제복5폴리토프

정규 및 균일한 폴리토페어의 그래프.

기하학에서 균일한 5폴리토프는 5차원 균일한 폴리토프다. 정의에 따르면, 균일한 5-폴리토프는 정점 변환이며 균일한 4-폴리토프 면으로 구성된다.

볼록한 제복 5폴리토프의 전체 세트는 결정되지 않았지만, 작은 대칭군에서 와이토프 건설로 많은 것을 만들 수 있다. 이러한 시공 작업은 Coxeter 다이어그램의 링 순열로 표현된다.

발견의 역사

일반 폴리탑: (콘벡스 면)
- 1852: 루트비히 슐레플리는 그의 원고인 Theory der Vielfachen Kontinuitett을 통해 5개 이상의 차원에 정확히 3개의 규칙적인 폴리토페가 있다는 것을 증명했다.
볼록 반정형 다상체: (Coxeter의 균일한 범주 이전의 다양한 정의)
- 1900: 소럴드 고셋은 그의 저서 'n차원 공간의 정규 및 반정규 도표에 관한 연구'에서 반정형 반정형 볼록 폴리토프 목록을 정규 면(콘벡스 정규 4폴리토프)으로 열거했다.^[1]
볼록한 균일한 폴리탑:
- 1940-1988: 이 검색은 H.S.M. Coxeter가 출판한 정규 및 준정규 폴리토페스 I, II, III에서 체계적으로 확장되었다.
- 1966: Norman W. Johnson은 박사과정을 마쳤다. Coxeter의 논문, University of Toronto University, University of University of Universal Polytopes and Honeycombs 이론
비콘벡스 균일한 폴리토페즈:
- 1966: Johnson은 논문에서 5공간에 두 개의 비콘벡스 제복 반항을 기술하고 있다.^[2]
- 2000-2021: Jonathan Bowers는 현재 1292개의 알려진 균일 5-폴리토페(콘벡스 및 비콘벡스, 프리즘 제외)를 가진 다른 비콘벡스 유니폼 5-폴리토페를 검색한다. 그 목록은 완전하다고 증명되지 않았다.^[3]

일반 5폴리톱

일반 5폴리탑은 각 면 주위에 s {p,q,r,s}개의 4폴리탑 면이 있는 슐레플리 기호 {p,q,r,s}로 나타낼 수 있다. 그러한 규칙적인 폴리탑이 정확히 세 개 있는데, 모두 볼록한 것이다.

{3,3,3,3} - 5-145x
{4,3,3} - 5-118
{3,3,4} - 5정형

5차원 이상에 비콘벡스 일반 폴리토페스는 없다.

볼록 균일 5폴리톱

수학의 미해결 문제:

제복 5폴리탑의 전체 세트는?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

104개의 알려진 볼록한 제복 5폴리탑과 다수의 무한가족의 듀오프라즘 프리즘, 그리고 폴리곤-폴리헤드론 듀오프라임이 있다. 대항정신병 프리즘을 제외한 모든 것은 콕시터 그룹과 함께 생성된 반사 대칭인 와이토프 구조에 기초한다.^{[citation needed]}

4차원 균일한 5폴리탑의 대칭

5-심플렉스(simplex)는₅ A과에 속하는 정규형식이다. 5관 5관은 B과에₅ 속하는 정규형식이다. D₅ 계열의 분기 그래프에는 5정맥과 5정맥이 번갈아 나타나는 5정맥이 들어 있다.

각 반사 균일 5 폴리토프는 Coxeter 다이어그램에서 노드 순열 주변의 링으로 대표되는 Wythoff 구성에 의해 5차원 반사 지점 그룹으로 구성될 수 있다. 미러 하이퍼플레인은 컬러 노드에서 볼 수 있듯이 짝수 분지로 구분하여 그룹화할 수 있다. [a,b,b,a] 형태의 대칭 그룹은 [3,3,3,3,3]과 같이 대칭이 확장되어 대칭 순서를 두 배로 한다. 대칭 링이 있는 이 그룹의 균일한 폴리토프는 이 확장된 대칭을 포함한다.

주어진 균일한 폴리토프에서 주어진 색상의 모든 거울이 비링(비활성)되어 있는 경우, 모든 비활성 미러를 제거하여 더 낮은 대칭 구조를 갖게 된다. 특정 색상의 모든 노드가 링(활성)된 경우, 교류 연산은 "빈" 원형 노드"로 보이는 치랄 대칭으로 새로운 5-폴리토프를 생성할 수 있지만, 일반적으로 기하학적 구조를 조정하여 균일한 솔루션을 만들 수 없다.

콕시터 다이어그램은 도표 내 패밀리 간 및 상위 대칭에 대응한다. 각 행에서 동일한 색상의 노드는 동일한 미러를 나타낸다. 블랙 노드는 통신에서 활성화되지 않는다.

기본가족^[4]

그룹 심볼	주문	브래킷 표기법	정류자 부분군	콕시터 번호를 붙이다 (h)	반사 m=5/2시간^[5]
A을₅	720	[3,3,3,3]	[3,3,3,3]⁺	6		15
D₅	1920	[3,3,3^1,1]	[3,3,3^1,1]⁺	8		20
B₅	3840	[4,3,3,3]	[3,3,3^1,1]⁺	10	5	20

균일 프리즘

비prismistic 유니폼 4-폴리토페스를 기반으로 한 폴리토페스의 유한한 범주형 균일 프리즘 계열이 5개 있다. 균일한 듀오프라임 {p}×{q}×{{}×{}}}의 프리즘을 바탕으로 5폴리탑의 무한가족이 하나 있다.

