자동 그룹

수학에서 자동군은 여러 개의 유한 상태 오토마타를 갖춘 완전히 생성된 군이다.이 오토마타는 그룹의 케일리 그래프를 나타냅니다.즉, 그룹 요소의 주어진 단어 표현이 "표준적 형식"인지 아닌지를 알 수 있고, 표준 단어에 주어진 두 요소가 ^[1]생성자에 의해 다른지 여부를 알 수 있습니다.

좀 더 정확히 말하면, G를 그룹으로 하고 A를 유한한 생성자 집합으로 하자.다음으로 A에 대한 G의 자동 구조는 유한 상태 ^[2]오토마타 집합이다.

단어 수용체(Word-acceptor)는 G의 모든 요소에 대해 이를 나타내는 $A^{\ast }$ A ${\$ {\ $displaystyle$ A^{\ $ast$ }} 내의 $A^{\ast }$ 를 하나 이상 수용한다.
w = $w_{1}a=w_{2}$ {\displaystyle $w_{1$ } $a=w_{2$ }일 $w_1 a = w_2$ 때 $w_{1}a=w_{2}$ w $w_{1}a=w_{2}$ w 2 {\ $displaystyle$ w_{1 $}$ a=w_{2}일 때 워드_i 수용자가 쌍(w₁, w₂)을 수용하는 각 $a\in A\cup \{1\}$ $a\in A\cup \{1\}$ A $a\in A\cup \{1\}$ { 1 $a\in A\cup \{1\}$ } { 1 } { $displaystyle$ a\ $in$ A\cup \ { $1\$ cup \ {1 $a\in A\cup \{1\}$ } } } } {\cup \ {\cup \ {\cup\cup\cup \ {\cup \ {\} } } } }

자동 속성은 ^[3]생성기 집합에 따라 달라지지 않습니다.

특성.

자동 그룹에는 2차 시간 내에 풀 수 있는 단어 문제가 있습니다.보다 강력하게는, 주어진 단어를 2차 시간 내에 실제로 표준 형식으로 만들 수 있으며, 이에 기초하여 두 단어의 표준 형식이 동일한 요소를 나타내는지 여부를 테스트함으로써 단어 문제를 해결할 수 있다( $= 1에$ 승수 $사용$ ). $a=1$ ^[4]

자동 그룹은 동료 여행자 ^[5]속성으로 특징지어집니다. $d(x,y)$ ( $d(x,y)$ , $d(x,y)$ ) { $displaystyle$ d ( $x$ , y ) { $displaystyle$ $x,y\in G$ d ( x , $y$ $d(x,y)$ )는 $d(x,y)$ G의 $G$ 케일리 $그래프$ 에서 x $x,y\in G$ , $y$ G $사이$ 의 $x,y\in G$ $x,y\in G$ 를 나타냅니다.그러면 단어 수용체 L에 대해 G는 C $C\in \mathbb {N}$ N $C\in \mathbb {N}$ $Display Cbbin$ \ $mathbin$ \ mathbin \ $}$ 이 있는 경우에만 자동으로 설정됩니다. $u,v\in L$ (\ $displaystyle u,v\in$ L $)$ (최대 1개의 발전기 차이)는 $u,v\in L$ u와 v의 각 접두사 사이의 거리는 C로 제한됩니다. $즉$ , $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ $,$ $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ 1 $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ 、 $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ ( $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ k , $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ k ) $\forall u,v\in L,d(u,v)\leq 1\Rightarrow \forall k\in \mathbb {N} ,d(u_{|k},v_{|k})\leq C$ C \ displaystyle \ $for u , v$ \ $in$ L , $d$ ( $u$ , v ) \ $leq$ 1 \ $rightarrow$ \ $forall kin$ \ $mathbbbb$ { N } , k _ $du$ 、 { $du$ } 。 $k>|w|$ k $k>|w|$ > $k>|w|$ \ $displaystyle$ k > $w$ } $k>|w|$ 。즉, 단어를 동기적으로 읽을 때 상태 수가 유한한 두 요소 간의 차이를 추적할 수 있습니다(캐일리 그래프에서 직경 C의 동일성 주변).

