정지점

정지된 지점은 빨간색 원이다. 이 그래프에서, 그들은 모두 상대적인 최대치 또는 상대적인 최소치 입니다. 파란 사각형은 변곡점이다.

수학, 특히 미적분학에서 한 변수의 서로 다른 함수의 정지점은 함수의 파생물이 0인 함수의 그래프에 있는 점이다.^[1]^[2]^[3] 비공식적으로는 함수 "점프"가 증가하거나 감소하는 지점(이름을 정함)이다.

여러 실제 변수의 구별 가능한 함수의 경우 정지점은 그래프 표면의 모든 부분파생상품이 0인 지점이다(동일하게, 그라데이션은 0).

정지 지점은 한 변수의 함수 그래프에서 쉽게 시각화할 수 있다. 즉, 접선이 수평인 그래프상의 점(즉, x축에 평행한 점)에 해당한다. 두 변수의 함수의 경우, 접선 평면이 $xy$ 평면에 평행한 그래프 상의 점에 해당한다.

터닝 포인트

전환점은 파생상품의 변화가 나타나는 지점이다.^[2] 전환점은 상대 최대값 또는 상대 최소값일 수 있다(로컬 최소값과 최대값이라고도 한다). 기능이 다를 경우 전환점은 정지점이다. 그러나 모든 정지점이 전환점은 아니다. 기능이 두 배 다를 경우, 회전점이 아닌 정지 지점은 수평 변곡점이다. 예를 들어 함수 $x\mapsto x^{3}$ ↦ $x\mapsto x^{3}$ $x\mapsto x^{3}$ ${\$ 는 x = 0에 정지점을 가지고 $x\mapsto x^{3}$ 있는데, 이 역시 변곡점이기는 하지만 전환점이 아니다.^[3]

분류

국부 극단 및 전지구 극단 레이블이 지정된 그래프.

$C^{1}$ $C^{1}$ ${\$ 실제 $C^{1}$ 가치 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ f $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ : $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ → $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\$ { $R} \to \mathb {R}}}$ 의 격리된 정지 지점은 첫 번째 파생 테스트에 의해 네 가지 종류로 분류된다 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ .

국소 최소값(최소 전환점 또는 상대 최소값)은 함수의 파생 모델이 음수에서 양수로 변하는 경우.
국부 최대치(최소 전환점 또는 상대 최대치)는 함수의 파생 모델이 양수에서 음수로 변하는 경우.

안장 지점(로컬 최대값도 미니마도 아닌 역점: 변곡점이다. 왼쪽은 "변곡점 상승점"(적색점 양쪽에 양수)이고, 오른쪽은 "변곡점 하강점"(적색점 양쪽에 음수)이다.

변곡점(또는 경직)의 상승점은 기능의 파생상품이 정지점 양쪽에서 양수인 경우로서, 그러한 점은 동일성의 변화를 나타낸다.
변곡점(또는 경직)의 하강점은 함수의 파생상품이 정지점 양쪽에서 음수인 경우로, 그러한 점은 응집성의 변화를 나타낸다.

처음 두 옵션은 집합적으로 "지역 극단"이라고 알려져 있다. 마찬가지로 글로벌(또는 절대) 최대치 또는 글로벌(또는 절대) 최소치인 점을 글로벌(또는 절대) 극단이라고 한다. 마지막 두 가지 옵션, 즉 국부 극단이 아닌 역점 포인트는 안장 포인트로 알려져 있다.

페르마의 정리로는 경계나 정지점에서 전지구적 극단 $($ 1 {\ $displaystyle$ C $^{1}$ 함수 $C^{1}$ )이 발생해야 한다.

곡선 스케치

입방 다항식³ - 3x² - 144x + 432(검은색 선)와 그 첫 번째 및 두 번째 파생상품(빨간색 및 파란색)의 뿌리, 고정점, 변곡점 및 응집점.

고정 점의 위치와 성격을 결정하는 것은 서로 다른 기능의 곡선 스케치에 도움이 된다. 방정식 f'(x) = 0을 풀면 모든 정지점의 x 좌표가 반환된다. y 좌표는 그 x 좌표의 함수 값이다. 경우에 따라 x can에서 정지점의 특수성은 두 번째 파생상품 f''(x)를 검토하여 결정한다.

f"(x) < 0인 경우, x의 정지점은 오목하며, 최대 극단이다.
f"(x) > 0일 경우, x의 정지점은 위로 오목하며, 최소 극단이다.
f'(x) = 0인 경우, 정지 지점의 특성은 다른 방법을 통해 결정되어야 하며, 종종 그 지점 주변의 신호 변화를 주목해야 한다.

정지점의 특성을 판단하는 보다 간단한 방법은 정지점 사이의 함수 값(함수가 정의되고 그 사이에 연속적인지 여부)을 조사하는 것이다.

변곡점의 간단한 예는 함수 f(x) = x³. 점 x = 0에 대한 구체성의 분명한 변화가 있으며, 이를 미적분학을 통해 증명할 수 있다. f의 두 번째 파생상품은 어디에나 연속적인 6배, x = 0에서 f′′ = 0이며, 기호는 이 점에 대해 변한다. 그래서 x = 0은 변곡점이다.

보다 일반적으로 실제 가치 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ f $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ : $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 의 정지 지점은 모든 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 방향의 파생상품이 0이거나 동등하게 구배가 0인 지점이다₀.

예

f(x) = x 함수에는⁴ f'(0) = 0과 f'(0) = 0이 있다. f'(0) = 0이 있더라도 이 점은 변곡점이 아니다. 그 이유는 f'(x)의 기호가 음에서 양으로 바뀌기 때문이다.

f(x) = sin(x)의 함수에는 f'(0) and 0과 f''(0) = 0이 있다. 그러나 이것은 정지점이 아니라 변곡점이다. 이는 뇌동성이 아래쪽으로 오목한 상태에서 위쪽으로 오목하게 변하고 f'(x)의 기호는 변하지 않기 때문에 양성으로 유지되기 때문이다.

f(x) = x³ 함수에는 f'(0) = 0과 f'(0) = 0이 있다. 이것은 정지점과 변곡점이다. 이는 뇌동성이 아래쪽으로 오목한 상태에서 위쪽으로 오목하게 변하고 f'(x)의 기호는 변하지 않기 때문에 양성으로 유지되기 때문이다.

참고 항목

참조

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 236. ISBN 0-07-010813-7.
^ ^a ^b Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, p. 318, ISBN 9781107679573
^ ^a ^b "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library'. Retrieved 30 October 2011.

외부 링크

4도 다항식의 변곡점 — 컷 더 코튼(cut-the-knot)에서 황금비율이 놀랍게 나타난 것

[1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 236. ISBN 0-07-010813-7.

[Saddler-2] Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, p. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library'. Retrieved 30 October 2011.

[1]

[2]

[3]

v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
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