콕시터 무리를 짓다	주문	콕시터 표기법	정류자 부분군	반사
A₄A₁	120	[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ]	[3,3,3]⁺			10		1
D₄A₁	384	[3^1,1,1,2] = [3^1,1,1]×[ ]	[3^1,1,1]⁺			12		1
B₄A₁	768	[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]	[3^1,1,1]⁺		4	12		1
F₄A₁	2304	[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[3⁺,4,3⁺]		12	12		1
H₄A₁	28800	[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[5,3,3]⁺			60		1
2중격(이벤의 경우 2p 및 2q 사용)
I₂(p)I₂(q)A₁	8pq	[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ]	[p⁺,2,q⁺]		p	q		1
I₂(2p)I₂(q)A₁	16pq	[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]		p	p	q		1
I₂(2p)I₂(2q)A₁	32pq	[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]		p	p	q	q	1

유니폼 듀오프리스

균일한 폴리헤드라 및 일반 폴리곤의 카르테시아 제품을 기반으로 하는 폴리토페스의 범주형 균일 2중주의 3개 제품군({q,r}×{p})이 있다.

콕시터 무리를 짓다	주문	콕시터 표기법	정류자 부분군	반사
프리즘 그룹(짝수에는 2p 사용)
A₃I₂(p)	48p	[3,3,2,p] = [3,3]×[p]	[(3,3)⁺,2,p⁺]		6	p
A₃I₂(2p)	96p	[3,3,2,2p] = [3,3]×[2p]			6	p	p
B₃I₂(p)	96p	[4,3,2,p] = [4,3]×[p]		3	6	p
B₃I₂(2p)	192p	[4,3,2,2p] = [4,3]×[2p]		3	6	p	p
H₃I₂(p)	240p	[5,3,2,p] = [5,3]×[p]	[(5,3)⁺,2,p⁺]		15	p
H₃I₂(2p)	480p	[5,3,2,2p] = [5,3]×[2p]	[(5,3)⁺,2,p⁺]		15	p	p

볼록형 균일 5폴리톱 열거

심플렉스 패밀리: A₅ [3⁴]
- 19개의 제복 5-제복 상의
하이퍼큐브/정맥류 가족 : BC₅ [4,3³]
- 31개의 제복 5-제복 상의
Demihypercube D₅/E₅ 제품군: [3^2,1,1]
- 23개의 제복 5-제곱 상단(8개 고유)
프리즘 및 듀오프리스:
- 56 프리즘 계열에 기초한 균일한 5-제곱 (45개 고유) 건축물: [3,3]×[], [4,3]×[4,3^1,1,1]×[5,3]×[]][3]×[]]]]
- 비위토피안 - 대항정신병 프리즘은 다면 프리즘으로 연결된 2개의 대항정신병에서 만들어진 유일한 비위토피안 볼록스 제복 5폴리토프다.

그 결과: 19+31+8+45+1=104가 된다.

이외에도 다음과 같은 것들이 있다.

듀오프리즘 프리즘 계열에 기초한 5-폴리토프 건축물은 무한히 많다: [p]×[q]×[ ]].
2중주파 가문에 기초한 5중주형 구조물은 무한히 많다: [3,3]×[p], [4,3]×[p], [5,3]×[p].

A가족₅

1개 이상의 링이 있는 Coxeter 다이어그램의 모든 순열을 기준으로 한 19개의 양식이 있다.(16+4-1 사례)

그것들은 와이토프 건설 사업장의 노먼 존슨이 정기적인 5-심플렉스 (헥사테론)로 명명했다.

A₅ 계열은 순서 720 (6 요인)의 대칭을 가지고 있다. 대칭 링이 있는 Coxeter 다이어그램의 19개 그림 중 7개가 대칭이 2배인 1440번 순서다.

5-단순 대칭의 균일한 5-폴리탑 좌표는 6-공간에서 단순 정수의 순열로 생성될 수 있으며, 모두 정상 벡터(1,1,1,1,1,1,1)가 있는 하이퍼플레인에서 생성된다.

