힐버트 시리즈와 힐버트 다항식

정류 대수학에서, 한 분야에 걸쳐 정밀하게 생성된 등급화된 정류 대수학의 힐버트 함수, 힐버트 다항식 및 힐버트 시리즈는 대수의 동질 성분들의 치수의 성장을 측정하는 세 가지 강한 관련 개념이다.

이러한 개념은 여과된 알헤브라에까지 확장되었고, 이들 알헤브라에 대한 모듈 등급화 또는 여과되었고, 투영적인 계획들에 대한 일관적인 모음이 되었다.

이러한 개념을 사용하는 일반적인 상황은 다음과 같다.

• 다변량 다항식 링의 동질적 이상에 의한 지수(총도)
• 다변량 다항식 링의 이상에 의한 지수(총 도수로 필터링됨)
• 최대 이상에 의한 국부적 고리의 여과.이 경우 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮤엘 다항식이라고 한다.

대수학 또는 모듈의 힐버트 시리즈는 등급 벡터 공간의 힐버트-핀카레 시리즈의 특수한 경우다.

힐버트 다항식 및 힐버트 시리즈는 계산 대수 기하학에서 중요한데, 이는 명시적 다항식 방정식에 의해 정의된 대수 다양성의 치수와 정도를 계산하기 위해 가장 쉽게 알려진 방법이기 때문이다.또한 평평한 패밀리 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle \pi :X\to S}$이(가) $닫힌{\displaystyle }$ 포인트 ${\displaystyle s}$ S {\$displaystyle s\$in S$}$에 대해 동일한 힐버트 다항식을 가지기$$ 때문에 대수형 품종 패밀리에 유용한 불변수를 제공한다$.$ 이것은 힐버트 체계와 인용 체계 구축에 사용된다.

정의 및 기본 속성

양도의 원소에 의해 정밀하게 생성되는 필드 K에 대해 정밀하게 생성된 교대수 S를 고려한다.라는 뜻이다.

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}}}$

그리고 그 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{0}=K}$.

힐버트 함수

${\displaystyle HF_{S:n\longmapsto \dim_{K}S_{n}}}$

정수 n을 K-벡터 공간 S의_n 치수에 매핑한다.보다 일반적인 등급화된 벡터 공간의 설정에서 힐버트-푸앵카레 시리즈로 불리는 힐버트 시리즈는 형식적인 시리즈다.

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\nft }HF_{S}(n)t^{n}.}$

만약 S가 양성 도 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle d_{}}$ h$${\$displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h$의 동질 원소에 의해 생성된다면, Hilbert 시리즈의 합은 합리적인 분율이다.

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod_{i=1}^{h}\왼쪽(1-t^{d_{i}\오른쪽)},},}$

여기서 Q는 정수 계수를 갖는 다항식이다.

만약 S가 1도 원소에 의해 생성된다면 힐버트 시리즈의 합은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{{(1-t)^{\delta }}}}$

여기서 P는 정수 계수를 가진 다항식이고, $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 S의 Krull 치수다.

이 경우 이 이성적인 분수의 직렬 확장은 다음과 같은 것이다.

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}{n1}t^{n}+\cdots \right)}}}$

어디에

${\displaystyle {\binom {n+\properties -1}{\binom -1}={\frac {(n+\properties -1)\cdots(n+1){(\binom -1)!}}}$

> -, ${\displaystyle n>-\computer ,}$에 대한 이항 계수이며, 그렇지 않으면 0이다.

만약

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i}}}}$

$따라서{\displaystyle }$ H ${\displaystyle S_{}}$( ${\displaystyle t}$)에서$$ $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 계수$${\$displaystyle HS_{S}(t)$는 다음과 같다.

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle i}$ -${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$+ 1${\displaystyle }$, ${\displaystyle n\geq i-\$$delta$$+1,}$의 경우, 이 합에서 지수$$ i의 항은$\Delta {\displaystyle }$- $1$의 n의 다항식이며 선행$$ ${\displaystyle {계수}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$/ (${\displaystyle \Delta }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$!${\displaystyle }$.$${\$displaysty a_{i}/(\delta -1)!$$}$ 이는$$ 충분히 큰 n에 대해$$ H ${\displaystyle F_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$n ) ${\displaystyle HP_{S}(n$$)}$과 동일한 합리적 계수를 가진$$ 고유한 다항식 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle HF_{S}(n$)가 존재함을 보여준다.이 다항식은 힐베르트 다항식이며, 형식을 가지고 있다.

