그라데트 포셋

포함에 의해 부분적으로 정렬되고 요소 수로 정의된 등급이 있는 전원 집합은 등급이 지정된 포지션을 형성한다.

수학에서 콤비네이터학에서 등급이 매겨진 포셋은 모든 자연수의 P에서 N까지의 순위 함수 function을 갖춘 부분 순서 집합(포셋) P이다.ρ는 다음 두 가지 특성을 만족시켜야 한다.

순위 함수는 순서와 호환되는데, 즉 x < y의 순서에 따라 모든 x와 y에 대해 ρ(x) < ρ(y)의 경우여야 한다.
순위는 순서의 커버링 관계와 일치하며, 즉 y가 x를 커버하는 모든 x와 y에 대해 ρ(y) = ρ(x) + 1이 되어야 한다.

포셋의 요소에 대한 순위 함수의 값을 그 순위라고 한다.등급이 매겨진 포셋을 순위 포셋이라고 부르기도 하지만 그 구절에는 다른 의미가 있다. 순위 포셋을 참조하십시오.등급이 매겨진 포셋의 순위 또는 순위 수준은 주어진 순위 값을 갖는 포셋의 모든 요소의 하위 집합이다.^[1]^[2]

등급이 매겨진 포지션은 결합에 중요한 역할을 하며 하세 다이어그램을 통해 시각화할 수 있다.

예

등급이 매겨진 포셋(괄호 안에 순위 함수가 있음)의 몇 가지 예는 다음과 같다.

자연수 N(순위: 숫자 자체) 또는 이 포셋의 일정 간격 [0, N],
Nⁿ, 제품 순서(구성 요소의 합계) 또는 그 하위 포셋(간격의 산물)과 함께,
고정 N의 구분자에 의해 형성된 부포 또는 부포성에 의해 순서가 지정된 양의 정수,
집합의 유한 부분 집합의 부울 격자(부분 집합의 요소 수)
세트의 칸막이를 미세하게 많은 부품으로 분할하고 역정밀(부품 수)으로 정렬하는 격자
정제(X의 요소 수에서 부품 수를 뺀 X의 요소 수)에 의해 정렬된 유한한 집합 X의 격자
약하거나 강한 브루하트 순서에 의해 정렬되고 단어 길이별로 순위를 매긴 그룹 및 생성 세트 또는 그에 동등한 수준의 Cayley 그래프.
- 특히 Coxeter 그룹의 경우, 예를 들어 약하거나 강한 Bruhat 순서(주변 반전 수)를 사용하여 완전히 순서가 지정된 n-element 세트의 순열
벡터 공간의 서브스페이스 격자(하위 공간의 간격)와 같은 기하학적 격자
다른 포셋의 유한 하한 집합의 분배 격자(요소 수)
Young의 격자, 이전 예제의 특정 예(Young 다이어그램의 상자 수)
볼록한 폴리토프의 면 격자(얼굴에 1 더하기),
추상 폴리토페스("최소 얼굴에서 거리", 1을 뺀 값),
추상적 단순화 콤플렉스(simplex의 요소 수)

대체 특성화

격자 N은₅ 등급이 매겨지지 않는다.

경계 포셋은^[3] P의 모든 최대 사슬의 길이가 같은 경우에만 등급을 인정한다.^[4] 즉, 최소 요소의 순위를 0으로 설정하면 순위 함수가 완전히 결정된다.이것은 많은 유한한 관심사례를 포함한다. 부정적인 예는 그림을 보라.그러나 한이 없는 포지션은 더 복잡할 수 있다.

순서와 호환되는 후보 순위 함수는 x < z와 n+1의 z가 있을 때마다 x ≤ y < z로 n의 요소 y를 찾을 수 있는 경우에만 등급이 매겨진 포셋으로 포셋을 만든다.이 조건은 z를 x의 표지로 삼을 경우 x와 z의 순위가 1씩 다르다는 것을 보여주는 y = x만이 가능한 선택이며, 등급이 매겨진 포셋에서는 항상 존재하고 z로 덮인 x ≤ y < z로 최대 순위 요소를 취할 수 있기 때문에 필요하다.

