콕시터군
Coxeter group수학에서 H. S. M. Coxeter의 이름을 딴 Coxeter 그룹은 반사(또는 케일리디스코픽 미러)의 관점에서 형식적인 설명을 인정하는 추상적인 그룹이다. 실제로 유한 Coxeter 그룹은 정확하게 유한유클리드 반사 그룹이다; 정규 다면체의 대칭 그룹이 예시된다. 그러나 모든 콕시터 그룹이 유한한 것은 아니며, 모든 것을 대칭과 유클리드 반사의 관점에서 설명할 수 있는 것은 아니다. 콕시터 집단은 1934년 반사집단(Coxeter 1934년)의 추상화로 도입되었고, 유한 콕시터 집단은 1935년(Coxeter 1935년)에 분류되었다.
콕시터 그룹은 수학의 많은 영역에서 응용 프로그램을 찾는다. 유한 Coxeter 그룹의 예로는 일반 폴리토페스의 대칭 그룹과 단순 리 알헤브라의 Weyl 그룹이 있다. 무한 콕시터 그룹의 예로는 유클리드 평면과 쌍곡면의 규칙적인 테셀레이션에 해당하는 삼각형 그룹과 무한 차원 카크-무디 알헤브라의 웨일 그룹이 있다.
표준 참고문헌에는 (Humphreys 1992) 및 (Davis 2007)이 포함된다.
정의
공식적으로, Coxeter 그룹은 프레젠테이션과 함께 그룹으로 정의될 수 있다.
여기서 m = 및 i 2{\ 2≠ 조건 = }은 형식( i j) 의 관계가 없음을 의미한다.
이 (가) 생성자 ={ r ,…, S이(가) 있는 Coxeter 그룹인 쌍, ) W, S, W, W, W S)을 Coxeter)이라고 한다. Note that in general is not uniquely determined by . For example, the Coxeter groups of type and are isomorphic but the Coxeter systems are not equivalent (see below for an explanation of this not아티온
위의 정의에서 즉시 많은 결론을 도출할 수 있다.
- 관계 = 은 r ) =( r ) = } 모든 에 대해 해당 생성기가 비자발성을 의미한다.
- = }인 경우 r {\ 및 j{\ 통근. 이것은 다음과 같이 관찰한다.
- = = 1
- 와 함께
- 라는 뜻을 내포함하다
- = ( ) =( ) y ( )= yx
- Alternatively, since the generators are involutions, , so , and thus is equal to the com돌연변이자
- 관계 간의 중복을 피하기 위해서는 = 을(를) 가정할 필요가 있다 이것은 다음과 같이 관찰한다.
- = 1
- 와 함께
- 라는 뜻을 내포함하다
- }
- ( ) k ( x) k 는 y( ) - 1=( x) - =( ) k 처럼 결합 요소다 .k}y^{- .
콕시터 행렬 및 슐래플리 행렬
The Coxeter matrix is the , symmetric matrix with entries . Indeed, every symmetric matrix with diagonal entries exclusively 1 and nondiagonal entries in the set is a Coxeter matrix.
Coxeter 매트릭스는 다음 규칙에 따라 Coxeter 도표로 편리하게 인코딩할 수 있다.
- 그래프의 정점은 발전기 첨자로 표시된다.
- vertice 및 은(는) 3인 경우에만 인접한다
- 에지는 값이 이상일 때마다 m {ij의 값으로 레이블 지정된다.
특히 두 발전기는 가장자리로 연결되지 않은 경우에만 통근한다. 또한 Coxeter 그래프가 두 개 이상의 연결된 구성요소를 가지고 있는 경우, 관련 그룹은 개별 구성요소와 연관된 그룹의 직접적인 산물이다. 따라서 Coxeter 그래프의 분리된 결합은 Coxeter 그룹의 직접적인 산출물을 산출한다.
