그룹 표시

수학에서 프리젠테이션은 그룹을 지정하는 한 방법이다. 그룹 G의 표시는 그룹의 모든 요소가 이러한 발전기들 중 일부의 힘의 산물로 기록될 수 있도록 발전기들의 집합 S로 구성되며, 그러한 발전기들 간의 관계의 집합 R으로 구성된다. 그리고 나서 우리는 G가 프레젠테이션을 한다고 말한다.

\displaystyle \langle S\mid R\angle .}

비공식적으로, G는 그것이 관계 R에 의해서만 S 과목에 의해서 생성되는 "자유 그룹"이라면 위의 프레젠테이션을 한다. 형식적으로, 관계 R에 의해 생성된 정상 부분군에 의해 S에 대한 자유 집단의 지수에 이형적인 경우, 그룹 G는 위와 같은 프레젠테이션을 한다고 한다.

간단한 예로서, 주기적인 순서 n 그룹은 프레젠테이션을 한다.

\langle a\mid a^{n}=1\angle ,

여기서 1은 그룹 ID 입니다. 이것은 다음과 같이 동등하게 쓰여질 수 있다.

\displaystyle \langle a\mid a^{n}\angle ,}

동등의 기호를 포함하지 않는 용어는 그룹 정체성과 동등하게 간주된다는 관습 덕분에. 그러한 용어들을 재조정자라 부르며, 동등의 기호를 포함하는 관계와 구별한다.

모든 그룹에는 프리젠테이션이 있고, 사실 많은 다른 프리젠테이션들이 있다; 프리젠테이션은 종종 그룹의 구조를 설명하는 가장 압축적인 방법이다.

밀접하지만 다른 개념은 집단의 절대적 표현이다.

배경

세트 S에 있는 자유 그룹은 각 원소가 형태상의 유한한 길이 생산물로 고유하게 기술될 수 있는 그룹이다.

s_{1}^{a_{1}:{1}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}}}

여기서 s는_i S의 원소이고, 인접한_i s는 구별되며, a는_i 0이 아닌 정수(n은 0일 수 있음)이다. 덜 형식적인 용어로, 그룹은 발전기와 그 반대편에 있는 단어들로 구성되며, 단지 그 역이 인접한 발생을 가진 발전기를 취소하는 것에 대해서만 적용된다.

만약 G가 어떤 그룹이고, S가 G의 생성 서브셋이라면, G의 모든 요소도 위의 형태일 것이다. 그러나 일반적으로 이러한 제품들은 G의 요소를 독특하게 설명하지는 않을 것이다.

예를 들어, 순서 16의 다이헤드 그룹 D는₈ 순서 8의 회전, r, 순서 2의 플립, f에 의해 생성될 수 있으며, 확실히 D의₈ 어떤 요소도 r과 f의 산물이다.

단, 예를 들어 $rfr$ = $f$ , $r 7$ = r $등$ 을⁻¹ 가지고 있기 때문에 그러한 제품은 D에서₈ 고유하지 않다. 그러한 각 제품 동등성은 다음과 같이 정체성에 대한 동등성으로 표현될 수 있다.

rfrf = 1

,

r 8

= 1

또는

f 2 = 1

.

비공식적으로, 우리는 왼쪽의 이러한 제품들을 자유 $그룹$ F = < $r,$ f>의 요소들로 간주할 수 있고, 이러한 문자열들에 의해 생성되는 F의 부분군 R을 고려할 수 있다. 각 부분군 R은 D의₈ 제품으로도 간주될 때 1과 동일할 것이다.

만약 우리가 N을 R의 모든 접합자 xRx에⁻¹ 의해 생성된 F의 부분군이 되게 한다면, N의 모든 요소는 유한한 제품 xrx₁⁻¹₁₁... 이러한 접합부 구성원의_m xr_m⁻¹_m x 따라서 N의 각 요소는 D에서₈ 하나의 제품으로 간주될 때 1까지 평가하게 되며, 따라서 N은 F의 정상적인 부분군이다. 따라서 D는₈ 지수군 $F / N$ 에 대해 이형적이다. 그리고 나서 우리는₈ D가 프레젠테이션을 한다고 말한다.

\langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(iii)^{2}=1\angle .

여기서 발생기 집합은 $S =$ { $r,$ $f$ }이고 관계 집합은 $R =$ { $r$ = 1 $, f$ = 1, ( $rf 2)$ = 1 $}$ 이다. 우리는 종종 R을 축약하여 발표를 하는 것을 본다.

\langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(iii)^{2}=1\angle .

심지어 더 짧은 형태는 평등과 정체성 기호를 떨어뜨려, { $r$ , $f,$ ( $rf$ $)} 2$ 의 리플레이어 집합만을 나열한다. 이렇게 하면 프레젠테이션이 제공됨

\langle r,f\mid r^{8},f^{2},(iii)^{2}\angle .

세 가지 프레젠테이션 모두 동등하다.

표기법

이 글에서 발표용으로 사용한 표기법 $⟨ S$ $R ⟩$ 이 현재 가장 보편적이기는 하지만, 이전의 작가들은 같은 형식에 다른 변형을 사용했다. 이러한 공지는 다음과 같다.^{[citation needed]}

$⟨ S R ⟩$
$(S R)$
${S; R$ }
$⟨ S; R ⟩$

정의

S를 세트로 하고_S F를 S에서 자유 그룹이 되게 하라. Let R be a set of words on S, so R naturally gives a subset of $F_{S}$ . To form a group with presentation $\langle S\mid R\rangle$ , take the quotient of $F_{S}$ by the smallest normal subgroup that contains each element of R. (This subgroup is called the F $F_{S}$ ${\$ 에서 R의 정상 닫힘 N) $F_{S}$ 그룹 $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $⟩$ {\ $displaystyle$ \langle S\ $mid R\rangele }$ 을(를) 인용 그룹으로 정의한다 $\langle S\mid R\rangle$ .

\displaystyle \langle S\mid R\rangele =F_{S}/N.}

S의 원소는 $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ 의 생성기라고 하며 $\langle S\mid R\rangle$ , R의 원소는 rel S ∣ R ⟩ R ⟩ \ \의 생성기라고 한다. G가 S $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ ⟩ { $\langle S\mid R\rangle$ { ${\displaystyle \langle S\mid$ R $\rangle$ }에 대해 이형인 경우 $\langle S\mid R\rangle$ , G 그룹은 $\langle S\mid R\rangle$ 을 $\langle S\mid R\rangle$ ^[1] $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ ∣ R ∣ ${\displaystyle$ \ $langle S\mid R\rangle }.$

$x=y$ = y $x=y$ 형식으로 릴레이터를 쓰는 것이 일반적인 관례인데 여기서 $x=y$ x와 y는 S에 단어다. 이것이 의미하는 $y^{-1}x\in R$ 은 $y^{-1}x\in R$ - $y^{-1}x\in R$ $y^{-1}x\in R$ $y^{-1}x\in R$ R $y^{-1}x\in R$ {\ $displaystyle y^{-1}x\in$ R $y^{-1}x\in R$ 이것은 x와 y의 이미지가 지수 그룹에서 같아야 한다는 직관적인 의미를 갖는다. 따라서, 예를 들어, relator 목록의 r은ⁿ $r^{n}=1$ = $r^{n}=1$ ${\displaystyle$ r $^{n}=1}$ 와 동일하다 $r^{n}=1$ ^[1]

유한군 G의 경우, 다음과 같이 그룹 곱셈표에서 G의 제시를 구축할 수 있다. Take S to be the set elements $g_{i}$ of G and R to be all words of the form $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ , where $g_{i}g_{j}=g_{k}$ is an entry in the multiplication table.

대체 정의

그룹 표시의 정의는 알파벳 $S\cup S^{-1}$ $S\cup S^{-1}$ - $S\cup S^{-1}$ ${\$ S $\cupt$ S $^{-1}$ 에 있는 단어의 동등성 등급 측면에서 대체적으로 다시 제시될 수 있다 $S\cup S^{-1}$ 이 관점에서 각 동작이 추가 또는 제거로 구성되는 일련의 동작에 의해 한 단어에서 다른 단어로 이동하는 것이 가능하다면 두 단어가 동등하다고 선언한다.g $S$ 의 일부 $x$ 에 대해 $x^{-1}x$ 또는 relator의 연속 복사본을 추가하거나 제거하여 x $xx^{-1}$ - $xx^{-1}$ x ${\$ 또는 $xx^{-1}$ $x^{-1}x$ - $x^{-1}x$ $x^{-1}x$ $x^{-1}x$ 를 연속 $xx^{-1}$ 으로 구성. 그룹 요소는 동등성 등급이며, 그룹 운영은 결합이다.^[1]

이러한 관점은 결합집단 이론 분야에서 특히 흔하다.