예를 들어, 포지셋의 요소가 일부 베이스 세트 B의 유한 부분 집합인 경우, 포지셋의 요소 수를 취할 수 있다.그러면 방금 주어진 기준은 커버에 대한 언급을 회피하기 때문에 정의보다 더 실용적일 수 있다.예를 들어, B 자체가 포셋이고 P가 유한 하한 집합(모든 원소와 함께 모든 작은 원소가 하위 집합에 있는 하위 집합)으로 구성되어 있다면, 그 기준은 자동으로 충족되는데, 하위 집합의 경우 항상 x ⊆ z에 없는 z의 최대 원소가 존재하며, 그것은 z에서 y를 형성하기 위해 제거될 수 있기 때문이다.

볼록 폴리토프의 얼굴 격자와 같은 일부 일반적인 자세에서는 치수별로 자연적인 등급이 매겨져 있는데, 순위 기능으로 사용하면 최소 요소인 빈 얼굴, 순위 –1을 얻을 수 있다.이러한 경우 순위 함수에 허용되는 값 집합에 값 –1을 결합하여 위에서 설명한 정의를 구부리는 것이 편리할 수 있다.그러나 임의의 정수를 등급으로 허용하면 근본적으로 다른 개념을 갖게 될 것이다. 예를 들어 최소 요소의 존재는 더 이상 보장되지 않을 것이다.

등급이 매겨진 포지셋(양수 정수 등급)은 가장 큰 요소 x를 가진 임의로 긴 체인이 존재하는 요소 x를 가질 수 없으며, 그렇지 않으면 임의로 작은(결국 음수) 순위 요소를 가져야 하기 때문이다.예를 들어, 정수(일반적인 순서)는 등급이 매겨진 포셋이 될 수 없으며, 합리적 또는 실제 숫자의 간격(원소가 둘 이상 있는 경우)이 될 수 없다. (특히 등급이 매겨진 포셋은 근거가 충분하며, 이는 내리막 체인 조건(DCC)을 만족한다는 것을 의미하며, 무한 내림프링 체인을 포함하지 않는다.)^[5]따라서 우리는 이러한 일이 발생하지 않는 상황만을 고려해야 한다.이것은 x < y가 될 때마다 표지를 여러 번 반복해서 선택함으로써 x에서 y까지 얻을 수 있다는 것을 암시한다.또한 (정수 순위 함수의 경우) ρ과 순서의 호환성은 커버에 관한 요건으로부터 다음과 같은 것을 의미한다.등급이 매겨진 포지션의 정의의 변종으로서, Birkhoff는^[6] 순위 함수가 임의의 정수 값(비음수만이 아닌)을 가질 수 있도록 허용한다.이 변종에서 정수는 그의 설정에서 (아이덴티티 함수에 의해) 등급이 매겨질 수 있으며, 순서와 등급의 호환성은 중복되지 않는다.세 번째 변종으로서, Brightwell과 West는^[7] 순위 함수를 정수값으로 정의하지만 순서와의 호환성은 요구하지 않는다. 따라서 이 변종은 예를 들어 커버에 대한 요구사항이 비어 있기 때문에 어떤 함수로도 실제 숫자의 등급을 매길 수 있다.

예를 들어, 등급이 지정된 포셋은 오름차순 체인 조건(ACC)을 충족할 필요가 없다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 자연 번호는 $0<1<2<\cdots$ 인 $0<1<2<\cdots$ < 1 $0<1<2<\cdots$ < 2 < $0<1<2<\cdots$ ⋯> $0<1<2<\cdots$ {\ $displaystyle 0 <1<2$ <\ $cdots }}$ 을 $0<1<2<\cdots$ 를) 포함한다.)을 포함한다.

비교가능성 그래프의 연결된 모든 구성요소가 등급이 매겨진 경우에만 포지셋의 등급이 매겨지므로, 추가 특성화에서는 이 비교가능성 그래프를 연결한다고 가정할 것이다.연결된 각 구성 요소에서 순위 함수는 균일한 이동까지만 고유하다(따라서 항상 순위 함수를 선택하여 연결된 구성 요소에서 최소 순위 요소가 순위 0을 갖도록 할 수 있다.