The Coxeter matrix, , is related to the Schläfli matrix with entries , but the elements are modified, being proportional to the dot product of the pai지혜로운 발전기 Schléfli 행렬은 고유값이 Coxeter 그룹이 유한 유형(모든 양성), 아핀 유형(모든 비음성, 최소 1개 0개)인지 또는 무기한 유형(다른 방법)인지를 결정하기 때문에 유용하다. 무기한 유형은 쌍곡선 및 기타 Coxeter 그룹으로 더 세분되는 경우가 있다. 그러나 쌍곡선 Coxeter 그룹에 대해서는 여러 개의 비등호적 정의가 있다.
예
라벨이 없는 가장자리로 연결된 각 꼭지점 1부터 n까지의 정점을 한 행에 배치하는 A n 는 대칭군 S를n+1 생성하며, 발전기는 전치(1 2), (2 3), ... , (n+1)에 해당한다. 두 개의 비연속적 전이가 항상 통근하는 반면, (k k+1) (k+1 k+2)는 3 사이클(k k+2 k+1)을 준다. 물론 이것은 S가n+1 그래프에 묘사된 Coxeter 그룹의 지수 그룹이라는 것을 보여줄 뿐이지만, 평등이 유지되고 있는지 확인하는 것은 그리 어렵지 않다.
반사 그룹과의 연결
콕시터 그룹은 반사 그룹과 깊은 연관이 있다. 간단히 말해서, Coxeter 그룹은 추상적인 그룹(프레젠테이션을 통해 주어짐)인 반면, 반사 그룹은 구체적인 그룹(선형 그룹의 하위 그룹 또는 다양한 일반화로 주어짐)이다. 콕시터 그룹은 반사 그룹의 연구로부터 성장했다. 추상화 그룹: 반사 그룹은 반사에 의해 생성된 선형 그룹의 하위 그룹인 반면, 콕시터 그룹은 비자발(순서 2의 요소, 반사에서 추상화)에 의해 생성된 추상 그룹이다. 그리고 관계가 일정한 형태(순서 2에서 추상화됨).은는) 의각도에서 하이퍼플레인이 만나는 것에 해당하며, r j r_{j}}}은(는) ㎛/ 만큼 회전으로부터 추출한다.
반사 그룹의 추상적인 그룹은 콕시터 그룹인 반면, 반대로 반사 그룹은 콕시터 그룹의 선형 표현으로 볼 수 있다. 유한 반사 집단의 경우, 이것은 정확한 일치성을 산출한다: 모든 유한 콕시터 집단은 일부 유클리드 공간의 유한 반사 집단으로 충실한 표현을 인정한다. 그러나 무한 Coxeter 그룹의 경우 Coxeter 그룹은 반사 그룹으로 표현을 인정하지 않을 수 있다.
역사적으로 (Coxeter 1934)는 모든 반사 그룹이 Coxeter 그룹(즉, 모든 가 2{\ 또는 ) 형식의 프레젠테이션이 있음을 증명하였다. 그리고 실제로 본 논문에서는 콕시터 집단의 개념을 소개하였고, (콕시터 1935) 모든 유한한 콕시터 집단이 반사 집단으로 대표성을 가지고 있음을 증명하고, 유한한 콕시터 집단을 분류하였다.
유한 콕시터 군
분류
유한 Coxeter 그룹은 Coxeter-Dynkin 도표 관점에서 (Coxeter 1935)에 분류되었다. 이들은 모두 유한 차원 유클리드 공간의 반사 그룹에 의해 표현된다.
유한 Coxeter 그룹은 등급 n, n},D_{ 치수 2의 1개 변수 계열, ), 2}( 및 6개의 예외 그룹으로 구성된다. ,E , 8,F ,H , 4 그리고 H {\displaysty H_{4 이 목록에 있는 많은 Coxeter 그룹의 산물은 다시 Coxeter 그룹이며, 모든 유한 Coxeter 그룹은 이런 방식으로 발생한다.