정밀하게 제시된 그룹

표시는 S가 유한하면 미세하게 생성되고 R이 유한하면 미세하게 연관된다고 한다. 만약 둘 다 유한하다면 그것은 유한한 표현이라고 한다. 그룹이 미세하게 생성되는 프레젠테이션(존중하게 연관되어 있으며, 한정된 프레젠테이션)이 있는 경우 그룹이 미세하게 생성된다(존중하게 연관되어 있는 프레젠테이션은 유한하다. 단일 관계를 가진 유한한 프리젠테이션을 가진 그룹을 1-릴레이어 그룹이라고 한다.

재귀적으로 표시되는 그룹

만약 S가 모든 자연수 N 또는 그것들의 유한 부분 집합으로 구성된 집합 I에 의해 지수화된다면, 우리는 자연수까지 S의 자유 그룹에서 f(w)를 계산하고 w를 계산하는 알고리즘을 찾을 수 있도록 간단한 1 대 1 코딩(또는_S 괴델 번호 지정) f : F → N을 설정하는 것이 쉽다. 그런 다음 f(U)가 재귀적(존중적으로 재귀적)인 경우 F_S 재귀적(존중적으로 열거적)의 부분집합 U를 호출할 수 있다. 위와 같이 S가 지수화되고 R이 재귀적으로 열거되는 경우, 그 프리젠테이션은 재귀적 프리젠테이션이고 해당 그룹은 재귀적으로 제시된다. 이 용법은 이상하게 보일 수 있지만, 그룹이 R을 재귀적으로 열거한 프리젠테이션을 가지고 있다면 R 재귀성을 가진 프리젠테이션을 가지고 있다는 것을 증명할 수 있다.

미세하게 제시된 모든 집단은 재귀적으로 제시되지만, 정밀하게 제시될 수 없는 집단은 재귀적으로 제시된다. 그러나 Graham Higman의 정리는 미세하게 생성된 그룹이 미세하게 표시된 그룹에 포함될 수 있는 경우에만 반복적인 프레젠테이션을 한다고 말한다. 이것으로부터 우리는 (이형성까지) 아주 미세하게 생성되는 재귀적으로 제시된 그룹들만이 있다는 것을 추론할 수 있다. Bernhard Neumann은 헤아릴 수 없이 많은 비이성형 2개의 발전기 그룹이 있다는 것을 보여주었다. 따라서 재귀적으로 제시할 수 없는 정밀하게 생성된 집단이 있다.

역사

발전기와 관계에 의한 그룹의 가장 초기 발표 중 하나는 1856년 아일랜드 수학자 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 그의 이코사면체 집단의 발표에서 주어졌다.^[2] 첫 번째 체계적인 연구는 1880년대 초반 펠릭스 클라인의 제자 발터 폰 다이크가 주었으며, 결합 집단 이론의 기초를 닦았다.^[3]

예

다음 표에는 공통적으로 연구된 그룹에 대한 프레젠테이션의 몇 가지 예가 나열되어 있다. 각 사례에는 가능한 다른 프레젠테이션이 많이 있다는 점에 유의하십시오. 열거된 프레젠테이션이 반드시 가능한 가장 효율적인 프레젠테이션은 아니다.

