정점(곡선)

Vertex (curve)
정점(지오메트리)과 혼동하지 마십시오.
다른 용도는 정점(동음이의)을 참조하십시오.
타원(빨간색)과 그 퇴원(파란색)이다. 점들은 곡선의 정점이며, 각각은 전극의 정점에 해당한다.

평면 곡선의 기하학에서 꼭지점은 곡률의 첫 번째 파생물이 0인 지점이다.[1] 이것은 일반적으로 국소 최대 또는 최소 곡률이며,[2] 일부 저자는 정점을 보다 구체적으로 국소 극한 곡률 지점이라고 정의한다.[3] 그러나, 예를 들어, 두 번째 파생상품도 0이거나 곡률성이 일정할 때 다른 특별한 경우가 발생할 수 있다. 반면에 공간 곡선의 경우 꼭지점은 비틀림이 사라지는 지점이다.

예

하이퍼볼라는 각 가지에 하나씩 두 개의 정점을 가지고 있다; 그것들은 하이퍼볼라의 반대쪽 가지에 놓여 있는 어떤 두 점 중 가장 가깝고, 주 축에 놓여 있다. 포물선 위에서, 유일한 꼭지점은 대칭 축과 형태의 2차 축에 위치한다.

그것은 정사각형을 완성하거나 분화함으로써 찾을 수 있다.[2] 타원에는 4개의 꼭지점 중 2개는 주축에, 2개는 부축에 놓여 있다.[4]

곡률이 일정한 원의 경우 모든 점은 꼭지점이다.

쿠스 및 오스카상

정점은 곡선이 그 지점에서 오스카하는 원과 4점 접촉하는 지점이다.[5][6] 대조적으로, 곡선의 일반 점들은 일반적으로 오스카하는 원과 3점 만 접촉한다. 곡선에 정점이 있을 때 곡선의 이탈은 일반적으로 정점을 가질 수 있다. 다른,[6] 더 퇴보하고 안정적이지 못한 특이점들은 오스카하는 원들이 4개보다 높은 순서의 정점에서 발생할 수 있다.[5] 단일 일반 곡선은 고차 정점을 가지지 않지만, 일반적으로 두 개의 일반 정점이 결합하여 더 높은 정점을 형성한 다음 소멸하는 패밀리의 곡선에서 한 모수 곡선군 내에서 발생할 것이다.

곡선의 대칭 집합은 정점에 해당하는 큐스에 끝점이 있고, 대칭 집합의 부분집합인 내축도 큐스에 끝점이 있다.

기타 속성

고전적인 4-베르텍스 정리에 따르면, 모든 단순 닫힌 평면 평활곡선은 최소한 4개의 정점을 가져야 한다.[7] 보다 일반적인 사실은 볼록한 신체의 경계에 놓여 있거나 심지어 국소적으로 볼록한 원반을 경계하는 모든 단순한 닫힌 공간 곡선은 꼭지점이 네 개 있어야 한다는 것이다.[8] 일정한 폭의 모든 곡선은 최소한 6개의 꼭지점을 가져야 한다.[9]

평면 곡선이 쌍방향 대칭인 경우 대칭의 축이 곡선을 가로지르는 지점 또는 지점에 정점을 가진다. 따라서 곡선의 정점 개념은 광학 축이 렌즈 표면을 가로지르는 지점인 광학 정점과 밀접한 관련이 있다.

메모들

  1. ^ 아고스턴(2005년), 페이지 570, 깁슨(2001년), 페이지 126.
  2. ^ Jump up to: a b 깁슨(2001년), 페이지 127.
  3. ^ Fuchs & Tabachnikov(2007), 페이지 141.
  4. ^ 아고스턴(2005년), 페이지 570, 깁슨(2001년), 페이지 127.
  5. ^ Jump up to: a b 깁슨(2001년), 페이지 126.
  6. ^ Jump up to: a b 푸흐스 & 타바흐니코프(2007), 페이지 142.
  7. ^ 아고스턴(2005) 정리 9.3.9, 페이지 570, 깁슨(2001), 섹션 9.3, "4정점 정리", 페이지 133–136; 푸흐스 & 타바흐니코프(2007), 정리 10.3, 페이지 149.
  8. ^ 시디크(1994); 고미(2015년)
  9. ^ 마르티네즈-모레(1996); 크레이저, 테이세이라 & 발레스트로(2018)

참조

  • Agoston, Max K. (2005), Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, ISBN 9781852338176.
  • Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018), "Closed cycloids in a normed plane", Monatshefte für Mathematik, 185 (1): 43–60, arXiv:1608.01651, doi:10.1007/s00605-017-1030-5, MR 3745700.
  • Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 9780821843161
  • Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626, Bibcode:2015arXiv150107626G
  • Gibson, C. G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521011075.
  • Martinez-Maure, Yves (1996), "A note on the tennis ball theorem", American Mathematical Monthly, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JSTOR 2975192, MR 1383672.
  • Sedykh, V.D. (1994), "Four vertices of a convex space curve", Bull. London Math. Soc., 26 (2): 177–180