일반화 클리포드 대수

수학에서 일반화 클리포드 대수학(GCA)은 클리포드 대수학을 일반화하는 연상 대수학으로, J. J. 실베스터(1882년)^[2]가 도입하고 카르탄(1898년)^[3]과 슈윙거가 조직한 이러한 시계와 교대 연산자를 활용, 공식화한 헤르만 바일의 작품으로 거슬러 올라간다.^[1]^[4]

시계와 시프트 매트릭스는 유한 차원 벡터 공간에서 양자 역학의 초석을 제공하면서 수학 물리학의 수많은 영역에서 일상적인 응용을 찾는다.^[5]^[6]^[7]스피너라는 개념은 이러한 알헤브라와 더욱 연결될 수 있다.^[6]

일반화 클리포드 알헤브라스라는 용어는 또한 2차적 형태가 아닌 더 높은 수준의 형태를 사용하여 만들어진 연관성 있는 알헤브라를 지칭할 수 있다.^[8]^[9]^[10]^[11]

정의 및 속성

추상적 정의

n차원 일반화된 클리포드 대수학(Clifford 대수학)은 $f분야$ 에 걸친 연관 대수학으로서 정의되며^[12], f분야에 의해 생성된다.

{\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{l}&=e_{l}\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{lm}&=\omega _{lm}\omega _{jk}\end{aligned}}

그리고

e_{j}^{n_{j}}=1=\omega_{j}^{{j}}=\omega_{jk}^{jk}^{n_{k}}\,

$\forall$ $j, k, l, m$ = 1 $,..., n$

더욱이 물리적인 용도와 관련된 모든 되돌릴 수 없는 매트릭스 표현에서는 다음과 같은 것이 요구된다.

\omega_{jk}=\omega_{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu_{kj}/{kj}}}}

$\forall$ $j,k$ = 1 $,..., n$ 및 N $N_{kj}={}$ $N_{kj}={}$ = ${\$ gcd $N_{kj}={}$ $(N_{j},N_{k})$ $(N_{j},N_{k})$ $(N_{j},N_{k})$ $(N_{j},N_{k})$ ) ${\displaystyle(N_{j},N_{k$ 필드 $F$ 는 일반적으로 복합 숫자 C로 간주된다.

보다 구체적인 정의

좀 더 일반적인 GCA의 경우,^[6] $순서$ p의 n차원 일반화된 클리포드 대수학에서는 모든 j,k에 $N_{k}=p$ $N_{k}=p$ $Ω kj$ = $Ω,$ N $N_{k}=p$ = $N_{k}=p$ {\ $displaystyle N_{k}=p},$ $\nu _{kj}=1$ $\nu _{kj}=1$ $\nu _{kj}=1$ = $\nu _{kj}=1$ 1 {\ $displaystyle \nu _{$ kj $}=1$ }의 속성이 있다 $\nu _{kj}=1$ 그 뒤를 따른다.

{\limited}e_{j}e_{j}&=\omega \, e_{k}e_{j}\\\\\\omega e_{l}&=e_{l}\omega \,\ended{j}}}}}}}}

그리고

e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,

모든 j,k,l = 1,...,n 및

\omega =\omega ^{-1}=e^{2\pi i/p

1의 p번째 뿌리다.

문헌에는 일반화된 클리포드 대수학의 몇 가지 정의가 있다.^[13]

클리포드 대수

(직교) 클리포드 대수학에서 원소들은 $Ω$ = $-1,$ $p$ = $2$ 로 반공계 규칙을 따른다.

행렬 표현

시계와 시프트 행렬은 슈윙거의 표준 표기법에서 $n\timesn$ 행렬로 나타낼^[14] 수 있다.

{\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

n

V&, ={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, 0&, 1&, \cdots &, 0\\0&, 0&, \ddots &, 1&, 0\\\vdots, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\1& &, 0&, 0&, \cdots &, 0\end{pmatrix}},&amp을 말한다.U&, ={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, \cdots &, 0\\0&,\omega&0&, \cdots &, 0\\0&, 0&,\omega ^{2}&, \cdots, 0\\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\0& &, 0&, 0&, \cdots &, \omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&amp을 말한다.W&, ={\begin{pmatrix}1&, 1&, 1&, \cdots &, 1\\

1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

.

특히 $V n$ = $1$ , $VU$ = $ΩUV$ (웨이일 브레이딩 관계), $WVW -1$ = $U$ (이산 푸리에 변환) 등이 대표적이다. $e 1$ = $V$ , e = $VU 2,$ $e 3$ = $U$ 를 사용하는 경우, $Ω$ 과 함께 일반화 클리포드 대수학(GCA)의 위의 조건을 충족하는 3가지 기본 원소를 갖는다.

