곡률 반지름

미분 기하학에서 곡률 반지름 $R$ 은 곡률의 역수입니다.원곡선의 경우 원호 반지름과 같으며, 원호 반지름은 해당 지점의 원곡선에 가장 근접합니다.표면의 경우 곡률 반경은 정규 단면 또는 ^[1]^[2]^[3]그 조합에 가장 적합한 원의 반지름입니다.

정의.

공간 곡선의 경우 곡률 반경은 곡률 벡터의 길이이다.

평면 곡선의 경우, $R$ 은 다음의 절대값이다^[3].

(\displaystyle R\equiv \left {frac {ds} {d\varphi }}\right = specfrac {1} {\kappa } )

$여기$ 서 s는 곡선상의 고정된 점으로부터의 호 길이이고, $θ$ 는 접선 각도이고, θ는 곡률입니다.

공식

2D로

곡선이 데카르트 좌표에서 $y($ x)로 $주어진$ 경우, 즉 함수의 그래프로 주어진 경우 곡률 반경은 다음과 같습니다(곡선이 순서 2까지 미분 가능하다고 가정).

{{displaystyle R=\left {frac (1+y'^{,2}\right}^{\frac {3}{2}}}{y}}}}\right,\qquad {mbox{where}\fac y'=frac {dy}{dy},\fac y'}}},\frac {frac {frac {fright}},

$z$ 는 $z$ 의 절대값을 나타냅니다.

곡선이 $함수$ x $(t)$ 와 y $(t)$ 에 의해 파라메트릭으로 주어지면 곡률 반경은 다음과 같습니다.

{{displaystyle R=\left {frac {ds}{d\varphi}}\right =\left {frac {\dot {x}^{2}+{\dot {y}}}{\frac {2}}{\dot {y}}{{\dot}}}}{\light}}{\frac {\dot}}}}}} {right}}} {right}^{2}}}.}

경험적으로 이 결과는 다음과 같이 해석될^[2] 수 있다.

({displaystyle R=bigfrac {v} \right ^{3}} {\left \mathbf {v} \times \mathbf {v} \right }, \qquad \mathbf {v} \right = big }({\dot {x} \dot } {\y}) = {\} } } })}

n차원

$θ$ : → $θ$ 의ⁿ $매개변수화$ 된ⁿ 곡선인 경우, 곡선의 각 지점에서의 곡률 $반지름$ 인 $θ$ : → δ는^[3] 다음과 같이 구한다.

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}

특별한 경우로서, $f ($ t)가 $θ$ ~ $δ$ 의 함수라면, 그래프의 곡률 반지름인 $θ (t)$ = ( $t,$ $f (t))$ 는 다음과 같다.

\rho (t)=frac {\frac {3}{2}\right ^{\frac {2}}{\left f`(t)\right }.

파생

$①$ 을 위와 같이 하고 t를 $고정$ 한다. $t$ 에서 0번째, 첫 번째, 두 번째 도함수에서 $θ$ 와 일치하는 parameterized 원의 반지름 $θ$ 를 구하려고 합니다.분명히 반지름은 위치 $θ$ ( $t)$ 에 의존하지 않고 속도 $θ (t)$ 및 가속도 $θ (t)$ 에만 의존합니다.두 $벡터$ v와 $w$ , $즉$ v · $v$ , v · $w$ 및 $w$ · $w$ 에서 얻을 수 있는 독립된 스칼라는 3개뿐입니다.따라서 곡률반경은 3개의 스칼라 $'(t),$ $″(t),$ $'(t)$ · ″( $t)$ ^[3]의 함수여야 합니다.

$δ$ 의ⁿ 매개 변수화된 원에 대한 일반적인 방정식은 다음과 같다.

\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos h(u)+\mathbf {b} \sin h(u)+\mathbf {c} }

$여기$ 서 c θ $θ$ 는ⁿ 원의 중심(도함수에서 사라지므로 무관), a $, b θ$ 는ⁿ 길이 $θ$ 의 수직 벡터( $즉,$ a · $a$ $= b$ = $θ 2$ 및 a · $b$ = $0$ ), $h$ : θ→ $θ$ 는 t에서 $2배$ 미분 가능한 임의의 함수이다.

g의 $관련$ 파생상품은 다음과 같다.

{\displaystyle {displaystyle \mathbf {g} '^{2}&=\rho^{2}(h)' '\cdot \mathbf {g} '&=\rh'\mathbf {g} '^2}&\rh'(왼쪽)

만약 우리가 이 $g$ 의 도함수를 $t$ 에서 $θ$ 의 해당 도함수와 동일시한다면

{{displaystyle}{boldsymbol {\symbol }{,2}(t)\{\boldsymbol {\symbol {\symbol }(t)\cdot {\boldsymbol }(t)\rh(t)\symboldsymbol {\symbol }

세 가지 미지의 방정식( $θ$ , $h'(t)$ $및$ h $((t)))$ 은 $θ$ 에 대해 풀 수 있으며 곡률 반경에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \rho ( t ) = pright frac { left \ bold symbol \ right ^ { 2 } 、 \ left \ bold symbol \ right ^ { 2 } （ t ） 、 \ bold symbol （ t ）