#	기준점	존슨 명명 시스템 Bowers 이름 및 (acronym) 콕시터 다이어그램	k-면 요소 계수					꼭지점 형상을 나타내다	위치별 면 계수: [3,3,3,3]
#	기준점	존슨 명명 시스템 Bowers 이름 및 (acronym) 콕시터 다이어그램	4	3	2	1	0	꼭지점 형상을 나타내다	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
1	(0,0,0,0,0,0,1) 또는 (0,1,1,1)	5와섹스 헥사테론(hix)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	(5) {3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) 또는 (0,0,1,1)	수정 5-단순 정류된 육각형(릭스)	12	45	80	60	15	t{3,3}×{ }	(4) r{3,3,3}	-	-	-	(2) {3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) 또는 (0,1,2,2,2)	잘린 5-심플렉스 잘린 육각형(tix)	12	45	80	75	30	테트라피르	(4) t{3,3,3}	-	-	-	(1) {3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2,2) 또는 (0,1,1,2,2)	캔터링 5단순 소형 고무 육각형(상어)	27	135	290	240	60	프리즘을 이용한	(3) rr{3,3}	-	-	(1) × { }×{3,3}	(1) r{3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) 또는 (0,0,1,2,2)	5-단순 비트런드 비트 처리된 16진수(bittix)	12	60	140	150	60		(3) 2t{3,3}	-	-	-	(2) t{3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) 또는 (0,1,2,3,3)	캔트런치 5-심플렉스 대합성 육각체(garx)	27	135	290	300	120		tr{3,3}	-	-	× { }×{3,3}	t{3,3,3}
7	(0,0,1,1,2,2) 또는 (0,1,1,1,2,2)	런케이티드 5-심플렉스 작은 프리즘으로 된 육각형(스픽스)	47	255	420	270	60		(2) t_0,3{3,3,3}	-	(3) {3}×{3}	(3) × { }×r{3,3}	(1) r{3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) 또는 (0,1,2,3,3)	런시트드림 5단순수 프리즘(primottrunculated hexateron, pattix)	47	315	720	630	180		t_0,1,3{3,3,3}	-	× {6}×{3}	× { }×r{3,3}	rr{3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) 또는 (0,1,1,2,3,3)	런시컨텔링 5단플렉스 프리즘atorhombated 헥사테론(pirx)	47	255	570	540	180		t_0,1,3{3,3,3}	-	{3}×{3}	× { }×t{3,3}	2t{3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) 또는 (0,1,2,3,4,4)	런시칸티트런치드5-심플렉스 대프리즘 육각체(gippix)	47	315	810	900	360	인라인 5-셀	t_0,1,2,3{3,3,3}	-	× {3}×{6}	× { }×t{3,3}	rr{3,3}
11	(0,1,1,2,3) 또는 (0,1,2,2,3)	스테리트런드 5-심플렉스 세포분열 육각체(카픽스)	62	330	570	420	120		t{3,3,3}	× { }×t{3,3}	× {3}×{6}	× { }×{3,3}	t_0,3{3,3,3}
12	(0,1,2,3,4) 또는 (0,1,2,3,4)	스테리칸티트룬 5-심플렉스 세포호흡기결합헥사테론(cograxrax)	62	480	1140	1080	360		tr{3,3}	× { }×tr{3,3}	× {3}×{6}	× {}×r{3,3}	t_0,1,3{3,3,3}

#	기준점	존슨 명명 시스템 Bowers 이름 및 (acronym) 콕시터 다이어그램	k-면 요소 계수					꼭지점 형상을 나타내다	위치별 면 계수: [3,3,3,3]
#	기준점	존슨 명명 시스템 Bowers 이름 및 (acronym) 콕시터 다이어그램	4	3	2	1	0	꼭지점 형상을 나타내다	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
13	(0,0,0,1,1,1)	양방향 5단순 도데카테론 (점)	12	60	120	90	20	{3}×{3}	(3) r{3,3,3}	-	-	-	(3) r{3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	바이칸텔레이트 5단플렉스 작은 버혼드 도데카테론 (sibridrid)	32	180	420	360	90		(2) rr{3,3}	-	(8) {3}×{3}	-	(2) rr{3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	바이칸티트룬 5-단순 큰 버혼 도데카테론 ( (ridrid)	32	180	420	450	180		tr{3,3}	-	{3}×{3}	-	tr{3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	스테로이티드 5심플렉스 소세포 도데카테론(scad)	62	180	210	120	30	인라인.16 셀	(1) {3,3,3}	(4) × { }×{3,3}	(6) {3}×{3}	(4) × { }×{3,3}	(1) {3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	스테리칸텔화 5단백질 소형 셀리혼합 도데카테론(카드)	62	420	900	720	180		rr{3,3}	× {}×r{3,3}	{3}×{3}	× {}×r{3,3}	rr{3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	스테리룬시티칼 5단백질 celliprismatotrunculated doddecateron (captid)	62	450	1110	1080	360		t_0,1,3{3,3,3}	× { }×t{3,3}	{6}×{6}	× { }×t{3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	옴니트런드 5심플렉스 세포가 많은 도데카테론(고카드)	62	540	1560	1800	720	관개 {3,3,3}	(1) t_0,1,2,3{3,3,3}	(1) × { }×tr{3,3}	(1) {6}×{6}	(1) × { }×tr{3,3}	(1) t_0,1,2,3{3,3,3}

B가족₅

B₅ 계열은 순서 3840 (5!×2⁵)의 대칭을 가지고 있다.

이⁵ 패밀리는 2-1=31 Wythoffian 유니폼 폴리토페스를 Coxeter 다이어그램의 하나 이상의 노드를 표시하여 생성한다.

단순성을 위해 각각 12개의 형태를 가진 두 개의 하위그룹과 두 개 모두에 동일하게 속하는 7개의 "중간" 형태로 나뉜다.

5관 5폴리탑 계열은 아래 표에 열거된 기준점의 볼록한 선체에 의해 주어지며, 좌표와 표지의 모든 순열은 다음과 같다. 각 기준점은 구별되는 균일한 5폴리토프를 생성한다. 모든 좌표는 가장자리 길이 2의 균일한 5 폴리 상단과 일치한다.

