle Q(x)=P}$	${\displaystyle Q_{\mathrm {max}}=P}$
${\displaystyle w(x)=420tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}}$	${\displaystyle w_{C}=tfrac {PL^{3}}}{3EI}}}$
하중이 균일하게 분포된 캔틸레버 보
${\displaystyle M(x)=-{\tfrac {q(L^{2}-2Lx+x^{2}}}{2}}$	$({displaystyle M_{A}=tfrac {qL^{2}}{2}})$
${\displaystyle Q(x)=q(L-x),}$	${\displaystyle Q_{A}=qL}$
${\displaystyle w(x)=sqtfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}}$	${\displaystyle w_{C}=tfrac {qL^{4}}{8EI}}}$

일반적으로 사용되는 몇 가지 구성에 대한 솔루션은 재료 및 엔지니어링 핸드북에 관한 교과서에서 쉽게 구할 수 있습니다.

정적으로 불확정 빔

오일러-베르누이 빔의 휨 모멘트와 전단력은 종종 힘과 모멘트의 정적 균형을 사용하여 직접 결정할 수 있다.그러나, 특정 경계 조건의 경우, 반응의 수는 독립적인 ^[5]평형 방정식의 수를 초과할 수 있다.이러한 빔을 정적 불확정 빔이라고 합니다.

아래 그림에 표시된 내장 빔은 정적으로 불확정입니다.그러한 빔의 응력과 편향을 결정하기 위해, 가장 직접적인 방법은 적절한 경계 조건으로 오일러-베르누이 빔 방정식을 푸는 것이다.그러나 빔 방정식의 직접 해석 해법은 가장 단순한 경우에만 가능합니다.따라서 선형 중첩과 같은 추가 기법이 정적으로 결정되지 않은 빔 문제를 해결하기 위해 종종 사용됩니다.

중첩 방법은 개별 문제의 합계에 대한 경계 조건이 원래 문제의 경계 조건과 합해지도록 선택된 여러 정적으로 결정되는 문제의 해결책을 추가하는 것을 포함한다.

(a) 균일 분포 하중 q.	(b) 최대0 Q의 선형 분포 하중
${\displaystyle M_{\mathrm {max}} =glac {qL^{2}} {12}~;~w_{\mathrm {max}} =glac {qL^{4}} {384}EI}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {max}} =glac {qL^{2}} {300}} [3{\sqrt {30}-10}~;~w_{\mathrm {max}}} =glac {qL^{4}} {2500}EI}} [75-7{\sqrt {105}}]$
(c) 집중 부하 P	(d) 모멘트0 M

일반적으로 볼 수 있는 정적 불확정 빔의 또 다른 문제는 자유단이 ^[5]롤러로 지지되는 캔틸레버 빔입니다.이러한 빔의 굽힘 모멘트, 전단력 및 편향은 다음과 같습니다.

분배	최대값
$({displaystyle M(x)=-{\tfrac {q}{8}}(L^{2}-5Lx+4x^{2})})$	$디스플레이 스타일M_{B}&=-{\tfrac {9qL^{2}}{128}{\mbox{ at }}x=440tfrac {5}L}{8}\M_{A}&=sqL^{2}}{8}\end{aligned}}$
${\displaystyle Q(x)=-{\tfrac {q}{8}}(8x-5L)}$	${\displaystyle Q_{A}=-{\tfrac {5qL}{8}}}$
${\displaystyle w(x)=tfrac {qx^{2}}{48EI}}(3L^{2}-5Lx+2x^{2})}$	${\displaystyle w_{\mathrm {max}}=tfrac {(39+55grt {339}}}}{65,536)}{\tfrac {qL^{4}}{EI}}{\mbox{ at }}x = spectfrac {15-{\pecrt {3}}{16}}L}$

내선번호

오일러-베르누이 빔 이론의 기초가 되는 운동학적 가정은 그것을 더 발전된 분석으로 확장할 수 있게 해준다.단순한 중첩으로 3차원 횡하중을 허용합니다.대체 구성 방정식을 사용하면 점탄성 또는 플라스틱 빔 변형이 발생할 수 있습니다.오일러-베르누이 빔 이론은 곡선 빔, 빔 좌굴, 복합 빔 및 기하학적 비선형 빔 편향의 분석으로도 확장될 수 있습니다.

오일러-베르누이 빔 이론은 횡전단 변형률의 영향을 설명하지 않는다.그 결과, 편향을 과소 예측하고 고유 주파수를 초과 예측합니다.얇은 빔(빔 길이 대 두께 비율 20 이상)의 경우 이러한 효과는 그다지 중요하지 않습니다.그러나 두꺼운 보의 경우 이러한 효과가 유의할 수 있습니다.이러한 효과를 설명하기 위해 티모셴코 빔 이론(러시아 태생의 과학자 스테판 티모셴코에 의해 개발된)과 같은 보다 진보된 빔 이론이 개발되었습니다.

