아핀 루트 시스템

수학에서 아핀 루트 시스템은 유클리드 공간의 아핀-선형 함수의 루트 시스템이다.아핀 리알헤브라와 슈퍼알게브라의 분류에 사용되며, 세미이 구현 p-adic 대수집단의 분류에 사용되며, 맥도날드 다항식 계열에 해당한다.감소된 아핀 루트 시스템은 Kac-Moody Algebras에 대한 연구에서 Kac과 Moody에 의해 사용되었다.아마도 축소되지 않은 압착 루트 시스템은 맥도날드(1972)와 브루하트 & 티츠(1972)에 의해 도입되고 분류되었다(이 두 논문 모두 실수로 Dynkin 도표를 생략한 것은 제외).

정의

E는 아핀 공간이고 V는 그 번역의 벡터 공간이다.V가 E에 대해 충실하게 그리고 트랜스적으로 행동한다는 것을 상기하라.특히 ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle u,v\in$ E$\}$인 경우, v -${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u-v}$로 표시된 V의 요소를 잘 정의하여 $v$ +${\displaystyle }$w${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v+w=u}$와 같은 유일한 요소$.$

이제 V에 스칼라 제품$({\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle$(\$cdot ,\cdot )}$이(가) 있다고 가정합시다.이것은 E에 대한 메트릭스를 $d{\displaystyle (u}$,${\displaystyle }$v${\displaystyle }$) =${\displaystyle }$( ${\displaystyle u}$- ${\displaystyle v}$,${\displaystyle u}$ -${\displaystyle v}$ ) ${\$로 정의한다$.$

Consider the vector space F of affine-linear functions ${\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }$. Having fixed a ${\displaystyle x_{0}\in E}$, every element in F can be written as ${\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}$ with ${\display$${\displaystyle {스타일\mathrm{}}_{}}$ $Df}$ x 0 ${\$의 선택에 따라 달라지지 않는 V의$$ 선형 함수$.$

Now the dual of V can be identified with V thanks to the chosen scalar product and we can define a product on F as ${\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}$. Set ${\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}$ and ${\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{($${\displaystyle v}$$,v)}}}:$ 모든$$ f ${\displaystyle \in }$ F ${\displaystyle$ f\$in F} 및$ v$$ ${\displaystyle v}$V ${\displaystyle$ v\$in V}$에 대해 각각$$.식별을 통해 다음과 같은 방법으로 E에 $대한$ w ${\displaystyle f_{}}$ ${\$의 반사를 정의할 수 있다.

${\displaystyle w_{f}(x)=x-f^{\be }(x)Df}$

${\displaystyle w_{}}$ ${\$의 위치를 바꿈으로써 F에도 다음과 같이 작용한다$$.

${\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee }g)f}$

어핀 루트 시스템은 다음과 같은$$ 부분 집합 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \in }$ F ${\displaystyle S\in F}$이다.

S의 원소를 아핀뿌리라고 한다.${\displaystyle w}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle$ $w$$(S)}$을(를$)$ 사용하여 ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle$$$w_${$$a$}}에$$ 의해 생성된 그룹을 표시하십시오$.$ 또한 $우리$는 요청한다.

$즉{\displaystyle }$, 어떤 두 $콤팩트{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$, ${\displaystyle H}$e ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K,H,\subseteq E$$}$에 대해 w${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle w(K$)${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle w(K)\cap h\neq \varnothing }$의 요소가 유한한$$ 숫자임을$$ 의미한다.

분류

아핀 루트 시스템 A₁ = B = B₁ = C^∨
₁₁ = C는^∨
₁ 동일하며, 쌍 B₂ = C₂, 쌍₃ B^∨
₂ = C와^∨
₂ A = D도₃ 동일하다.

표에 제시된 궤도의 수는 Weyl 그룹 아래의 단순 뿌리의 궤도의 수입니다.Dynkin 도표에서, 축소되지 않은 단순근 α (2α a root)는 녹색으로 되어 있다.시리즈의 첫 번째 Dynkin 도표는 때때로 다른 도표들과 같은 규칙을 따르지 않는다.

