힐버트 계획

수학의 한 분야인 대수 기하학에서 힐버트 체계는 어떤 투사적 공간(또는 보다 일반적인 투사 체계)의 닫힌 하위 공간에 대한 매개변수 공간인 체계가 되어 차우 품종을 정제한다.Hilbert 체계는 Hilbert 다항식들에 해당하는 Projective subsemes의 분리된 결합이다.힐버트 계획의 기본 이론은 알렉산더 그로텐디크(1961년)에 의해 개발되었다.히로나카 씨의 사례는 비프로젝티브 품종이 힐버트 계획을 가질 필요가 없다는 것을 보여준다.

힐베르트의 투영 공간 계획

Hilbert scheme $H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{i}}$ l ${\displaystyle \mathbf{b}}$ ${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb}(n)}$의 P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 투영 공간의 닫힌 부분군을 다음과 같은 의미로 분류한다$$.로컬 Noetherian scheme S에 대해 S 값 점 집합

${\displaystyle \operatorname {Hom}(S,\mathbf {Hilb})(n)}$

Hilbert schemes는 자연적으로 P ${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle S}${\$displaystyle \mathb {P}$^{$n}\time S$}의 닫힌 부분 집합에 대해$$ 이형성이 있다.S 위에 평평한$$ P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathb {P} ^{n}\time S}$의 폐쇄 하위 세트는 S에 의해 투영된 투영 공간 매개변수의 하위 세트로 비공식적으로 생각할 수 있다.Hilbert schemes ${\displaystyle \mathbf{Hi}}$ ${\displaystyle \mathbf{l}}$ ${\displaystyle \mathbf{b}}$($){\displaystyle$ $\$$mathbf {Hilb} (n$$)}}$은 $Hilbert$ 다항식 P와 투사 공간의 하위 체계의 $Hilb$에 해당하는$$ 조각 ${\displaystyle \mathbf{Hi}}$ l ${\displaystyle \mathbf{b}}$($n$,$P)$의 해체된 결합으로 해체된다$$.이러한 각 조각은 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(\mathb {Z} )$에 투영된다$.$

결정적 다양성으로서의 건설

Grotendieck는 다양한 결정요인의 소멸에 의해 정의된 그래스만인의 하위 체로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 투영 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 힐버트 구조 ${\displaystyle \mathbf{Hi}}$ i ${\displaystyle \mathbf{b}}$($){\displaystystyle \matbf$ {$Hilb} (n)$를 구성했다.그것의 기본 속성은 $체계{\displaystyle }$ T ${\displaystyle$ $T$$}$에 대해$$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle T}$$}$의 값진 점이 P n$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $\mathb {P} ^{n}\times T$$}$의 닫힌 부분인 functor를 나타내는 것이다$.$

If ${\displaystyle X}$ is a subscheme of ${\displaystyle n}$-dimensional projective space, then ${\displaystyle X}$ corresponds to a graded ideal ${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$ of the polynomial ring ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle n+1}$ variables, with graded pieces ${\displaystyle I_{}^{}}$${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$m$$\}\}.$ 충분히 큰 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $m}$에 대해 계수가 $O$ ( ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle X}$인 $모든{\displaystyle }$ 상위$$ 공호학 그룹이 사라진다$$.정확한 시퀀스 사용

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}_{\mathb {P}\to 0}에 ^{n}\to {\mathcal {O}\x}to 0}$

we have ${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$ has dimension ${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$, where ${\displaystyle Q}$ is the Hilbert polynomial of projective space.This can be shown by tensoring the exact sequence above by the locally flat sheaves ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$, giving an exact sequence where the latter two terms have trivial cohomology, implying the triviality of the higher cohomology of ${\displaystyle I_{X}(m)}$.우리가 힐버트 다항식의 일관성 있는 피복과 그것의 피복공학적 집단들의 오일러적 성격을 동일시하고 있다는 것에 주목하라.

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 충분히 큰 값을 선택하십시오$.$The ${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$-dimensional space ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ is a subspace of the ${\displaystyle Q(m)}$-dimensional space ${\displaystyle S^{n}}$, so represents a point of the Grassmannian ${\dis$$Playstyle$ {\$textbf {{Gr}(Q(m)-P_{X}(m), Q($m)}} $.$이로써 힐버트 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$에 해당하는 힐버트 체계의 조각을 이 그라스만인에 내장하게$$ 된다.

그것은 이 이미지의 체계 구조를 설명하는 것, 즉 그것에 대응하는 이상에 충분한 요소를 설명하는 것으로 남아 있다.그러한 요소들은 지도_X I(m) s S(k) → S(k+m)가 모든 양성 k에 대해 최대 딤(I_X(k+m)에 랭크되어 있는 조건에 의해 충분히 주어지는데, 이는 다양한 결정요인의 소멸에 해당된다.(좀 더 면밀한 분석을 통해 k = 1을 취하기만 해도 충분하다는 것을 알 수 있다.)