웨일 그룹
이들 중 다수는 아니지만, Weyl 그룹들이며, 모든 Weyl 그룹은 Coxeter 그룹으로 실현될 수 있다. The Weyl groups are the families and and the exceptions and denoted in Weyl group notation as The non-Weyl groups are the exceptions and and the family except where this coincides with one of the Weyl groups (namely 및 I ( )
이는 Dynkin 다이어그램에 대한 제한(간접)을 유한 그룹의 Coxeter 다이어그램에 대한 제한과 비교함으로써 증명할 수 있다. 공식적으로는 가장자리의 방향을 버리고 모든 이중 가장자리를 4로 표시된 가장자리와 6으로 표시된 가장자리로 모든 삼중 가장자리를 교체함으로써 Dynkin 다이어그램에서 얻을 수 있다.. 또한 미세하게 생성된 모든 Coxeter 그룹은 자동 그룹이라는 점에 유의하십시오.[1] Dynkin 다이어그램에는 유일하게 허용된 가장자리 라벨이 2, 3, 4, 6이라는 추가적인 제한이 있어 위 사항을 산출한다. 기하학적으로 이것은 결정학적 제한 정리에 해당하며 제외된 폴리토피가 공간을 채우지 않거나 평면 타일을 그리지 않는다는 사실 – H, 의 경우 도데카헤드론(일상, 이코사헤드론)은 공간을 채우지 못하고, , 120 셀(일상, 600 셀)은 채우지 않는다.속도; ) 의 경우 p-곤은 = , , 또는 6각각 삼각형, 사각형 및 6각형 기울기)을 제외하고 평면에 타일을 배치하지 않는다.
참고 더 왜냐하면 그들은 직접적인 그래프 차이점은(연출한)Dynkin 도표 Bn과 Consols정리 공채. 하지만 무방향 그래프로 뿌리를 제외한 바일 단체를 위해서만– 방향 문제라는데 동의해 같은 바일 그룹(따라서 Coxeter 그룹)을 낳다;이것은 하이퍼 큐브와 cross-polytope 여러 규칙적인 polytopes지만 있는 t. 해당합니다그 같은 대칭군
특성.
유한한 불가해성 Coxeter 그룹의 일부 특성은 다음 표에 제시되어 있다. 환원 가능한 그룹의 순서는 환원 불가능한 부분군 주문의 곱으로 계산할 수 있다.
순위 n | 그룹 심볼 | 번갈아 심볼 | 브래킷 표기법 | 콕시터 도표를 찍다 | 반사 m = 1⁄2nh[2] | 콕시터 수 h | 주문 | 그룹 구조[3] | 관련 폴리토페스 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | A1 | A1 | [ ] | ![]() | 1 | 2 | 2 | { } | |
2 | A2 | A2 | [3] | ![]() ![]() ![]() | 3 | 3 | 6 | {3} | |
3 | A3 | A3 | [3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 6 | 4 | 24 | {3,3} | |
4 | A4 | A4 | [3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 10 | 5 | 120 | {3,3,3} | |
5 | A5 | A5 | [3,3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 15 | 6 | 720 | {3,3,3,3} | |
n | An | An | [3n−1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n(n + 1)/2 | n + 1 | (n + 1)! | n-제곱스 | |
2 | B2 | C2 | [4] | ![]() ![]() ![]() | 4 | 4 | 8 | {4} | |
3 | B3 | C3 | [4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 9 | 6 | 48 | {4,3} / {3,4} | |
4 | B4 | C4 | [4,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 16 | 8 | 384 | {4,3,3} / {3,3,4} | |