P에 최소 요소 ô이 있는 경우 등급이 매겨지는 것은 모든 요소 x에 대해 [ô, x] 구간의 모든 최대 체인의 길이가 같다는 조건과 동일하다.이 조건은 최대 사슬의 모든 단계가 커버링 관계이기 때문에 필요하며, 이것은 순위를 1로 변경해야 한다.또한 조건이 충족되면 언급된 길이를 사용하여 x의 순위를 정의할 수 있으며(유한 체인의 길이는 "계단"의 수로서 원소의 수보다 한 개 작다), x가 y를 덮을 때마다 [ô,y]의 최대 체인에 인접한 x는 [ô,x]에서 최대 체인을 주기 때문에 충분하다.

또한 P가 가장 큰 요소인 î(경계된 포셋이 되도록)을 갖는 경우, 이전 조건을 P의 모든 최대 체인 길이가 같은(마인드) 요건으로 단순화할 수 있다.이것은 [XX,x]의 어떤 쌍의 최대 체인이라도 P의 최대 체인 한 쌍을 주기 위해 [x, î]의 최대 체인 한 쌍으로 확장할 수 있기 때문에 충분하다.

참고 스탠리는 모든 최대 체인의 길이가 n인 경우 길이 n의 등급을 매길 것을 정의한다(Stanley 1997, 페이지 99).이 정의는 이자가 대부분 유한양점에 있는 맥락에서 주어지며, 비록 이 책이 후속적으로 "길이 n의 부분"을 삭제하는 경우가 많지만, (1) 최대 사슬이 무한하고, 특히 (2) 임포(impo)를 배제하는 포셋에 대해서는 아무 말도 하지 않기 때문에, 일반 포셋에 대해 "분절된"의 정의로 사용하는 것은 적절해 보이지 않는다.영의 격자무늬 같은 단조로운 사진들또한, 스탠리가 그것을 요구한다는 것을 분명히 하는 예시를 제시하더라도, 등급이 매겨진 포지션에서 모든 최소 요소뿐만 아니라 모든 최대 요소도 같은 길이를 가져야 하는 이유는 명확하지 않다(ibid, pp.216 및 219

통상적인 경우

콤비네이터학에서 많은 저자들은 P의 모든 최소 요소가 0위를 가져야 하고 더욱이 어떤 최대 요소의 순위인 최대 순위 r이 있어야 하는 방식으로 등급이 매겨진 포지션을 정의한다.그 다음에 등급이 매겨진다는 것은 위에서 표시한 대로 모든 최대 사슬의 길이가 r이라는 것을 의미한다.이 경우 P의 등급은 r등급이라고 한다.

게다가 이 경우 순위 레벨에 순위 번호 또는 Whitney 번호 $W_{0},W_{1},W_{2},...$ $W_{0},W_{1},W_{2},...$ $W_{0},W_{1},W_{2},...$ $W_{0},W_{1},W_{2},...$ , $W_{0},W_{1},W_{2},...$ $W_{0},W_{1},W_{2},...$ , $W_{0},W_{1},W_{2},...$ . $W_{0},W_{1},W_{2},...$ . . ${\$ $displaystyle$ $W_{0},W_{1},W_$ ${2$ }}, 이 $W_{0},W_{1},W_{2},...$ 숫자들은 순위 I를 가진 P 요소의 수인 $W_{i}$ 에 의해 정의된다. $W_{0},W_{1},W_{2},...$ $W_{i}$

휘트니 숫자들은 많은 중요한 조합 이론과 연관되어 있다.대표적인 예가 다음과 같이 공식화할 수 있는 슈페너의 정리다.

모든 유한 집합 $S$ ${\displaystyle {\$ $mathcal {P}(S)}$ 파워셋 ${\mathcal {P}}(S)$ $($ 에 대해 Sperner 계열의 최대 $S$ 카디널리티는 최대 Whitney 번호와 동일하다.

이는 다음을 의미한다.

모든 한정된 파워셋은 Sperner 속성을 가지고 있다.

