에볼루트

곡선의 차등 기하학에서 곡선의 이탈은 곡선의 모든 곡면 중심부의 중심점이다. 즉, 곡선에 있는 각 점의 곡률의 중심을 그릴 때 결과적인 모양이 곡선의 이탈이 된다는 것이다. 따라서 원의 이탈은 그 중심에 있는 하나의 지점이다.^[1] 동등하게, 회피는 곡선에 대한 정규의 외피다.

곡선이나 표면, 또는 보다 일반적으로 하위매니폴드의 퇴보는 정상지도의 가성이다. M을 ℝ의ⁿ 매끄럽고 규칙적인 서브매니폴드가 되게 하라. M의 각 점 p와 각 벡터 v에 대해, p에 기초하고 M에 대한 정규 분포를 기초로 p + v를 연결한다. 이것은 정상 지도라고 불리는 라그랑지안 지도를 정의한다. 정상지도의 가성어는 M의 방종이다.^[2]

진화는 비자발성과 밀접하게 관련되어 있다. 곡선은 그 어떤 비자발적인 것의 회피다.

역사

아폴로니우스 c.(기원전 200년)는 그의 코닉스의 5권에서 진화를 논했다. 그러나, Huygens는 때때로 그들을 처음으로 연구한 것으로 인정받는다(1673). Huygens는 tautochrone 곡선을 찾는 문제를 해결하는 것을 돕기 위해 1659년경 그의 진화론을 공식화했고, 이것은 다시 그가 등시 진자를 만드는 것을 도왔다. 튜토크론 곡선은 사이클로이드로, 사이클로이드에는 그 절구 또한 사이클로이드라는 독특한 성질이 있기 때문이었다. 사실 진화의 이론은 Huygens가 나중에 미적분을 사용하여 발견될 많은 결과를 얻을 수 있도록 했다.^[3]

모수 곡선 제거

If ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ is the parametric representation of a regular curve in the plane with its curvature nowhere 0 and ${\displaystyle \rho (t)}$ its curvature radius and ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ the 단위 곡률 중심을 가리키는 다음

• ${\displaystyle {\vec{E}(t)={\vec}{c}(t)+\rho(t){\vec {n}(t)}$

주어진 곡선의 이탈을 묘사한다.

${\displaystyle c\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$$T}$과 $E{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$가 된다.

• ${\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad }$ and

${\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}$.

방탕자의 속성

In order to derive properties of a regular curve it is advantageous to use the arc length ${\displaystyle s}$ of the given curve as its parameter, because of ${\displaystyle \; {\vec {c}}' =1\;}$ and ${\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}$ (see Frenet-Serret 공식). 따라서 ${\displaystyle Evolute\stackrel{}{}}$ E →${\displaystyle }$= ${\displaystyle c\stackrel{}{}}$→ +${\displaystyle \rho n\stackrel{}{}}$→ $displaystyle \;{\vec{E}={\vec}+\rho{\vec{n}\};}$의 접선 벡터는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\vec{E}}={\vec{c}}+\rho '{\vec}+\rho {\vec{n}}=\rho '{\vec {n}\}}}$

이 방정식으로부터 다음과 같은 회피 성질을 얻는다.

• $\rho {\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \rho '=0}$의 점에서 회피는$$ 정규적이지 않다. 즉, 최대 또는 최소 곡률의 점(주어진 곡선의 수위)에서 절대치는 쿠스프를 가진다. (파라볼라, 타원, 사이클로이드 및 네프로이드의 진화의 도표를 참조하십시오.)
• 정지를 포함하지 않는 임의의 원호에서, 원호의 길이는 원호 끝점의 곡률 반경의 차이와 같다. 이 사실은 오스카 서클의 둥지에 대한 태트-케네서 정리의 쉬운 증거로 이어진다.^[4]
• 0이 아닌 곡률 지점에서 주어진 곡선의 정규성은 절곡부에 접선되며, 0 곡률 지점에서 곡선의 정규성은 절곡부에 점증하지 않는다. 그러므로: 회피는 주어진 곡선의 정규의 외피다.
• > ${\displaystyle \rho '>0}$ 또는 < ${\displaystyle \rho '<0}$이(가) 있는 곡선의 부분에서는 곡선이 무의식적으로 이탈한다. (도표에서: 푸른색 포물선은 붉은색 세미큐빅 포물선의 비자발적인 것으로, 실제로는 푸른 포물선의 퇴행이다.)