5 | B5 | C5 | [4,3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 25 | 10 | 3840 | {4,3,3,3} / {3,3,3,4} | |
n | Bn | Cn | [4,3n−2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n2 | 2n | 2nn! | n-bea/n-orthoples | |
4 | D4 | B4 | [31,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 12 | 6 | 192 | h{4,3,3} / {3,31,1} | |
5 | D5 | B5 | [32,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 20 | 8 | 1920 | h{4,3,3} / {3,3,31,1} | |
n | Dn | Bn | [3n−3,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n(n − 1) | 2(n − 1) | 2nn−1! | n-데미큐브/n-정형성 | |
6 | E6 | E6 | [32,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 36 | 12 | 51840 (72x6!) |
| |
7 | E7 | E7 | [33,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 63 | 18 | 2903040 (72x8!) | 321, 231, 132 | |
8 | E8 | E8 | [34,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 120 | 30 | 696729600(192x10!) | 421, 241, 142 | |
4 | F4 | F4 | [3,4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 24 | 12 | 1152 | {3,4,3} | |
2 | G2 | – (D6 2) | [6] | ![]() ![]() ![]() | 6 | 6 | 12 | {6} | |
2 | H2 | G2 | [5] | ![]() ![]() ![]() | 5 | 5 | 10 | {5} | |
3 | H3 | G3 | [3,5] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 15 | 10 | 120 | {3,5} / {5,3} | |
4 | H4 | G4 | [3,3,5] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 60 | 30 | 14400 | [a] | {5,3,3} / {3,3,5} |
2 | I2(n) | Dn 2 | [n] | ![]() ![]() ![]() | n | n | 2n |
when n = pk + 1, p prime when n = pk − 1, p prime | {p} |
일반 폴리탑의 대칭군
일반 폴리토페스의 모든 대칭 그룹은 유한 Coxeter 그룹이다. 이중 폴리탑은 동일한 대칭 그룹을 가지고 있다는 점에 유의하십시오.
모든 차원에는 세 가지의 일반 폴리토페스가 있다. 일반 n-심플렉스 대칭그룹은 대칭군 S로n+1, A형식의n Coxeter 그룹이라고도 한다. n-큐브와 그 이중인 n-크로스폴리토프의 대칭군은 B로n, 초옥타헤드 그룹으로 알려져 있다.
2, 3, 4차원의 예외적인 일반 폴리탑은 다른 콕시터 그룹에 해당한다. 2차원에서는 일반 다각형의 대칭 그룹인 이음매가 I2(p) 시리즈를 형성한다. 3차원에서 일반 도두면체와 그 이중인 정두면체의 대칭군은 H로3, 완전한 이두면체로 알려져 있다. 4차원에는 24세포, 120세포, 600세포의 세 가지 특별한 일반 폴리탑이 있다. 첫번째는 대칭 그룹 F를4 가지고 있고, 다른 두 개는 이중이고 대칭 그룹 H를4 가지고 있다.
D형n, E형6, E형7, E형8, E형의 Coxeter 그룹은 특정 반정형 폴리토페스의 대칭 그룹이다.