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{{(\delta -1)!}}}{{\n^ -1}+{\text{{n}}}}}}}{{n}n에서 낮은 수준의 용어.}$

${\displaystyle {}_{}}$ n개의₀${\displaystyle {}_{}{H}_{}}$ ${\displaystyle P}$S$$( ${\displaystyle {}_{}}$ ) = ${\displaystyle H_{}}$ F S${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$) {\$displaystyle HP_{S$}(n$)=$n ≥ n에₀ 대한$$ $HF_{S}(n)}$을(를) 힐베르트 정규성이라고 한다.${\displaystyle \mathrm{deg}P}$ -${\displaystyle \Delta }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \deg P-\delta +1}$보다 낮을 수 있다$.$

힐버트 다항식은 치수가 정수이기 때문에 숫자 다항식이지만 다항식은 정수 계수가 거의 없다(Schenck 2003, 페이지 41).

이러한 모든 정의는 힐버트 시리즈에 인자 t가^m 나타나는 유일한 차이점으로 S에 걸쳐 정밀하게 생성된 등급화된 모듈까지 확장될 수 있다. 여기서 m은 모듈의 발전기의 최소 정도로서 음성이 될 수 있다.

필터링된 대수학의 힐버트 함수, 힐버트 시리즈 및 힐버트 다항식은 관련 등급화된 대수학의 그것들이다.

P에서ⁿ 투영 버라이어티 V의 Hilbert 다항식은 V의 균일한 좌표 링의 Hilbert 다항식으로 정의된다.

등급별 대수 및 다항식 링

다항식 고리와 동종 이상에 의한 그 인용구는 전형적인 등급의 알제브라다.Conversely, if S is a graded algebra generated over the field K by n homogeneous elements g₁, ..., g_n of degree 1, then the map which sends X_i onto g_i defines an homomorphism of graded rings from ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ onto S.그것의 커널은 동질적인 이상 I이고 이것은 R $n{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}/$I$}$ 사이의 등급화된 대수학의 이형성을 정의한다.

따라서 도 1의 원소에 의해 생성되는 단계별 알헤브라는 정확히 동질적 이상에 의한 다항식 고리의 인용구인 이소모르피즘에 이른다.따라서 이 글의 나머지 부분은 이상에 의한 다항식 고리의 인용으로 제한될 것이다.

힐버트 시리즈의 속성

부가성

힐버트 시리즈와 힐버트 다항식은 정확한 순서에 상대적으로 첨가된다.더 정확히 말하자면

$(\displaystyle 0\;\오른쪽 화살표 \;)A\;\오른쪽 화살표 \;B\;\오른쪽 화살표 \;C\;\오른쪽 화살표 \;0}$

등급이 매겨지거나 필터링된 모듈들의 정확한 배열이고, 그 다음엔

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}}$

그리고

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

이는 벡터 공간의 차원에 대한 동일한 속성에서 즉시 나타난다.

0이 아닌 분율의 지수

A는 등급이 매겨진 대수학이고 0점수가 아닌 A에서 d의 동질 원소를 f로 한다.그러면 우리는

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d}),HS_{A}(t)\,}$

그것은 정확한 순서에 대한 긍정으로 이어진다.

$(\displaystyle 0\;\오른쪽 화살표 \;)A^{[d]}\;{\\x오른쪽 화살표{f}\;A\;\오른쪽 화살표 \;A/f\오른쪽 화살표 \;0\}$

여기서 f라고 표시된 화살표는 ${\displaystyle f^{}}$에 의한 곱셈이고, $A{\displaystyle {}^{}}$[ d ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\$ A$^{[d]}}}$는 f에 의한 곱셈이 0이 되도록 d에 의해 A로부터 얻은 등급 모듈이다$$.$이$는 H ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A{}^{}}_{}}$[ ${\displaystyle {d^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{]}^{}}_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle d}$ H ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\daystyle HS_{A^{[d]}}}}}}(t)=t^{d}\,$$HS_{A}(t)\,.}$

힐버트 시리즈와 힐버트 다항식 링

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 다항 링 ${\displaystyle {Rn}_{}}$= ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}}]$의 Hilbert 시리즈는 다음과 같다.