마지막 자산에 대한 증거:
배려 섹션에 > ${\displaystyle \rho '>0}$으로 하자. 회피의 비자발성은 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle {\vec{C}_{0}={\vec {{E}-{\frac {{\becc{E}}}{{\vec{E}}}}}}\Big (}\int _{0}^{\vec{E})(w) \\\mathrmat {d} w+l_{0}{0}{0}}\;{\Big )}\;,}$

여기서 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 고정 문자열 확장이다$$(파라미터화된 곡선의 비자발적 참조).
With ${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$ and ${\displaystyle \rho '>0}$ one gets

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec{n}\;.}$

즉, 다음을 의미한다. 문자열 확장자 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \rho }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$의 경우 지정된$$ 곡선이 재현된다.

• 평행곡선은 같은 방향성을 가지고 있다.

Proof: A parallel curve with distance ${\displaystyle d}$ off the given curve has the parametric representation ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ and the radius of curvature ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$ (see parallel curve). Hence the evolute of the parallel curve is ${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.$$}$

예

포물선 제거

파라메트릭 표현$({\displaystyle t}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle(t,t^{2})$이 있는 포물라의 경우 방정식 위의 공식에서 다음을$$ 얻는다.

${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\;,}$

세미큐브 포물선을 묘사하고 있는

타원 제거

파라메트릭 표현$({\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$, b ${\displaystyle \sin )}$ t$$) {\$displaystyle(a\cos t,b\sin$ t$)}$을(를) 가진 타원의 경우 다음을$$ 얻는다.^[5]

${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}:{a}\coses ^{3}t}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}:{b}\sin ^{3}t\;.}$

이것들은 비대칭 아스트로이드의 방정식이다. 매개 변수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$을(를) 제거하면 암시적 표현이 가능함$$

• ${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}\ .}$

사이클로이드 퇴치

파라메트릭 표현$({\displaystyle r}$( ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$이 있는 사이클로이드의 경우,^[6] 절대값은$$ 다음과 같다.

$[\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$

${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$

전치된 복제품을 묘사하고 있지

일부 곡선의 진화

방탕자

• 포물선(parabola)은 세미큐브 포물선(위 참조)이다.
• 타원은 비 대칭 아스트로이드(위 참조)이다.
• 한 줄의 이상적인 점이지
• 네프로이드의 절반은 네프로이드(크기 절반, 도표 참조)이다.
• 아스트로이드(Astroid)는 아스트로이드(크게 큰 것)이다.
• 심근경색증은 심근경색이고
• 원의 중심은 그 중심이다.
• 델토이드는 델토이드가 된다. (3배 더 크다)
• 시클로이드는 응축성 시클로이드가 있다.
• 로그 나선형의 경우 동일한 로그 나선형의 경우
• 트랙트릭스(tractrix)는 100주년이다.

반지름 곡선

유사한 정의를 가진 곡선은 주어진 곡선의 방사형이다. 곡선의 각 점에 대해, 곡선의 지점에서 곡률의 중심까지의 벡터를 취하여 원점에서 시작되도록 변환한다. 그런 다음 그러한 벡터의 끝에 있는 점의 위치를 곡선의 방사형이라고 한다. 방사상의 방정식은 방음식의 x와 y 항을 제거하여 구한다. 이것은 생산된다.

${\displaystyle (X,Y)=\왼쪽(-y'{\x'}^{2}+{y'}^{2}}:{x'y'-x'y'}}\,\;x'{x'}^{x'}^{x'-x'y'}}}}}\;}$

참조

• Weisstein, Eric W. "Evolute". MathWorld.
• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Evolute", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 예이츠, R. C.: 곡선과 그 특성에 관한 안내서, J. W. Edwards (1952년), "Evolutes." 페이지 86ff
• 2D 커브에서 에볼루트.