또는 가독성을 위해 $매개$ 변수 t를 생략하고

\displaystyle \rho = cdotfrac {\left \boldsymbol \right ^{2}\left \boldsymbol \cdotsymbol \right } }}

예

반원 및 원

상부 하프플레인 $반지름a$ 의 반원일 경우

{\displaystyle y=sqrt {a^2}-x^{2}},\sq y'=sqrt {a^2}-x^{2}},\sq y'=sqrc {-a^2}}{\left(a^2}-x^{2}\sqr},\sqrfrcr} r},{-x}},{-r},{-x}},{-r}}},{{{{-r}}}}}}}},{-r},{-r}}}}}}},

타원(빨간색) 및 타원(파란색)점은 곡률이 가장 크거나 가장 작은 점에 있는 타원의 꼭지점입니다.

$하부$ 하프플레인 반지름a의 반원일 경우

y=-{\displayrt {a^{2}-x^{2}}},\display R = a = a .

$반지름$ a의 원의 곡률 반경은 a와 $같다$ .

줄임표

주요 축 2a와 축 2b를 타원에서는 장축에 vertices).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,의 어떠한 지점의 최소 반경, R을 가지고 있다..sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}b2/a.;그리고 축에 vertices 곡률의 어떤 points,의 가장 큰 반경을 가지고 있.mw-parser-output.R)a2/b.

타원의 곡률 반지름(파라미터 t의 함수)

R(t)=sigfrac {(b^{2}\cos ^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,\;,\;\text{where}\;\;\;\;\theta =\tan ^{-1}{\big({\fracy})={x}{}}}{big}}}{b}}}}{big}}}}}}{b}}}}}}}{b}}}}}}}}}}

^[4]

그리고 θ의 함수로서

(\displaystyle R(\theta)=param frac {(b\cos \theta)^{2}+(a\sin \theta)^{2}^3/2}}}

적용들

미분 기하학에서의 사용은 Cesaro 방정식을 참조하십시오.
지구의 곡률 반지름(타원형 타원체로 근사됨)에 대해서는 다음을 참조하십시오. 호 측정
곡률반경은 보 굽힘에 대한 3부 방정식에도 사용됩니다.
곡률 반지름(광학)
박막 테크놀로지
프린트 일렉트로닉스
최소 철도 곡선 반지름
AFM 프로브

반도체 구조의 응력

증발 박막을 포함한 반도체 구조의 응력은 일반적으로 제조 공정에서의 열팽창(열응력)에서 발생합니다.열응력은 보통 상온에서 막이 쌓이기 때문에 발생합니다.증착온도에서 실온으로 냉각할 때 기판과 막의 열팽창계수 차이가 열응력을 ^[5]일으킨다.

내재응력은 원자가 기판상에 퇴적되면서 막에 형성되는 미세구조에서 발생한다.인장응력은 미세공극(작은 구멍, 결함으로 간주되는 구멍)에서 발생하는데, 그 이유는 공극을 가로지르는 원자의 매력적인 상호작용 때문입니다.

박막 반도체 구조의 응력에 의해 웨이퍼가 좌굴됩니다.응력 구조의 곡률 반경은 구조 내 응력 텐서와 관련이 있으며 수정된 스토니 ^[6]공식으로 설명할 수 있다.곡률 반경을 포함한 응력 구조의 지형은 광학 스캐너 방법을 사용하여 측정할 수 있습니다.최신 스캐너 도구는 기판의 전체 지형을 측정하고 주요 곡률 반지름을 모두 측정하는 기능을 갖추고 있으며, 곡률 반지름이 90m 이상인 ^[7]경우 0.1%의 정확성을 제공합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Weisstien, Eric. "Radius of Curvature". Wolfram Mathworld. Retrieved 15 August 2016.
^ ^a ^b Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
^ ^a ^b ^c ^d Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (Sixth ed.). New York: MacMillan.
^ Weisstein, Eric W. "Ellipse". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2022-02-23.
^ "Controlling Stress in Thin Films". Flipchips.com. Retrieved 2016-04-22.
^ "On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits" (PDF). Qucosa.de. Retrieved 2016-04-22.
^ Peter Walecki. "Model X". Zebraoptical.com. Retrieved 2016-04-22.

추가 정보

do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.

외부 링크

[1] Weisstien, Eric. "Radius of Curvature". Wolfram Mathworld. Retrieved 15 August 2016.

[:0-2] Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.

[:1-3] Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (Sixth ed.). New York: MacMillan.

[4] Weisstein, Eric W. "Ellipse". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2022-02-23.

[5] "Controlling Stress in Thin Films". Flipchips.com. Retrieved 2016-04-22.

[6] "On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits" (PDF). Qucosa.de. Retrieved 2016-04-22.

[7] Peter Walecki. "Model X". Zebraoptical.com. Retrieved 2016-04-22.

[1]

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[3]

[4]

[5]

[6]

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v t 미분 기하학에서 정의된 곡률의 다양한 개념
미분 지오메트리 곡선의	곡률 곡선의 비틀림 프레네-세레 공식 곡률 반지름(어플리케이션) 아핀 곡률 총 곡률 총 절대 곡률
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