#	기준점	이름 콕시터 다이어그램	요소 개수					꼭지점 형상을 나타내다	위치별 면 개수: [4,3,3,3]
#	기준점	이름 콕시터 다이어그램	4	3	2	1	0	꼭지점 형상을 나타내다	[4,3,3] (10)	[4,3,2] (40)	[4,2,3] (80)	[2,3,3] (80)	[3,3,3] (32)
20	(0,0,0,0,1)√2	5정맥(tactac)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	{3,3,3}	-	-	-	-
21	(0,0,0,1,1)√2	수정 5정맥(랫드)	42	240	400	240	40	{ }×{3,4}	{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
22	(0,0,0,1,2)√2	잘린 5정형(토트)	42	240	400	280	80	(Octah.pyr)	t{3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-
23	(0,0,1,1,1)√2	양방향 5큐브(nit) (양방향 5정형)	42	280	640	480	80	{4}×{3}	r{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
24	(0,0,1,1,2)√2	5정맥류(사트)	82	640	1520	1200	240	프리즘-웨지	r{3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	rr{3,3}
25	(0,0,1,2,2)√2	비트런드 5정형(비트)	42	280	720	720	240		t{3,3,4}	-	-	-	2t{3,3}
26	(0,0,1,2,3)√2	캔트런치 5정형(가트)	82	640	1520	1440	480		rr{3,4}	{ }×r{3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
27	(0,1,1,1,1)√2	수정 5-큐브(린)	42	200	400	320	80	{3,3}×{ }	r{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28	(0,1,1,1,2)√2	런케이티드 5정형(스팟)	162	1200	2160	1440	320		r{4,3,3}	-	{3}×{4}		t_0,3{3,3,3}
29	(0,1,1,2,2)√2	바이칸텔레이트 5큐브(시번트) (Bicantellated 5정형)	122	840	2160	1920	480		rr{4,3,3}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3}
30	(0,1,1,2,3)√2	5정형(특권)	162	1440	3680	3360	960		rr{3,4}	{ }×r{3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
31	(0,1,2,2,2)√2	5-큐브 비트런드(탄)	42	280	720	800	320		2t{4,3,3}	-	-	-	t{3,3,3}
32	(0,1,2,2,3)√2	런시컨텔링 5정형(퍼트)	162	1200	2960	2880	960		{ }×t{3,4}	2t{3,4}	{3}×{4}	-	t_0,1,3{3,3,3}
33	(0,1,2,3,3)√2	바이칸티트룬 5큐브(기브란트) (바이칸티트룬 5정맥)	122	840	2160	2400	960		rr{4,3,3}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3}
34	(0,1,2,3,4)√2	런시칸티트룬 5정맥(지핏)	162	1440	4160	4800	1920		tr{3,4}	{ }×t{3,4}	{6}×{4}	-	t_0,1,2,3{3,3,3}
35	(1,1,1,1,1)	5인치(뱀)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2	스테리커티드 5큐브(사각형 (긴장 5정형)	242	800	1040	640	160	테트르.antiprm	{4,3,3}	{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2	런케이티드 5큐브(스팬)	202	1240	2160	1440	320		t_0,3{4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×r{3,3}	{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2	흉골절제 5정형(카핀)	242	1520	2880	2240	640		t_0,3{3,3,4}	{ }×{4,3}	-	-	t{3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√2	캔터링된 5큐브(선배)	122	680	1520	1280	320	프리즘-웨지	rr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r{3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2	스테리칸텔레이트 5큐브(카니트) (Stericantellated 5정형식)	242	2080	4720	3840	960		rr{4,3,3}	rr{4,3}×{ }	{4}×{3}	{}×r{3,3}	rr{3,3}
41	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2	런시컨텔링 5큐브(원리)	202	1240	2960	2880	960		t_0,1,3{4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×t{3,3}	2t{3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2	스테리칸티트룬 5정맥(코가르트)	242	2320	5920	5760	1920		{}×r{3,4}	t_0,1,3{3,3,4}	{6}×{4}	{ }×t{3,3}	tr{3,3}
43	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2	잘린 5-큐브(탄)	42	200	400	400	160	테트라피르	t{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2	흉골 절단 5-큐브(캡트)	242	1600	2960	2240	640		t{4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×{3,3}	t_0,3{3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2	런시터드 5큐브(패틴)	202	1560	3760	3360	960		t_0,1,3{4,3,3}	{ }×t{4,3}	{6}×{8}	{ }×t{3,3}	t_0,1,3{3,3,}]]
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2	스테리룬시티 절단 5큐브(캡틴트) (멸종 5정형)	242	2160	5760	5760	1920		t_0,1,3{4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×t{3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√2	캔트런치 5-큐브(girn)	122	680	1520	1600	640		tr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t{3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2	스테리칸티트룬 5-큐브(코그린)	242	2400	6000	5760	1920		tr{4,3,3}	tr{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×t_0,2{3,3}	t_0,1,3{3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2	런시칸티트룬 5-큐브(지핀)	202	1560	4240	4800	1920		t_0,1,2,3{4,3,3}	-	{8}×{3}	{ }×t{3,3}	tr{3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2	옴니트룬드 5큐브(가크넷) (5정맥경화)	242	2640	8160	9600	3840	관개 {3,3,3}	tr{4,3}×{ }	tr{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×tr{3,3}	t_0,1,2,3{3,3,3}

D가족₅

D₅ 계열은 순서 1920 (5⁴! x 2)의 대칭을 가지고 있다.