참고 항목

등급(수학)
프리웰오더링 – 표준이 있는 프리웰오더링은 등급이 매겨진 포지셋과 유사하며, 지도와 서수 간 지도를 함께 정수로 대체한다.
등급이 매겨진 두 개의 포셋을 결합하는 방법인 스타 제품

메모들

^ Stanley, Richard (1984), "Quotients of Peck posets", Order, 1 (1): 29–34, doi:10.1007/BF00396271, MR 0745587, S2CID 14857863.
^ Butler, Lynne M. (1994), Subgroup Lattices and Symmetric Functions, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 539, American Mathematical Society, p. 151, ISBN 9780821826003.
^ 최소한의 요소와 가장 큰 요소를 가지고 있다는 뜻이지.
^ 즉, $x<z_{1}<y$ < $x<z_{1}<y$ $x<z_{1}<y$ < y ${\displaystyle$ x < $z_{1}>$ 와 $x<z_{1}<y$ $x$ $x<w_{1}<w_{2}<y$ < $x<w_{1}<w_{2}<y$ $x<w_{1}<w_{2}<y$ < $x<w_{1}<w_{2}<y$ 2 $x<w_{1}<w_{2}<y$ < y ${\displaystyle x <w_{1}>$ 와 같은 상황은 발생하지 않는다 $x<w_{1}<w_{2}<y$ .
^ 물론 고정된 요소에서 시작하는 임의의 긴 하강 사슬을 포함하지 않는 것은 무한 하강 사슬을 배제한다.그러나 이전 조건은 엄격히 강화된다 $.$ 세트 $∪{\$ $displaystyle$ $\mathb {N} \cupt$ \cupt $\}$ $cupty \}$ 에서 임의로 내려오는 긴 체인을 가졌지만 $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 무한 내림차 체인은 없다 $\infty$
^ '잠자리 이론'입니다, 암.수학. Soc, Colorquium 출판물, Vol.25, 1967, 페이지 5
^ 참조 [2], 페이지 722를 참조하십시오.

참조

Stanley, Richard (1997). Enumerative Combinatorics (vol.1, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 49). Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2.
Anderson, Ian (1987). Combinatorics of Finite Sets. Oxford, UK: Clarendon Press. ISBN 0-19-853367-5.
Engel, Konrad (1997). Sperner Theory. Cambridge, UK (et al.): Cambridge University Press. ISBN 0-521-45206-6.
Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine H. (2009). Combinatorics: The Rota Way. Cambridge, UK (et al.): Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-73794-4.

[stanley-1] Stanley, Richard (1984), "Quotients of Peck posets", Order, 1 (1): 29–34, doi:10.1007/BF00396271, MR 0745587, S2CID 14857863.

[2] Butler, Lynne M. (1994), Subgroup Lattices and Symmetric Functions, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 539, American Mathematical Society, p. 151, ISBN 9780821826003.

[3] 최소한의 요소와 가장 큰 요소를 가지고 있다는 뜻이지.

[4] 즉, $x<z_{1}<y$ < $x<z_{1}<y$ $x<z_{1}<y$ < y ${\displaystyle$ x < $z_{1}>$ 와 $x<z_{1}<y$ $x$ $x<w_{1}<w_{2}<y$ < $x<w_{1}<w_{2}<y$ $x<w_{1}<w_{2}<y$ < $x<w_{1}<w_{2}<y$ 2 $x<w_{1}<w_{2}<y$ < y ${\displaystyle x <w_{1}>$ 와 같은 상황은 발생하지 않는다 $x<w_{1}<w_{2}<y$ .

[5] 물론 고정된 요소에서 시작하는 임의의 긴 하강 사슬을 포함하지 않는 것은 무한 하강 사슬을 배제한다.그러나 이전 조건은 엄격히 강화된다 $.$ 세트 $∪{\$ $displaystyle$ $\mathb {N} \cupt$ \cupt $\}$ $cupty \}$ 에서 임의로 내려오는 긴 체인을 가졌지만 $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 무한 내림차 체인은 없다 $\infty$

[6] '잠자리 이론'입니다, 암.수학. Soc, Colorquium 출판물, Vol.25, 1967, 페이지 5

[7] 참조 [2], 페이지 722를 참조하십시오.

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