자동 그룹의 예

자동 그룹에는 다음이 포함됩니다.

유한 그룹이것을 알기 위해서는 정규 언어가 유한군에 속하는 모든 단어의 집합이 되어야 한다.
유클리드 군
모든 Coxeter 그룹^[6] 최종 생성
기하학적으로 유한한 군

비자동 그룹의 예

쌍자동군

그룹은 2개의 곱셈 오토마타를 가지면 생성 집합의 요소에 의한 좌우 곱셈에 대해 쌍자동이다.쌍자동 그룹은 분명히 ^[7]자동이다.

예를 들어 다음과 같습니다.

쌍곡선 군.^[8]
브레이드 ^[8]그룹을 포함한 유한 유형의 Artin 그룹.

자동 구조

유한 오토마타로 대수 구조를 기술하는 개념은 군에서 다른 ^[9]구조까지 일반화될 수 있다.예를 들어, 자동 ^[10]반군으로 자연스럽게 일반화됩니다.

레퍼런스

^ 를 클릭합니다Epstein, David B. A.; Cannon, James W.; Holt, Derek F.; Levy, Silvio V. F.; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Word Processing in Groups, Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0.
^ Epstein 외 연구진(1992), 섹션 2.3, "자동 그룹:정의", 페이지 45-51.
^ 엡스타인 외 연구진(1992년), 섹션 2.4, "발전기 변경에 따른 불변성", 52-55페이지.
^ 엡스타인 외 연구진(1992), 정리 2.3.10, 페이지 50.
^ Campbell, Colin M.; Robertson, Edmund F.; Ruskuc, Nik; Thomas, Richard M. (2001), "Automatic semigroups" (PDF), Theoretical Computer Science, 250 (1–2): 365–391, doi:10.1016/S0304-3975(99)00151-6
^ Brink and Howlett (1993), "A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, doi:10.1007/bf01445101, ISSN 0025-5831.
^ Birget, Jean-Camille (2000), Algorithmic problems in groups and semigroups, Trends in mathematics, Birkhäuser, p. 82, ISBN 0-8176-4130-0
^ ^a ^b Charney, Ruth (1992), "Artin groups of finite type are biautomatic", Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007/BF01444642
^ Khoussainov, Bakhadyr; Rubin, Sasha (2002), Some Thoughts On Automatic Structures, CiteSeerX 10.1.1.7.3913
^ 엡스타인 외 연구진(1992), 섹션 6.1, "반군과 특수화 원리", 페이지 114–116.

추가 정보

를 클릭합니다Chiswell, Ian (2008), A Course in Formal Languages, Automata and Groups, Springer, ISBN 978-1-84800-939-4.

[1] 를 클릭합니다Epstein, David B. A.; Cannon, James W.; Holt, Derek F.; Levy, Silvio V. F.; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Word Processing in Groups, Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0.

[2] Epstein 외 연구진(1992), 섹션 2.3, "자동 그룹:정의", 페이지 45-51.

[3] 엡스타인 외 연구진(1992년), 섹션 2.4, "발전기 변경에 따른 불변성", 52-55페이지.

[4] 엡스타인 외 연구진(1992), 정리 2.3.10, 페이지 50.

[5] Campbell, Colin M.; Robertson, Edmund F.; Ruskuc, Nik; Thomas, Richard M. (2001), "Automatic semigroups" (PDF), Theoretical Computer Science, 250 (1–2): 365–391, doi:10.1016/S0304-3975(99)00151-6

[BrinkAndHowlett-6] Brink and Howlett (1993), "A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, doi:10.1007/bf01445101, ISSN 0025-5831.

[7] Birget, Jean-Camille (2000), Algorithmic problems in groups and semigroups, Trends in mathematics, Birkhäuser, p. 82, ISBN 0-8176-4130-0

[charney-8] Charney, Ruth (1992), "Artin groups of finite type are biautomatic", Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007/BF01444642

[9] Khoussainov, Bakhadyr; Rubin, Sasha (2002), Some Thoughts On Automatic Structures, CiteSeerX 10.1.1.7.3913

[10] 엡스타인 외 연구진(1992), 섹션 6.1, "반군과 특수화 원리", 페이지 114–116.

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