이 패밀리는 하나 이상의 링이 있는 D₅ Coxeter 다이어그램의 3x8-1 순열부터 23개의 와이토피아 유니폼 다면체를 가지고 있다. 15(2x8-1)는 B₅ 패밀리에서 반복되며 8은 이 패밀리 특유의 것이다.

#	Coxeter diagram Schläfli symbol symbols Johnson and Bowers names	Element counts					Vertex figure	Facets by location: [3^1,2,1]
#		4	3	2	1	0	Vertex figure	[3,3,3] (16)	[3^1,1,1] (10)	[3,3]×[ ] (40)	[ ]×[3]×[ ] (80)	[3,3,3] (16)
51	= h{4,3,3,3}, 5-demicube Hemipenteract (hin)	26	120	160	80	16	t₁{3,3,3}	{3,3,3}	t₀(1₁₁)	-	-	-
52	= h₂{4,3,3,3}, cantic 5-cube Truncated hemipenteract (thin)	42	280	640	560	160
53	= h₃{4,3,3,3}, runcic 5-cube Small rhombated hemipenteract (sirhin)	42	360	880	720	160
54	= h₄{4,3,3,3}, steric 5-cube Small prismated hemipenteract (siphin)	82	480	720	400	80
55	= h_2,3{4,3,3,3}, runcicantic 5-cube Great rhombated hemipenteract (girhin)	42	360	1040	1200	480
56	= h_2,4{4,3,3,3}, stericantic 5-cube Prismatotruncated hemipenteract (pithin)	82	720	1840	1680	480
57	= h_3,4{4,3,3,3}, steriruncic 5-cube Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)	82	560	1280	1120	320
58	= h_2,3,4{4,3,3,3}, steriruncicantic 5-cube Great prismated hemipenteract (giphin)	82	720	2080	2400	960

Uniform prismatic forms

There are 5 finite categorical uniform prismatic families of polytopes based on the nonprismatic uniform 4-polytopes:

A₄ × A₁

This prismatic family has 9 forms:

The A₁ x A₄ family has symmetry of order 240 (2*5!).

#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Element counts
#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Facets	Cells	Faces	Edges	Vertices
59	= {3,3,3}×{ } 5-cell prism	7	20	30	25	10
60	= r{3,3,3}×{ } Rectified 5-cell prism	12	50	90	70	20
61	= t{3,3,3}×{ } Truncated 5-cell prism	12	50	100	100	40
62	= rr{3,3,3}×{ } Cantellated 5-cell prism	22	120	250	210	60
63	= t_0,3{3,3,3}×{ } Runcinated 5-cell prism	32	130	200	140	40
64	= 2t{3,3,3}×{ } Bitruncated 5-cell prism	12	60	140	150	60
65	= tr{3,3,3}×{ } Cantitruncated 5-cell prism	22	120	280	300	120
66	= t_0,1,3{3,3,3}×{ } Runcitruncated 5-cell prism	32	180	390	360	120
67	= t_0,1,2,3{3,3,3}×{ } Omnitruncated 5-cell prism	32	210	540	600	240

B₄ × A₁

This prismatic family has 16 forms. (Three are shared with [3,4,3]×[ ] family)

The A₁×B₄ family has symmetry of order 768 (2⁵4!).

#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Element counts
#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Facets	Cells	Faces	Edges	Vertices
[16]	= {4,3,3}×{ } Tesseractic prism (Same as 5-cube)	10	40	80	80	32
68	= r{4,3,3}×{ } Rectified tesseractic prism	26	136	272	224	64
69	= t{4,3,3}×{ } Truncated tesseractic prism	26	136	304	320	128
70	= rr{4,3,3}×{ } Cantellated tesseractic prism	58	360	784	672	192
71	= t_0,3{4,3,3}×{ } Runcinated tesseractic prism	82	368	608	448	128
72	= 2t{4,3,3}×{ } Bitruncated tesseractic prism	26	168	432	480	192
73	= tr{4,3,3}×{ } Cantitruncated tesseractic prism	58	360	880	960	384
74	= t_0,1,3{4,3,3}×{ } Runcitruncated tesseractic prism	82	528	1216	1152	384
75	= t_0,1,2,3{4,3,3}×{ } Omnitruncated tesseractic prism	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4}×{ } 16-cell prism	18	64	88	56	16
77	= r{3,3,4}×{ } Rectified 16-cell prism (Same as 24-cell prism)	26	144	288	216	48
78	= t{3,3,4}×{ } Truncated 16-cell prism	26	144	312	288	96
79	= rr{3,3,4}×{ } Cantellated 16-cell prism (Same as rectified 24-cell prism)	50	336	768	672	192
80	= tr{3,3,4}×{ } Cantitruncated 16-cell prism (Same as truncated 24-cell prism)	50	336	864	960	384
81	= t_0,1,3{3,3,4}×{ } Runcitruncated 16-cell prism	82	528	1216	1152	384
82	= sr{3,3,4}×{ } snub 24-cell prism	146	768	1392	960	192

F₄ × A₁

This prismatic family has 10 forms.

The A₁ x F₄ family has symmetry of order 2304 (2*1152). Three polytopes 85, 86 and 89 (green background) have double symmetry [[3,4,3],2], order 4608. The last one, snub 24-cell prism, (blue background) has [3⁺,4,3,2] symmetry, order 1152.