그룹	프리젠테이션	평.
S의 자유 그룹	$\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	자유로운 집단은 무관계의 대상이라는 의미에서 '자유'이다.
C_n, 주기적인 순서 n	$\displaystyle \langle a\mid a^{n}\angle ,}$
D_n, 순서 2n의 이단 그룹	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(iii)^{2}\angle$	여기서 r은 회전과 f를 나타낸다.
D_∞, 무한돌파	$\langle r,f\mid f^{2},(iii)^{2}\angle$
Dic_n, dicyclick 그룹	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},ff^{-1}=r^{-1}=r^{-1}\angle }$	쿼터니온 그룹₈ Q는 n = 2일 때 특별한 경우다.
Z × Z	$\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\angle }$
Z/mZ × Z/nZ	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\angle$
S의 자유 아벨 그룹	$\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ 여기서 $\langle S\mid R\rangle$ R은 S 요소들의 모든 정류자의 집합이다.
S_n, n 기호에 대한 대칭 그룹	생성자: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ 1 $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ , $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ … , $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ - 1 ${\$ 관계: $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ = $\sigma _{i}^{2}=1$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ = $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ ± $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ 1 ${\displaystyle \sigma_{i}\\ma_{j}=\j$ }\ $mama_{j}\neq$ i $\pm$ 1 $}인 경우$ $\i}\basma _{i}\i+1}\basma _{i}=\basma _{i}\basma _{i+1}\i+1}\ }$ 마지막 세트의 관계는 로 바뀔 수 있다. ${(\displayma _{i}\ma _{i+1})^{3}=1\$ $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ = $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ 사용 $\sigma _{i}^{2}=1$	여기 σ은_i i+1번째 요소와 ih 요소를 교환하는 순열이다. σσ_i_i+1 제품은 세트 {i, i+1, i+2}의 3 사이클이다.
B_n, 땋은 그룹	생성자: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ 1 $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ , $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ … , $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ - 1 ${\$ 관계: $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ = $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ ± $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ 1 ${\displaystyle \sigma_{i}\\ma_{j}=\j$ }\ $mama_{j}\neq$ i $\pm$ 1 $}인 경우$ $\i}\basma _{i}\i+1}\basma _{i}=\basma _{i}\basma _{i+1}\i+1}\ }$	대칭 그룹과의 유사성에 유의하십시오. 유일한 차이점은 관계 $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ $\sigma _{i}^{2}=1$ = 1 $\sigma _{i}^{2}=1$ 의 제거입니다 $\sigma _{i}^{2}=1$
V₄ ≅ D₂, 클라인 4 그룹	$\langles,t\mid s^{2},t^{2},(st)^{2}\angle$
T ≅ A₄, 사면체군	$\langles,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangele$
O₄ ≅ S, 팔면체	$\langles,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangele$
I₅ ≅ A, icosaheadral group.	$\langles,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\angle$
Q₈, 쿼터니언 그룹	$\langle i,j\mid i^{4}j=i,iji=ji=j\angle \,$	다른 프레젠테이션은 위의 Dic과_n n=2를 참조하십시오.
SL(2, Z)	$\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\angle }$	토폴로지적으로 a와 b는 딘이 토러스 위에서 비틀어지면서 시각화될 수 있다.
GL(2, Z)	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangele }$	비경쟁 Z/2Z – SL(2, Z)의 그룹 확장
PSL(2, Z), 모듈형 그룹	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\angle$	PSL(2, Z)은 주기 그룹 Z/2Z와 Z/3Z의 자유 제품이다.
하이젠베르크 군	$\langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\angle }$
BS(m, n), Baumslag-Solitar 그룹	$\langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\angle }$
Tits군	$\langle a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},(ab)^{4}ab^{-1}^{6}\angle$	[a, b]는 정류자다.

정밀하게 제시되지 않은 정밀하게 생성된 그룹의 예로는 화환 제품 $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ ${\$ 이 $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ $($ 가) 있다.

몇 가지 정리

정리. 각 그룹마다 발표회가 있다.

이것을 보기 위해서, 그룹 G에 대해서, 그룹 G에 대해서 자유 그룹 F를_G 고려한다. 자유 그룹의 보편적 속성에 의해서, G에 대한 제한이 정체성 맵인 독특한 그룹 $동형성$ $f G$ : $F$ → G가 존재한다. K를 이 동형성의 알맹이가 되게 하라. 그 다음 K는 F에서_G 정상이므로 정상 폐쇄와 같으므로 $gG$ K $=$ = $F G$ / $K$ . 정체성 지도가 처절하기 때문에 φ도 처절하기 때문에 제1차 이소모르피즘 정리에서는 $⟨ G$ K⟩ im $im(φ)$ = $G$ . 이 프레젠테이션은 G와 K 둘 다 필요 이상으로 크면 매우 비효율적일 수 있다.

코롤러리. 모든 유한 집단은 유한한 표현력을 가지고 있다.

발전기를 위한 그룹의 요소와 관계를 위한 케이리 표를 가져갈 수 있다.