일반적으로"시프트 및 클럭 매트릭스"라고 불리는 이러한 매트릭스 V와 U는 J.J. Sylvester에 의해 1880년대에 도입되었다.매트릭스 V는 순환 이동을 수행하는 주기적 순열 매트릭스라는 점에 유의한다.매트릭스들은 각각의 대각선 위 또는 아래에 매트릭스만 있는 상한 및 하한 변속 매트릭스와 혼동해서는 안 된다.라이다

구체적인 예

$사례$ n = p = $2$

이 경우 Ω = -1이 있고,

{\reasoned}V&={\begin{pmatrix}0&#1&#1&0\end{pmatrix},&U&={\begin{pmatrix}1&0\1\end{pmatrix},&gt;{pmatrix}1&gt;1\end{pmatrix}}}}}, {ligined}}

이리하여

E1컵(0110), e2)(0− 110), e3)(100− 1){\displaystyle{\begin{정렬}e_{1}&, ={\begin{pmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{pmatrix}},&, e_{2}&, ={\begin{pmatrix}0&, -1\\1&, 0\end{pmatrix}},&, e_{3}&, ={\begin{pmatrix}1&, 0\\0&, -1\e.nd{pmatrix}}\end{정렬}}},

Pauli 매트릭스를 구성한다.

$사례$ n = p = $4$

이 경우 Ω = $i$ , 그리고

{\reasoned}V&, ={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\1&, 0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&.U&, ={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&, i&, 0&, 0\\0&, 0&, -1&, 0\\0&, 0&, 0&, -i\end{pmatrix}},&.W&, ={\begin{pmatrix}1&, 1&, 1&, 1\\1&, i&, -1&, -i\\1&, -1&, 1&, -1\\1&, -i&, -1&, i\end{pmatrix}}\end{정렬}}

그리고 $e 1,$ $e 2,$ $e$ 는₃ 그에 따라 결정될 수 있다.

참고 항목

참조

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추가 읽기

Fairlie, D. B.; Fletcher, P.; Zachos, C. K. (1990). "Infinite-dimensional algebras and a trigonometric basis for the classical Lie algebras". Journal of Mathematical Physics. 31 (5): 1088. Bibcode:1990JMP....31.1088F. doi:10.1063/1.528788.
Jagannathan, R. (2010). "On generalized Clifford algebras and their physical applications". arXiv:1005.4300 [math-ph]. (Aladi Ramakrishnan의 수학적 과학 (pp. 465–489)에서)뉴욕주 스프링거)
Morinaga, K.; Nono, T. (1952). "On the linearization of a form of higher degree and its representation". J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 16: 13–41. doi:10.32917/hmj/1557367250.
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Morris, A.O. (1968). "On a Generalized Clifford Algebra II". Quart. J. Math (Oxford. 19 (1): 289–299. Bibcode:1968QJMat..19..289M. doi:10.1093/qmath/19.1.289.

[1] Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy...46....1W. doi:10.1007/BF02055756. S2CID 121036548.
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[2] Sylvester, J. J. (1882), A word on Nonions, Johns Hopkins University Circulars, vol. I, pp. 241–2, hdl:1774.2/32845; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7–9.온라인과 더 나아가 제임스 조셉 실베스터(Cambridge University Press, 1909년) v III의 수학 논문집에 요약되어 있다.

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[granik-et-al-1996-6] 예를 참조하십시오.

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[8] Tesser, Steven Barry (2011). "Generalized Clifford algebras and their representations". In Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Clifford algebras and their applications in mathematical physics. Springer. pp. 133–141. ISBN 978-90-481-4130-2.

[9] Childs, Lindsay N. (30 May 2007). "Linearizing of n-ic forms and generalized Clifford algebras". Linear and Multilinear Algebra. 5 (4): 267–278. doi:10.1080/03081087808817206.

[10] Pappacena, Christopher J. (July 2000). "Matrix pencils and a generalized Clifford algebra". Linear Algebra and Its Applications. 313 (1–3): 1–20. doi:10.1016/S0024-3795(00)00025-2.

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[14] Ramakrishnan, Alladi (1971). "Generalized Clifford Algebra and its applications – A new approach to internal quantum numbers". Proceedings of the Conference on Clifford algebra, its Generalization and Applications, January 30–February 1, 1971 (PDF). Madras: Matscience. pp. 87–96.

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[3]

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[4]

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[11]

[12]

[13]

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정의 및 속성

추상적 정의

보다 구체적인 정의

행렬 표현

구체적인 예

$사례$ n = p = $2$

$사례$ n = p = $4$

참고 항목

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사례 n = p = 2

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