#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Element counts
#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Facets	Cells	Faces	Edges	Vertices
[77]	= {3,4,3}×{ } 24-cell prism	26	144	288	216	48
[79]	= r{3,4,3}×{ } rectified 24-cell prism	50	336	768	672	192
[80]	= t{3,4,3}×{ } truncated 24-cell prism	50	336	864	960	384
83	= rr{3,4,3}×{ } cantellated 24-cell prism	146	1008	2304	2016	576
84	= t_0,3{3,4,3}×{ } runcinated 24-cell prism	242	1152	1920	1296	288
85	= 2t{3,4,3}×{ } bitruncated 24-cell prism	50	432	1248	1440	576
86	= tr{3,4,3}×{ } cantitruncated 24-cell prism	146	1008	2592	2880	1152
87	= t_0,1,3{3,4,3}×{ } runcitruncated 24-cell prism	242	1584	3648	3456	1152
88	= t_0,1,2,3{3,4,3}×{ } omnitruncated 24-cell prism	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= s{3,4,3}×{ } snub 24-cell prism	146	768	1392	960	192

H₄ × A₁

This prismatic family has 15 forms:

The A₁ x H₄ family has symmetry of order 28800 (2*14400).

#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Element counts
#	Coxeter diagram and Schläfli symbols Name	Facets	Cells	Faces	Edges	Vertices
89	= {5,3,3}×{ } 120-cell prism	122	960	2640	3000	1200
90	= r{5,3,3}×{ } Rectified 120-cell prism	722	4560	9840	8400	2400
91	= t{5,3,3}×{ } Truncated 120-cell prism	722	4560	11040	12000	4800
92	= rr{5,3,3}×{ } Cantellated 120-cell prism	1922	12960	29040	25200	7200
93	= t_0,3{5,3,3}×{ } Runcinated 120-cell prism	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t{5,3,3}×{ } Bitruncated 120-cell prism	722	5760	15840	18000	7200
95	= tr{5,3,3}×{ } Cantitruncated 120-cell prism	1922	12960	32640	36000	14400
96	= t_0,1,3{5,3,3}×{ } Runcitruncated 120-cell prism	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t_0,1,2,3{5,3,3}×{ } Omnitruncated 120-cell prism	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5}×{ } 600-cell prism	602	2400	3120	1560	240
99	= r{3,3,5}×{ } Rectified 600-cell prism	722	5040	10800	7920	1440
100	= t{3,3,5}×{ } Truncated 600-cell prism	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr{3,3,5}×{ } Cantellated 600-cell prism	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr{3,3,5}×{ } Cantitruncated 600-cell prism	1442	11520	31680	36000	14400
103	= t_0,1,3{3,3,5}×{ } Runcitruncated 600-cell prism	2642	18720	44880	43200	14400

Grand antiprism prism

The grand antiprism prism is the only known convex non-Wythoffian uniform 5-polytope. It has 200 vertices, 1100 edges, 1940 faces (40 pentagons, 500 squares, 1400 triangles), 1360 cells (600 tetrahedra, 40 pentagonal antiprisms, 700 triangular prisms, 20 pentagonal prisms), and 322 hypercells (2 grand antiprisms , 20 pentagonal antiprism prisms , and 300 tetrahedral prisms ).

#	Name	Element counts
#	Name	Facets	Cells	Faces	Edges	Vertices
104	grand antiprism prism Gappip	322	1360	1940	1100	200

Notes on the Wythoff construction for the uniform 5-polytopes

Construction of the reflective 5-dimensional uniform polytopes are done through a Wythoff construction process, and represented through a Coxeter diagram, where each node represents a mirror. Nodes are ringed to imply which mirrors are active. The full set of uniform polytopes generated are based on the unique permutations of ringed nodes. Uniform 5-polytopes are named in relation to the regular polytopes in each family. Some families have two regular constructors and thus may have two ways of naming them.

Here are the primary operators available for constructing and naming the uniform 5-polytopes.

The last operation, the snub, and more generally the alternation, are the operation that can create nonreflective forms. These are drawn with "hollow rings" at the nodes.

The prismatic forms and bifurcating graphs can use the same truncation indexing notation, but require an explicit numbering system on the nodes for clarity.