큰 디플렉스

원래의 오일러-베르누이 이론은 아주 작은 변형과 작은 회전에만 유효하다.이 이론은 폰 ^[7]카만 균주를 사용하여 변형률이 작은 상태로 유지된다면 비교적 큰 회전을 수반하는 문제로 쉽게 확장될 수 있다.

그 Euler–Bernoulli 형태의 변위 빔은 납의 축에 그 비행기 부분 남아 있고 정상적인 hypotheses.

${\displaystyle u_{1}())-z{\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{\mathrm{d}x}}일;~~u_{2}=0~, ~~u_ᆰ=w_ᆱ())}.$

유한 변형률 이론에서 Lagrangian 그린 스트레인의 정의 사용하면 빔에 큰 회전지만 작은 유형을 위해 타당하다는 것은 폰 카르만 변종을 찾을 수 있다.이 변종은 형태를 띤다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\varepsilon _{11}&, ={\cfrac{\mathrm{d}u_{0}}{dx}}-z{\cfrac{\mathrm{d}^{2}w_{0}}{\mathrm{d}x^{2}}}+{\frac{1}{2}}\left[\left({\cfrac{\mathrm{d}u_{0}}{\mathrm{d}x}}-z{\cfrac{\mathrm{d}^{2}w_{0}}{\mathrm{d}x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{\mathrm{d}x}}\right)^{2}\right]\.\\varepsilon _{22}&, =0\\\varepsilon _{33}&, ={\frac{1}{2}}\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{{d}x}}\mathrm \right)^{2}\\\varepsilon _{23}&, =0\\\varepsilon _{31일}&, ={\frac{1}{2}}\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{{d}x}}\mathrm-{\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{\mathrm{d}x}}\right)-{\frac{1}{2}}\left는 경우에는 \left({\cfrac{\mathrm{d}u_{0}}{\mathr.m{d}x}}-z{\cfrAc{\mathrm{d}^{2}w_{0}}{\mathrm{d}x^{2}}}\right)\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{{d}x}}\mathrm \right)\right]\.\\varepsilon _{12}&, =0\end{정렬}}}$

이 가상의 원리부터의 기둥이 힘과 모멘트의 균형은 미국은 균형 방정식을 준다.

$x{\displaystyle{\begin{정렬}{\cfrac{\mathrm{d}N_{xx}}{\mathrm{d}}}+f())&, =0\\{\cfrac{\mathrm{d}^{2}M_{xx}}{\mathrm{d}x^{2}}}+q())+{\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left(N_{xx}{\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{\mathrm{d}x}}\right)&, =0\end{정렬}}}.$

어디 f()){\displaystyle f())}은 축 방향 하중,q()){\displaystyle q())}은 횡방향 하중.

$A~{d}{\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm, ~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm{d}}.$

방정식 시스템을 닫으려면 응력과 변형(따라서 응력과 변위)을 관련짓는 구성 방정식이 필요합니다.큰 회전과 작은 균주의 경우 이러한 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}N_{xx}&.=A_ᆩ\left[{\cfrac{\mathrm{d}u_{0}}{dx}}와{\frac{1}{2}}\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{\mathrm{d}x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac{\mathrm{d}^{2}w_{0}}{\mathrm{d}x^{2}}}\\M_{xx}&amp을 말한다.=B_{xx}\left는 경우{\cfrac{du_{0}}{\mathrm{d}x}}+{\frac{1}{2}}\left({\cfrac{\mathrm{d}w_{0}}{{d}x}}\mathrm \right).^{2)\right]-D_{xx}{\cfrac {mathrm {d}^{2}w_{0}{\mathrm {d}x^{2}}\end {aligned}}}$

어디에

$\displaystyle A_{x}=\int _{A}E~\mathrm {d}A~;~B_{x}=\int _{A}zE~\mathrm {d}A~;~D_{x}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {D}A}A~$

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$x ({$displaystyle A_{xx})$는 신장 강성, B ${\displaystyle x_{}}$x ({$displaystyle B_{xx})$는 결합 신장 강성, ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$({$displaystyle D_{xx})$는 굽힘 강성입니다.

빔이 균일한 단면을 가지며 축 하중이 없는 상황에서, 큰 회전 오일러-베르누이 빔에 대한 지배 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {d}^{4}w}{\mathrm {d}x^{4}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left\mathrm {d}^{2}w}{\right}=q(x)}$

「 」를 참조해 주세요.

• 응용 역학
• 구부러지다
• 굽힘 모멘트
• 좌굴
• 굽힘 강성
• 일반화 빔 이론
• 판 이론
• 샌드위치 이론
• 전단 및 모멘트 다이어그램
• 특이함수
• 변형률(재료과학)
• 티모셴코 빔 이론
• 삼모멘트 정리(클레이피론의 정리)
• 3점 굴곡 시험

레퍼런스

메모들

인용문

추가 정보

외부 링크

• 빔 응력 및 편향, 빔 편향 테이블