변경할 수 없는 폴리토프 계열의 숨김표 | ||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
가족 n | n-제곱스 | n-관 | 무정통의 | n-데미큐브 | 1k2 | 2k1 | k21 | 오각형 폴리토프 | ||||||||
그룹 | A을n | Bn |
|
| Hn | |||||||||||
2 | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() p-곤 (1987: p=7) | ![]() ![]() ![]() ![]() 육각형 | ![]() ![]() ![]() ![]() 펜타곤 | |||||||||||
3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 사면체 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 큐브 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 팔면체 | ![]() ![]() ![]() ![]() 사면체 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 도데카헤드론 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 이코사헤드론 | ||||||||||
4 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5세포 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 16 셀 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 24셀 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 120 셀 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 600셀 | |||||||||
5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5와섹스 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5형식 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5데미큐브 | ||||||||||||
6 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6-630x | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6형식 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6데미큐브 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 122 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 221 | ||||||||||
7 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7형식 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7데미큐브 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 132 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 231 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 321 | |||||||||
8 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8인조 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8데미큐브 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 142 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 241 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 421 | |||||||||
9 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9시 15분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9형식 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9데미큐브 | ||||||||||||
10 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10센트짜리 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10시 30분 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 십중팔구 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10데미큐브 |
아핀 콕시터 그룹
아핀 콕시터 그룹은 콕시터 그룹의 두 번째 중요한 시리즈를 형성한다. 이것들은 그 자체가 유한한 것이 아니라, 각각에 해당하는 몫의 집단이 유한할 정도로 정상적인 아벨의 하위집단을 포함하고 있다. 각각의 경우, 지수 그룹 자체가 콕시터 그룹이며, 어핀 콕시터 그룹의 콕시터 그래프는 다른 정점과 하나 또는 두 개의 추가 가장자리를 추가하여 지수 그룹의 콕시터 그래프에서 얻는다. 예를 들어, n ≥ 2의 경우 원 안의 n+1 정점으로 구성된 그래프는 이러한 방법으로 A로부터n 얻으며, 해당 Coxeter 그룹은 A의n 아핀 웨일 그룹(부호 대칭 그룹)이다. n = 2의 경우, 이것은 평면의 표준 타일링 대칭 그룹의 부분군으로 정삼각형으로 그려질 수 있다.
일반적으로 루트 시스템이 주어지면 뿌리에 직교하는 하이퍼플레인과 이러한 하이퍼플레인의 특정 번역으로 구성된 관련 스티펠 다이어그램을 구성할 수 있다. 아핀 Coxeter 그룹(또는 아핀 Weyl 그룹)은 다이어그램의 모든 하이퍼플레인에 대한 (아핀) 반사에 의해 생성된 그룹이다.[4] 스티펠 도표는 비행기를 알코브라고 불리는 무한히 많은 연결 부품으로 나누고, 아핀 콕시터 그룹은 일반 바일 그룹이 바일 챔버에서 자유롭고 트랜스적으로 행동하듯이 알코브에서 자유롭고 트랜스적으로 행동한다. 오른쪽 그림은 G 루트 시스템에 대한 스티펠 도표를 보여준다.
이가) > 1 }의 수정 불가능한 루트 시스템이며, , r{\을 단순 루트의 집합체라고 가정하자. + 1}은는) 가장 높은 루트를 나타낸다. 그런 다음 ,… , _에 수직인 하이퍼플레인 번역에 대한 appine 반사와 함께 + {\displaystyle 아핀 Weyl 그룹에 대한 Coxeter 그래프는 r+ 1 \alpha 에 연결된 하나의 추가 와 R {\ R}에 대한 Coxeter-Dynkin 다이어그램이다 이 경우, 기초적인 Weyl 챔버를 취하여 + 에 수직인 하이퍼플레인 번역에 의해 Stiefel 다이어그램의 1알코브를 얻을 수 있다[5]
아핀 콕시터 그룹의 목록은 다음과 같다.
그룹 기호 첨자는 각각의 그룹이 유한 그룹의 그래프에 노드를 추가하여 얻었기 때문에 각각의 경우에서 노드 수보다 1개 적다.
쌍곡선 Coxeter 그룹
쌍곡선 공간의 반사 그룹을 설명하는 쌍곡선 Coxeter 그룹은 무한히 많으며, 특히 쌍곡선 삼각형 그룹을 포함한다.
부분주문
반사 발생기 선택은 Coxeter 그룹의 길이 함수 ℓ을 발생시킨다. 즉, 그룹 요소를 표현하는 데 필요한 발생기의 최소 사용 수; 이것은 정확하게 Cayley 그래프에 있는 단어 메트릭의 길이이다. ℓ(v) 생성기를 사용한 v의 식은 줄인 단어다. 예를 들어 S의3 순열(13)에는 (12)(23)(12)와 (23)(12)(23)의 두 줄인 단어가 있다. →(- )( 함수는 대칭 그룹에 대한 기호 지도를 일반화하는 G→{± 1을 정의한다.