속성^[1]

보편성

Given a closed subscheme ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X}$ over a field with Hilbert polynomial ${\displaystyle P}$, the Hilbert scheme H=Hilb(n, P) has a universal subscheme ${\displaystyle W\subset X\times H}$ flat over ${\displaystyle H}$ such that

• The fibers ${\displaystyle W_{x}}$ over closed points ${\displaystyle x\in H}$ are closed subschemes of ${\displaystyle X}$. For ${\displaystyle Y\subset X}$ denote this point ${\displaystyle x}$ as ${\displaystyle [Y]\in H}$.
• ${\displaystyle H}$ is universal with respect to all flat families of subschemes of ${\displaystyle X}$ having hilbert polynomial ${\displaystyle P}$. That is, given a scheme ${\displaystyle T}$ and a flat family ${\displaystyle W'\subset X\times T}$, there is a unique morphism ${\d$$isplaystyle \phi :$\ W ${\displaystyle {}^{}}$ W ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과 같은 $T\to$ H$\}.$

접선 공간

${\displaystyle 점}$의 접선 공간$[{\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle [Y]\in H}$은(는) 일반 번들 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Y/X}_{}}$ ${\$의 전역 섹션에 의해 주어진다$$$.$ 즉,

${\displaystyle T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})}$

완전한 교차로 방해받지 않음

$H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}(Y_{}}$ , N${\displaystyle }$X / Y ) =${\displaystyle {}_{}}$0 {\$displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y}=0})$과 같은 로컬 전체 교차로 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 경우 점${\displaystyle }$[${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystysty$ [$Y]\in$ H$}$이$($가 부드럽다$$.$이$는 X ${\displaystyle X}$에서 Y ${\displaystyle Y}$의 모든 변형이 방해받지 않음을$$ 의미한다.

접선 공간의 치수

In the case ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0}$, the dimension of ${\displaystyle H}$ at ${\displaystyle [Y]}$ is greater than or equal to ${\displaystyle h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})}$.

In addition to these properties, Francis Sowerby Macaulay (1927) determined for which polynomials the Hilbert scheme ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ is non-empty, and Robin Hartshorne (1966) showed that if ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ is non-empty then it is linearly connected.따라서 두 개의 투사적 공간은 동일한 힐버트 다항식(Hilbert polyomial)을 가진 경우에만 Hilbert schemes의 동일한 연결 구성요소에 있다.

Hilbert 체계는 모든 점에서 축소되지 않는 회복 불가능한 성분과 같은 나쁜 특이점을 가질 수 있다.그들은 또한 예기치 않게 높은 차원의 회복 불가능한 요소들을 가질 수 있다.예를 들어, 치수 n 체계의 d 포인트(더 정밀하게 치수 0, 길이 d 하위체)의 Hilbert 체계가 치수 dn을 가질 것으로 예상할 수 있지만, n ≥ 3인 경우 그 분해할 수 없는 구성요소는 훨씬 더 큰 차원을 가질 수 있다.

교구적 해석

힐버트 계획의 대체적인 해석은 상대적인 힐버트 계획의 일반화로 이어져 상대적인 계획의 하위 부분을 매개한다.고정 기본 구성표 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 경우$$$X{\displaystyle \in (S}$ ${\displaystyle c}$ h${\displaystyle }$/ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle X\in(Sch/S)}$을(를) 설정하고$$

${\displaystyle {\underline {\text}Hilb}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

functor가 상대 $체계{\displaystyle }$ T →${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\to S}$을(를) 집합의 이형성 등급 집합에$$ 전송한다.

${\displaystyle {\underline {\text}Hilb}}}_{X/S}(T)=\왼쪽\{\\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\to &X\\\\downarrow &&\downarrow &&\t&\t&t&s\t;to&s\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}\{\ndata.Z\to T{\text{은 플랫}\right\}/\sim }$

여기서 동등성 관계는 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$의 이형성 계급에 의해 주어진다$.$ 이 구조는 가족의 후퇴를 통해 우스꽝스러운 것이다.${\displaystyle \mathrm{주어진}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ T ${\displaystyle f:$$T'\to T$ $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle f^{*}Z=Z\times _{T}}$ 위에$$ 가족 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle Z{}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle T'}$이(가) 있다$.$

투영 지도에 대한 표현 가능성

구조 지도 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to S}$이(가) 투영적인 경우$$ 이 펑터는 위에서 구성한 힐버트 체계에 의해 표현된다.이것을 유한형 지도의 경우에 일반화하려면 아르틴이 개발한 대수적 공간의 기술이 필요하다.^[2]

대수공간 지도의 상대적 힐버트 방식

Hilbert functor는 그것의 가장 일반적인 측면에서, $체계{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 정의된$$ 대수적 공간의 $유한$ 유형 ${\displaystyle 맵}$에 대해 정의된다$.$ 그리고 $Hilbert$ functor는 $다음$과^[3] 같이 정의된다.