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{1-t)^{n}}\,}$

힐베르트 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \n-1} \n-1}{n-1}을(를) 선택하십시오!}}\,.}$

힐버트 시리즈가 이러한 단순한 형태를 가지고 있다는 증거는 0이 아닌 디비저의 몫(${\displaystyle {여기}_{}}$서$$x n {\$displaystyle x_{n$에 대한 이전 공식을 재귀적으로 적용하고 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$.${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,}}}$라고 언급함으로써 얻어진다.

힐버트 시리즈의 형태와 치수

등급별 대수 A는 등급 1의 동질 원소에 의해 생성된 최대 동질 이상, 즉 등급 1의 동질 원소에 의해 생성된 최대 동질 이상이면 Krull 치수 0을 가진다.이는 K-벡터 공간으로서의 A의 치수는 유한하고 A의 힐버트 시리즈는 P(1)가 K-벡터 공간으로서의 A의 치수와 같은 다항 P(t)임을 의미한다.

A의 Krull 치수가 양수인 경우, 0 divisor가 아닌 도 1의 동질 원소 f가 있다(사실상 도 1의 거의 모든 원소는 이 속성을 가지고 있다).A/(f)의 Krull 치수는 A 마이너스 1의 Krull 치수다.

Hilbert 시리즈의 부가성은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle {}_{}}$( f${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{t}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle 1}$- t${\displaystyle }$) H ${\displaystyle S_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,$$HS_{A}(t$ 이것을 A의 Krull 치수와 여러 번 반복하면, 우리는 결국 힐버트 시리즈가 다항식 P(t)인 치수 0의 대수학 을 얻게 된다.A의 힐버트 시리즈는

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{{(1-t)^{d}}}}}}}}}}}:{d}}}}}}}}}$

여기서 다항식 P(t)는 P(1) ≠ 0과 d가 A의 Krull 치수인 것이다.

힐버트 시리즈의 이 공식은 힐버트 다항식의 정도가 d이고, 그 선행 계수는 $P{\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{!}{}}$ ${\$$}}}$.

투영종류의 정도와 베주트의 정리

힐버트 시리즈는 우리가 힐버트 시리즈의 분자 1의 값으로 대수적 다양성의 정도를 계산할 수 있게 해준다.이것은 베주트의 정리정돈에 대한 다소 간단한 증거도 제공한다.

For showing the relationship between the degree of a projective algebraic set and the Hilbert series, consider a projective algebraic set V, defined as the set of the zeros of a homogeneous ideal ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, where k is a field, and let ${\displaystyle R=k[x_0,}$${\displaystyle \dots }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ I ${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$는 대수 집합의 정규 함수의 링이다$$.

이 절에서는 대수 집합의 재확정성이나 이상에 대한 원시성을 필요로 하지 않는다.또한 힐버트 시리즈는 계수의 영역을 확장시켜도 변하지 않기 때문에, 일반성의 손실 없이 필드 k는 대수적으로 닫히는 것으로 되어 있다.

V의 치수 d는 Krull 치수에서 R의 1을 뺀 것과 같으며, V의 정도는 d ${\displaystyle d}$ 하이퍼플레인의$$ 교차점이 일반 위치에 있는 V의 교차점 수입니다.이는 R에 d+1 도 1의 동종 다항식의 h ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$의 존재를 암시한다.정규 시퀀스의 정의는 정확한 시퀀스의 존재를 의미한다.

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle d}$. ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$ 이것은$$ 다음을 암시한다.

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangele }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t},}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $P{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(t)}$은 R의 힐버트 시리즈의 분자다.

The ring ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$ has Krull dimension one, and is the ring of regular functions of a projective algebraic set ${\displaystyle V_{0}}$ of dimension 0 consisting of a finite number of points, which may be multiple points.$h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 정규 시퀀스에$$ 속하므로 이 점들 중 어느 것도 $등식{\displaystyle {}_{}}$ $h$ = ${\displaystyle 0.}${\$d}=0.}$의 하이퍼 평면에 속하지 않는다. 이 하이퍼 평면의 $보완$은 ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle V_{0}}}}}$을(를) 포함하는 아핀 공간이다.$$ 이로써 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 아핀 대수 집합으로${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}⟨}$ h d${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle R_{0}=R_{1$}/\$langle h_{$d}-$1\rangele }$을(는)을 정규 함수의 링으로$$ 한다.선형 다항식 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ -${\displaystyle {}_{}1}$ ${\displaystyle h_{d}-1}$은(는) ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle R_{1}}$의 영점 분할자가 아니며$$ 따라서$$ 하나의 분할자는 정확한 순서를 갖는다.