축소된 단어를 사용하면 콕시터 그룹, (오른쪽) 약한 순서, 절대 순서, 브루하트 순서(프랑수아 브루하트의 이름)에 대해 세 가지 부분 순서를 정의할 수 있다. v에 대한 일부(또는 동등하게) 축소 단어가 하위 문자열로 u를 줄인 단어를 포함하는 경우 요소 v는 Bruhat 순서에서 요소 u를 초과하며, 여기서 일부 문자(어느 위치에서)가 삭제된다. 약한 순서에서는 v에 대해 일부 축소된 단어가 초기 세그먼트로서 u에 대해 축소된 단어를 포함하고 있는 경우 v u u. 실제로, 길이라는 단어는 이것을 등급으로 매겨진 포셋으로 만든다. 이러한 순서에 해당하는 Hasse 다이어그램은 연구 대상이며, 생성자에 의해 결정된 Cayley 그래프와 관련이 있다. 절대 순서는 약한 순서와 유사하게 정의되지만, Coxeter 발생기의 모든 결합체로 구성된 세트/알파벳 생성으로 정의된다.
예를 들어 S의3 순열(1 2 3)은 축소된 단어의 (12)(23)만 있으므로 브루하트 순서의 경우 (12)와 (23)을 포함하지만 약한 순서의 경우 (12)만을 포함한다.
호몰로지
Coxeter 그룹 은 순서 2의 여러 요소에 의해 생성되므로, 아벨리아화(Abelianization)는 초등 아벨리아 2 그룹, 즉 주기 그룹 Z }의 여러 복사본의 직접 합에 이형성이 있으며 는 W }의 첫 번째 호몰로지 그룹 측면에서 다시 작성될 수 있다..
의 두 번째 호몰로지 그룹과 동일한슈르 M 은 유한반사 그룹(이하라 & 요코누마 1965)과 부속반사 그룹(요코누마 1965)에서 연산되었으며 (Howlett 1988)에 더 통일된 계정이 제공되었다 모든 경우에 있어서 슈르 승수 역시 초등 아벨리아 2군이다. 유한하거나 아핀 웨일 그룹의 각 무한 패밀리{ 에 대해 이 무한대로 이동함에 따라 )의 순위가 안정화된다.
참고 항목
- 아르틴-티츠 그룹
- 체발리-셰퍼드-토드 정리
- 복합반사군
- 콕시터 원소
- 이와호리-그룹 대수학의 양자 변형인 헤케 대수학
- 카즈단-루시그 다항식
- Coxeter 그룹에서 가장 긴 요소
- 슈퍼솔루션배열
메모들
- ^ 지수 2 4 {( 5)
참조
- ^ Brink, Brigitte; Howlett, RobertB. (1993), "A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups", Mathematische Annalen, 296 (1): 179–190, doi:10.1007/BF01445101, S2CID 122177473, Zbl 0793.20036.
- ^ Coxeter, 일반 폴리토페스, §12.6 반사수, 방정식 12.61
- ^ Wilson, Robert A. (2009), "Chapter 2", The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5
- ^ 홀 2015 제13.6
- ^ 홀 2015 13장 연습 12 및 13
추가 읽기
- Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics, 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
- Bourbaki, Nicolas (2002), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
- Coxeter, H. S. M. (1934), "Discrete groups generated by reflections", Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi:10.2307/1968753, JSTOR 1968753
- Coxeter, H. S. M. (1935), "The complete enumeration of finite groups of the form ", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21
- Davis, Michael W. (2007), The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
- Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups, Graduate texts in mathematics, 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
- Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
- Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
- Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
- Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups" (PDF), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, archived from the original (PDF) on 2013-10-23
- Howlett, Robert B. (1988), "On the Schur Multipliers of Coxeter Groups", J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019
- Vinberg, Ernest B. (1984), "Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension", Trudy Moskov. Mat. Obshch., 47
- Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 173–186, hdl:2261/6049, Zbl 0136.28803