Operation	Extended Schläfli symbol		Description
Parent	t₀{p,q,r,s}	{p,q,r,s}	Any regular 5-polytope
Rectified	t₁{p,q,r,s}	r{p,q,r,s}	The edges are fully truncated into single points. The 5-polytope now has the combined faces of the parent and dual.
Birectified	t₂{p,q,r,s}	2r{p,q,r,s}	Birectification reduces faces to points, cells to their duals.
Trirectified	t₃{p,q,r,s}	3r{p,q,r,s}	Trirectification reduces cells to points. (Dual rectification)
Quadrirectified	t₄{p,q,r,s}	4r{p,q,r,s}	Quadrirectification reduces 4-faces to points. (Dual)
Truncated	t_0,1{p,q,r,s}	t{p,q,r,s}	Each original vertex is cut off, with a new face filling the gap. Truncation has a degree of freedom, which has one solution that creates a uniform truncated 5-polytope. The 5-polytope has its original faces doubled in sides, and contains the faces of the dual.
Cantellated	t_0,2{p,q,r,s}	rr{p,q,r,s}	In addition to vertex truncation, each original edge is beveled with new rectangular faces appearing in their place.
Runcinated	t_0,3{p,q,r,s}		Runcination reduces cells and creates new cells at the vertices and edges.
Stericated	t_0,4{p,q,r,s}	2r2r{p,q,r,s}	Sterication reduces facets and creates new facets (hypercells) at the vertices and edges in the gaps. (Same as expansion operation for 5-polytopes.)
Omnitruncated	t_0,1,2,3,4{p,q,r,s}		All four operators, truncation, cantellation, runcination, and sterication are applied.
Half	h{2p,3,q,r}		Alternation, same as
Cantic	h₂{2p,3,q,r}		Same as
Runcic	h₃{2p,3,q,r}		Same as
Runcicantic	h_2,3{2p,3,q,r}		Same as
Steric	h₄{2p,3,q,r}		Same as
Runcisteric	h_3,4{2p,3,q,r}		Same as
Stericantic	h_2,4{2p,3,q,r}		Same as
Steriruncicantic	h_2,3,4{2p,3,q,r}		Same as
Snub	s{p,2q,r,s}		Alternated truncation
Snub rectified	sr{p,q,2r,s}		Alternated truncated rectification
	ht_0,1,2,3{p,q,r,s}		Alternated runcicantitruncation
Full snub	ht_0,1,2,3,4{p,q,r,s}		Alternated omnitruncation

Regular and uniform honeycombs

Coxeter diagram correspondences between families and higher symmetry within diagrams. Nodes of the same color in each row represent identical mirrors. Black nodes are not active in the correspondence.

There are five fundamental affine Coxeter groups, and 13 prismatic groups that generate regular and uniform tessellations in Euclidean 4-space.^[6]^[7]

Fundamental groups
#	Coxeter group			Coxeter diagram	Forms
1	${\tilde {A}}_{4}$	[3^[5]]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]			19
3	${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3^1,1]	[4,3,3,4,1⁺]	=	23 (8 new)
4	${\tilde {D}}_{4}$	[3^1,1,1,1]	[1⁺,4,3,3,4,1⁺]	=	9 (0 new)
5	${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]			31 (21 new)

There are three regular honeycombs of Euclidean 4-space:

tesseractic honeycomb, with symbols {4,3,3,4}, = . There are 19 uniform honeycombs in this family.
24-cell honeycomb, with symbols {3,4,3,3}, . There are 31 reflective uniform honeycombs in this family, and one alternated form.
- Truncated 24-cell honeycomb with symbols t{3,4,3,3},
- Snub 24-cell honeycomb, with symbols s{3,4,3,3}, and constructed by four snub 24-cell, one 16-cell, and five 5-cells at each vertex.
16-cell honeycomb, with symbols {3,3,4,3},

Other families that generate uniform honeycombs:

There are 23 uniquely ringed forms, 8 new ones in the 16-cell honeycomb family. With symbols h{4,3²,4} it is geometrically identical to the 16-cell honeycomb, =
There are 7 uniquely ringed forms from the ${\tilde {A}}_{4}$ , family, all new, including:
There are 9 uniquely ringed forms in the ${\tilde {D}}_{4}$ : [3^1,1,1,1] family, two new ones, including the quarter tesseractic honeycomb, = , and the bitruncated tesseractic honeycomb, = .

Non-Wythoffian uniform tessellations in 4-space also exist by elongation (inserting layers), and gyration (rotating layers) from these reflective forms.

Prismatic groups
#	Coxeter group
1	${\tilde {C}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,4,2,∞]
2	${\tilde {B}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3^1,1,2,∞]
3	${\tilde {A}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[3^[4],2,∞]
4	${\tilde {C}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,∞,2,∞]
5	${\tilde {H}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	[6,3,2,∞,2,∞]
6	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	[3^[3],2,∞,2,∞]
7	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8	${\tilde {A}}_{2}$ x ${\tilde {A}}_{2}$	[3^[3],2,3^[3]]
9	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[3^[3],2,4,4]
10	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[3^[3],2,6,3]
11	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[4,4,2,4,4]
12	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[4,4,2,6,3]
13	${\tilde {G}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[6,3,2,6,3]

Compact regular tessellations of hyperbolic 4-space

There are five kinds of convex regular honeycombs and four kinds of star-honeycombs in H⁴ space:^[8]

Honeycomb name	Schläfli Symbol {p,q,r,s}	Facet type {p,q,r}	Cell type {p,q}	Face type {p}	Face figure {s}	Edge figure {r,s}	Vertex figure {q,r,s}	Dual
Order-5 5-cell	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Order-3 120-cell	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Order-5 tesseractic	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Order-4 120-cell	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Order-5 120-cell	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Self-dual

There are four regular star-honeycombs in H⁴ space:

Honeycomb name	Schläfli Symbol {p,q,r,s}	Facet type {p,q,r}	Cell type {p,q}	Face type {p}	Face figure {s}	Edge figure {r,s}	Vertex figure {q,r,s}	Dual
Order-3 small stellated 120-cell	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}
Order-5/2 600-cell	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}
Order-5 icosahedral 120-cell	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}
Order-3 great 120-cell	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}

Regular and uniform hyperbolic honeycombs

There are 5 compact hyperbolic Coxeter groups of rank 5, each generating uniform honeycombs in hyperbolic 4-space as permutations of rings of the Coxeter diagrams. There are also 9 paracompact hyperbolic Coxeter groups of rank 5, each generating uniform honeycombs in 4-space as permutations of rings of the Coxeter diagrams. Paracompact groups generate honeycombs with infinite facets or vertex figures.