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }{{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

라는 것을 암시한다.

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}(t)=P(t).}$

여기서 우리는 여과된 알헤브라의 힐버트 시리즈를 사용하고 있는데, 등급화된 대수학의 힐버트 시리즈가 여과된 대수로서의 힐버트 시리즈라는 사실 또한 여과된 대수로서의 힐버트 시리즈라는 사실이다.

따라서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 차원 P(1)의 k-벡터 공간인 아르티니아 고리(Artinian ring)이며, 요르단–Hölder 정리는 P(1)가 대수 집합 V의 정도라는 것을 증명하기 위해 사용될 수 있다.사실, 점의 다중성은 구성 시리즈에서 해당 최대 이상이 발생하는 수입니다.

베주트의 정리를 증명하기 위해, 한 사람은 비슷하게 진행될 수도 있다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 동종 다항식인 경우$$$,$ R에서 0이 아닌 정확한 시퀀스

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\langle \longrightarrow 0,}$

라는 것을 보여 주다

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\왼쪽(1-t^{\delta }\오른쪽)HS_{R}(t).}$

이 숫자를 보면 베주트의 정리를 다음과 같이 일반화하는 것을 증명한다.

정리 - f가 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$ $\}$의 동종 다항식인 경우, R의 0 divisor가 아닌, $f{\displaystyle }${\$displaystyle$f}에 의해 정의된 과급면과의 V 교차 정도는 $\Delta {\displaystyle .}$ ${\displaysty \delta .}$만큼 V의 산물이다$$.

좀 더 기하학적 형태로, 이것은 다음과 같이 재작성될 수 있다.

정리 - 도 d의 투영적 과급 표면이 Δ의 대수 집합의 수정 불가능한 성분을 포함하지 않는 경우, 이들의 교차점은 Δ이다.

통상적인 베주트의 정리는 초지체에서 시작하여 n - 1의 다른 초지체와 차례로 교차함으로써 쉽게 추론된다.

교차점 완료

투영 대수 집합은 그 정의의 이상이 규칙적인 순서에 의해 생성되는 경우 완전한 교차점이다.이 경우 힐버트 시리즈에 대한 간단한 명시적 공식이 있다.

Let ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ be k homogeneous polynomials in ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, of respective degrees ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.$$}$ 설정$$ ${\displaystyle {Ri}_{}}$= ${\displaystyle R}$ /${\displaystyle ⟨}$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\angle ,}$ 1은$$ 다음과 같은 정확한 순서를 가지고 있다.

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;;R_{i-1}\;\우측 화살표 \;R_{i}\;\우측 화살표 \;0\,}$

힐버트 시리즈의 부가성은 이렇게 암시한다.

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i})HS_{R_{i-1}(t)\,}$

단순한 재귀가 주는 바가 있다.

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

이것은 k 다항식의 정규 순서에 의해 정의되는 완전한 교차점이 k의 코다이멘션을 가지며, 그 정도가 그 순서에 있는 다항식의 정도의 산물임을 보여준다.

자유 결의와의 관계

등급이 매겨진 일반 링 R에 걸쳐 모든 등급이 매겨진 모듈 M은 등급이 매겨진 자유 분해능을 가지고 있는데, 이는 정확한 순서가 존재함을 의미한다.

$\displaystyle 0\to L_{k}\cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

$여기$서 L ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 자유 모듈로 등급 매겨지고$$ 화살표는 0도의 선형 맵으로 등급 매겨진다.

힐버트 시리즈의 부가성은 다음과 같은 것을 암시한다.

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

If ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ is a polynomial ring, and if one knows the degrees of the basis elements of the ${\displaystyle L_{i},}$ then the formulas of the preceding sections allow deducing ${\displaystyle HS_{M}(t)}$ from ${\displaystyle H{S}_R(t)=1/(1}$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle t{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ .${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}}$ 사실$$, 이러한 공식은 등급이 매겨진 자유 모듈 L이 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ h , Δ$$h , {\$delta _{1},\deldots,\delta$_{$h}$의 hilbert 시리즈를 갖는 것을 의미한다.