노비코프-보네 정리

그룹 문제라는 단어에 대한 부정적 해결책은 u, v, 두 단어로 그룹 내에서 u와 v가 동일한 요소를 기술하는지 여부를 결정하는 알고리즘이 없는 유한한 프레젠테이션 $sS$ R⟩이 있다고 명시한다. 이것은 1955년^[4] 표트르 노비코프에 의해 보여졌고 1958년 윌리엄 분에 의해 다른 증거가 얻어졌다.^[5]

시공

G가 프리젠테이션 $rS$ $R ⟩$ 을 가지고 있고 H가 프리젠테이션 $tT$ Q $⟩$ 을 가지고 있고 S와 T가 분리되어 있다고 가정하자. 그러면

프리 제품 $G$ ∗ $H$ 는 프리젠테이션 $tS,$ T $R$ , $Q ⟩$ 를 가지고 있다.
직접 제품 $G$ × $H$ 에는 $⟨ S,$ $T$ $R,$ $Q,$ [ $S,$ $T]⟩$ 가 표시되는데, 여기서 [S, T]는 S의 모든 원소가 T(cf. commutator)의 모든 원소와 통한다는 것을 의미한다.

결핍증

유한표현 $sS$ R $⟩$ 의 결핍은 S - $R$ 에 불과하며, 정밀하게 제시된 그룹 G, 즉 데프(G)의 결핍은 G의 모든표현에 대한 결핍의 최대치다. 유한집단의 결핍은 양성이 아니다. 유한군 G의 슈르 승수기는 -def(G) 발생기에 의해 생성될 수 있으며, 이 숫자가 필요한 경우 G가 효율적이다.^[6]

기하군 이론

그룹의 제시가 기하학적 그룹 이론의 의미에서 기하학을 결정한다. 하나는 미터법을 가지고 있는 Cayley 그래프를 가지고 있는데, 이 그래프는 단어 미터법이라고 불린다. 이 역시 두 가지 결과적인 순서인 약한 질서와 브루하트 질서와 그에 상응하는 하세 도표다. 중요한 예는 Coxeter 그룹에 있다.

또한 이 그래프의 일부 특성(굵은 기하학)은 고유하며, 생성자의 선택과 무관하다는 것을 의미한다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c Peifer, David (1997). "An Introduction to Combinatorial Group Theory and the Word Problem". Mathematics Magazine. 70 (1): 3–10. doi:10.1080/0025570X.1997.11996491.
^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.
^ Stillwell, John (2002). Mathematics and its history. Springer. p. 374. ISBN 978-0-387-95336-6.
^ Novikov, Pyotr S. (1955), "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (in Russian), 44: 1–143, Zbl 0068.01301
^ Boone, William W. (1958), "The word problem" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences, 44 (10): 1061–1065, Bibcode:1958PNAS...44.1061B, doi:10.1073/pnas.44.10.1061, PMC 528693, PMID 16590307, Zbl 0086.24701
^ Johnson, D.L.; Robertson, E.L. (1979). "Finite groups of deficiency zero". In Wall, C.T.C. (ed.). Homological Group Theory. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 36. Cambridge University Press. pp. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl 0423.20029.

참조

Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. - 이 유용한 참고문헌에는 모든 소규모 유한 그룹, 반사 그룹 등의 프레젠테이션 표가 수록되어 있다.
Johnson, D. L. (1997). Presentations of Groups (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2. - 슈레이어의 방법, 닐슨의 방법, 프리프레젠테이션, 부분군 및 HNN 확장, 골로드-샤파레비치 정리 등
Sims, Charles C. (1994). Computation with Finitely Presented Groups (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8. - 이론 컴퓨터 과학, 계산 번호 이론, 계산 조합 대수학 등의 기본 알고리즘

외부 링크

[Peifer-1] Peifer, David (1997). "An Introduction to Combinatorial Group Theory and the Word Problem". Mathematics Magazine. 70 (1): 3–10. doi:10.1080/0025570X.1997.11996491.

[2] Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

[stillwell374-3] Stillwell, John (2002). Mathematics and its history. Springer. p. 374. ISBN 978-0-387-95336-6.

[4] Novikov, Pyotr S. (1955), "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (in Russian), 44: 1–143, Zbl 0068.01301

[5] Boone, William W. (1958), "The word problem" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences, 44 (10): 1061–1065, Bibcode:1958PNAS...44.1061B, doi:10.1073/pnas.44.10.1061, PMC 528693, PMID 16590307, Zbl 0086.24701

[6] Johnson, D.L.; Robertson, E.L. (1979). "Finite groups of deficiency zero". In Wall, C.T.C. (ed.). Homological Group Theory. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 36. Cambridge University Press. pp. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl 0423.20029.

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