Compact hyperbolic groups
${\widehat {AF}}_{4}$ = [(3,3,3,3,4)]:	${\bar {DH}}_{4}$ = [5,3,3^1,1]:	${\bar {H}}_{4}$ = [3,3,3,5]: ${\bar {BH}}_{4}$ = [4,3,3,5]: ${\bar {K}}_{4}$ = [5,3,3,5]:

Paracompact hyperbolic groups
${\bar {P}}_{4}$ = [3,3^[4]]: ${\bar {BP}}_{4}$ = [4,3^[4]]: ${\bar {FR}}_{4}$ = [(3,3,4,3,4)]: ${\bar {DP}}_{4}$ = [3^[3]×[]]:	${\bar {N}}_{4}$ = [4,/3\,3,4]: ${\bar {O}}_{4}$ = [3,4,3^1,1]: ${\bar {S}}_{4}$ = [4,3^2,1]: ${\bar {M}}_{4}$ = [4,3^1,1,1]:	${\bar {R}}_{4}$ = [3,4,3,4]:

Notes

^ T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
^ Multidimensional Glossary, George Olshevsky
^ Uniform Polytera, Jonathan Bowers
^ Regular and semi-regular polytopes III, p.315 Three finite groups of 5-dimensions
^ Coxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61
^ Regular polytopes, p.297. Table IV, Fundamental regions for irreducible groups generated by reflections.
^ Regular and Semiregular polytopes, II, pp.298-302 Four-dimensional honeycombs
^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables IV p213

References

T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900 (3 regular and one semiregular 4-polytope)
A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973 (p. 297 Fundamental regions for irreducible groups generated by reflections, Spherical and Euclidean)
- H.S.M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables IV p213)
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (p. 287 5D Euclidean groups, p. 298 Four-dimensionsal honeycombs)
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990) (Page 141, 6.9 List of hyperbolic Coxeter groups, figure 2) [2]

External links

Klitzing, Richard. "5D uniform polytopes (polytera)".

v t Fundamental convex regular and uniform polytopes in dimensions 2–10
Family	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Regular polygon	Triangle	Square	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniform polychoron	Pentachoron	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Uniform 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Uniform 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniform 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniform n-polytope	n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pentagonal polytope
Topics: Polytope families • Regular polytope • List of regular polytopes and compounds

v t Fundamental convex regular and uniform honeycombs in dimensions 2-9
Space	Family	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E²	Uniform tiling	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Hexagonal
E³	Uniform convex honeycomb	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Uniform 4-honeycomb	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24-cell honeycomb
E⁵	Uniform 5-honeycomb	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Uniform 6-honeycomb	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Uniform 7-honeycomb	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Uniform 8-honeycomb	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Uniform 9-honeycomb	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E¹⁰	Uniform 10-honeycomb	{3^[11]}	δ₁₁	hδ₁₁	qδ₁₁
E^n-1	Uniform (n-1)-honeycomb	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900

[2] Multidimensional Glossary, George Olshevsky

[3] Uniform Polytera, Jonathan Bowers

[4] Regular and semi-regular polytopes III, p.315 Three finite groups of 5-dimensions

[5] Coxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61

[6] Regular polytopes, p.297. Table IV, Fundamental regions for irreducible groups generated by reflections.

[7] Regular and Semiregular polytopes, II, pp.298-302 Four-dimensional honeycombs

[8] Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables IV p213

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5와섹스	수정 5-단순		잘린 5-심플렉스
캔터링 5단순	런케이티드 5-심플렉스		스테로이티드 5심플렉스
5형식	잘린 5정맥		교정된 5정맥류
5정음		런케이트 5정형
캔터키드 5큐브	런케이티드 5큐브		스테리커티드 5-큐브
5시 15분	잘린 5-큐브		수정 5-큐브
5데미큐브		잘린 5데미큐브
5데미큐브		런케이티드 5데미큐브

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목차

발견의 역사

일반 5폴리톱

볼록 균일 5폴리톱

4차원 균일한 5폴리탑의 대칭

볼록형 균일 5폴리톱 열거

A가족₅

B가족₅

D가족₅

Uniform prismatic forms

A₄ × A₁

B₄ × A₁

F₄ × A₁

H₄ × A₁

Grand antiprism prism

Notes on the Wythoff construction for the uniform 5-polytopes

Regular and uniform honeycombs

Compact regular tessellations of hyperbolic 4-space

Regular and uniform hyperbolic honeycombs

Notes

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일반 5폴리톱

볼록 균일 5폴리톱

4차원 균일한 5폴리탑의 대칭

볼록형 균일 5폴리톱 열거

A가족5

B가족5

D가족5

Uniform prismatic forms

A4 × A1

B4 × A1

F4 × A1

H4 × A1

Grand antiprism prism

Notes on the Wythoff construction for the uniform 5-polytopes

Regular and uniform honeycombs

Compact regular tessellations of hyperbolic 4-space

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