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}+\cdots +t^{{h}{{h-t)^{n}}}}}.}$

이러한 공식들은 힐버트 시리즈를 계산하는 방법으로 볼 수 있다.알려진 알고리즘과 함께 힐버트 시리즈의 계산과 자유 분해능의 계산은 동일한 그뢰브너 기반에서 시작되며, 힐버트 시리즈는 자유 분해능 계산의 복잡성보다 높지 않은 계산 복잡성으로 직접 계산될 수 있다.

Hilbert 시리즈와 Hilbert 다항식 연산

힐버트 다항식은 힐버트 시리즈에서 쉽게 해석할 수 있다(위 참조).이 절에서는 다항식 링의 인수의 경우 전체 도에 따라 필터링하거나 등급을 매긴 경우 힐버트 시리즈를 계산하는 방법을 설명한다.

따라서 K a 필드 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots,x_{n}}}$을(를) 다항식 링으로 하고$$ 나는 R에서 이상적이다.H는 I의 원소 중 가장 높은 수준의 동질적 부분에 의해 생성되는 동질적 이상이 되도록 한다.내가 동질적이라면 H=I.마지막으로, B는 전체 도 부분 순서의 정밀한 단일 주문과 B 원소의 선도적 단일 주문에 의해 생성된 (동종) 이상 G를 위한 G의 Gröbner 기초가 되게 한다.

힐버트 시리즈의 연산은 필터링된 대수 R/I와 등급이 매겨진 알헤브라스 R/H와 R/G가 동일한 힐버트 시리즈를 가지고 있다는 사실에 근거한다.

따라서 힐버트 시리즈의 연산은, 그뢰브너 기초의 연산을 통해, 단수형에 의해 생성되는 이상에 대해, 동일한 문제로 축소되는데, 그것은 대개 그뢰브너 기초의 연산보다 훨씬 쉽다.전체 계산의 계산 복잡성은 주로 힐버트 시리즈의 분자의 정도인 규칙성에 의존한다.사실 그뢰브너 기초는 정규성에 의해 경계된 다항식 도에 대해 선형 대수학으로 계산할 수 있다.

힐버트 시리즈와 힐버트 다항식의 연산은 대부분의 컴퓨터 대수 시스템에서 이용할 수 있다.예를 들어 Maple과 Magma 모두에서 이러한 기능은 HilbertSeries와 HilbertPolynomial로 명명된다.

일반화에서 일관적인 피복으로의 일반화

대수 기하학에서, 1급 요소들에 의해 생성된 등급화된 고리는 Proj 구성에 의해 투영적인 계획을 생성하는 반면, 정밀하게 생성된 등급화된 모듈은 일관성 있는 단면들에 대응한다.If ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a coherent sheaf over a projective scheme X, we define the Hilbert polynomial of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ as a function ${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$, where χ is the Euler characteristic of coherentheaf 및 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle m}$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$F}(m)}$세레 트위스트.이 경우에 오일러 특성은 그로텐디크의 정밀도 정리에 의해 잘 정의된 수이다.

이 함수는 실로 다항식이다.^[1]large m의 경우 세레의 소멸 정리에 의해 딤 $H{\displaystyle {}^{}}$ 0(${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle ,F}$( ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal{F})(m)})$과 일치한다.M이 정밀하게 생성된 등급이 $매겨진{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 모듈이고$$M ~ {\$displaystyle {\tilde${M$}}$인 경우 연관된 일관성 있는 슬라이드는 Hilbert 다항식의 두 가지 정의에 동의한다.

등급이 매겨진 자유 해상도

투영 버라이어티 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 일관성 있는 피복 범주는 등급화된 모듈의 범주에 해당하므로$$, 앞 절의 결과를 사용하여 일관성 있는 피복의 힐베르트 다항식을 구성할 수 있다.예를 들어 다중도$d$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)의$$ 전체 $교차로{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle X}에$해상도가 있음$$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

참고 항목

• 카스텔누오보-뭄포드 정기성
• 힐버트 계획
• 인용구획정

인용구

참조