아핀 루트 시스템	궤도수	딘킨 도표
An(n ≥ 1)	2 if n=1, 1 if if if n an ne2	, , , , ...
Bn (n ≥ 3)	2	, ,, ...
B∨ n (n ≥ 3)	2	, ,, ...
Cn (n ≥ 2)	3	, , , ...
C∨ n (n ≥ 2)	3	, , , ...
BCn(n ≥ 1)	2 if n=1, 3 if if n n 2	, , , , ...
Dn (n ≥ 4)	1	, , , ...
E6	1
E7	1
E8	1
F4	2
F∨ 4	2
G2	2
G∨ 2	2
(BCnn, C) (n 1 1)	3 if n=1, 4 if ne2	, , , , ...
(C∨ n, BCn) (n ≥ 1)	3 if n=1, 4 if ne2	, , , , ...
(Bn, B∨ n) (n ≥ 2)	4 if n=2, 3 if ne3	, , ,, ...
(C∨ n, Cn) (n ≥ 1)	4 if n=1, 5 if if ne2	, , , , ...

등급별 불분해성 부착근계

1위: A₁, BC₁, (BC₁, C₁), (C^∨
₁, BC₁), (C^∨
₁, C₁)

2위: A₂, C₂, C^∨
₂, BC₂, (BC₂, C₂), (C^∨
₂₂, BC₂^∨
₂), (B^∨
₂, B₂), (C₂, C), G, G^∨
₂.

3위: A₃, B, B₃^∨
₃, C₃, C^∨
₃, BC₃, (BC₃, C₃), (C^∨
₃, BC₃), (B₃^∨
₃, B), (C^∨
₃, C₃)

4위: A₄, B, B₄^∨
₄, C₄, C^∨
₄, BC₄, (BC₄, C₄), (B^∨
₄₄, B₄^∨
₄), (C^∨
₄, C₄), D₄₄, F, F^∨
₄.

5위: A₅, B₅, B^∨
₅, C₅, C^∨
₅, BC₅, (BC₅, C₅), (B^∨
₅₅₅, B^∨
₅), (C^∨
₅₅, C), D₅.

순위 6: A₆, B₆, B^∨
₆, C₆, C^∨
₆, BC₆, (BC₆, C₆), (B^∨
₆₆, B₆^∨
₆), (C^∨
₆₆, C), D₆, E₆,

7위: A₇, B₇, B^∨
₇, C₇, C^∨
₇, BC₇, (BC₇, C₇), (B^∨
₇₇, B₇^∨
₇), (C^∨
₇₇, C), D₇, E₇,

8위: A₈, B, B₈^∨
₈, C₈, C^∨
₈, BC₈, (BC₈, C₈), (B^∨
₈₈, B₈^∨
₈), (C^∨
₈₈, C), D₈, E₈,

랭크 n (n)8: A_n, B_n, B^∨
_n, B, C_n^∨
_n, C, BC_n, (BC_nn^∨
_n, C), (B_n, B_n^∨
_n), (C^∨
_nn, C), D_n.

적용들

• 맥도날드(1972)는 아핀 루트 시스템이 맥도날드 정체성을 지수화하는 것을 보여주었다.
• Bruhat & Tits(1972)는 p-adic 대수학 그룹을 연구하기 위해 아핀 루트 시스템을 사용했다.
• 감소된 아핀 루트 시스템은 아핀 카크-무디 알헤브라를 분류하는 반면, 감소되지 않은 아핀 루트 시스템은 아핀 리 슈퍼알제브라와 일치한다.
• 맥도날드(2003)는 아핀 루트 시스템이 맥도날드 다항식의 가족을 지수화한다는 것을 보여주었다.

참조

• Bruhat, F.; Tits, Jacques (1972), "Groupes réductifs sur un corps local", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41: 5–251, doi:10.1007/bf02715544, ISSN 1618-1913, MR 0327923
• Macdonald, I. G. (1972), "Affine root systems and Dedekind's η-function", Inventiones Mathematicae, 15: 91–143, Bibcode:1971InMat..15...91M, doi:10.1007/BF01418931, ISSN 0020-9910, MR 0357528
• Macdonald, I. G. (2003), Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, pp. x+175, doi:10.2277/0521824729, ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581