${\displaystyle {\underline {\text}Hilb}}_{X/B:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

T 보내기

${\$$Hilb}}}_{X/B}(T)=\왼쪽\{Z\subset$ X$\times _{B}T:{\begin}&Z\to T{{\text}$to T{{\$text$}는 $평평하고, 적절하며,}\}\&\text{reased$

이 플럭터는 계략으로 나타낼 수 있는 것이 아니라 대수적 공간으로 나타낼 수 있다.또한 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Spec}}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}(\mathb$ {$Z}$ $)\},$ X${\displaystyle }$→ B ${\displaystyle$ X$\to$ B$}$이($가{\displaystyle }$) 제한된 유형의 체계 지도라면$$ 이들의 힐버트 펑터는 대수적 공간으로 표현된다.

힐버트 계획의 예

하이퍼프레스의 Fano 체계

힐버트 계획의 전반적인 조사를 위한 동기부여 사례들 중 하나는 계획적인 계획의 Fano 계획이었다.Given a subscheme ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ of degree ${\displaystyle d}$, there is a scheme ${\displaystyle F_{k}(X)}$ in ${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$ parameterizing ${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ where ${\displaystyle H}$Pn(^{n}}에{H\displaystyle}은 k{k\displaystyle}-plane하고 부드러운 표면은 Pkm그리고 4.9초 만{\displaystyle \mathbb{P}^{k}}.[4]의 P3{\displaystyle \mathbb{P}^{3}의 학위 d의 학위 한던 1가지 이슈 때문이었습니다}≥ 3{\displaystyle d\geq 3}, 사각형 아드리아 해에 면한 도시 있을 것이다.체계 F ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle F_{k}(X)}$은(는) 매끄럽고 0차원적이다.매끄러운 표면의 선은 음의 자기 절개를 가지기 때문이다.^[4]

힐베르트 포인트 제도

Another common set of examples are the Hilbert schemes of ${\displaystyle n}$-points of a scheme ${\displaystyle X}$, typically denoted ${\displaystyle X^{[n]}}$. For ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ there is a nice geometric interpretation where the boundary loci ${\displaystyle B\subs$점의 교차점을 설명하는$$ $et H}$은 접선 벡터와 함께 파라메트리징 점을 생각할 수 있다.For example, ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$ is the blowup ${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$ of the diagonal^[5] modulo the symmetric action.

학위 d 과급기

The Hilbert scheme of degree k hypersurfaces in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ is given by the projectivization ${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$. For example, the Hilbert scheme of degree 2 hypersurfaces in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ is ${\displaystyle {\mathbb{P}}^2}$${\displaystyle \mathb{P} ^{2}}:$ 범용 하이퍼서페이스 제공$$

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

밑부분의 반지가 휘감겨져 있는 곳.

힐버트식 곡선 및 모듈리 곡선 구조

고정 속 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 대수$$ 곡선 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 경우$,$ 3-tensored dualizing sheaf$Ω$3 {\$displaystyle \omega_{$C}^{\$otimes 3}$의 정도가 전지구적으로 생성되며$$, 이는 오일러 특성이 글로벌 섹션의 차원에 의해 결정됨을 의미한다.

${\displaystyle \chi }$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{3}_{}^{}}$) = ${\displaystyle \mathrm{흐릿한}}$dim H 0 ( ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 3${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes$ 3$}=\dim H^{0}(C$,\$omega _{X}^{\otimes$ 3$\})\}\}\}\}\}\}.$

이 벡터 공간의 치수는 ${\displaystyle 5}$ g${\displaystyle }$- ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle$ $5g-5$$}$이므로$$$\Omega {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$⊗ 3 ${\$ 3$}}$의 전역 섹션은 $모든{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $속{\displaystyle }$ g -${\displaystyle 6^{}}$ ${\$$displaystyle$$\mathb{P}$$^{$$5g-6$$}}}}}$에 내장되는$$ 것을 결정한다$$.Riemann-Roch 공식을 사용하여 연관된 Hilbert 다항식을 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 6}$( ${\displaystyle \mathrm{g}}$- ${\displaystyle 1}$) t${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- g${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g$

그렇다면 힐베르트식 계략은

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathb{P}^{5g-6}^{H_{C}(t)}}}}}}}}$

모든 속 g 곡선을 모수화한다.이 계획을 세우는 것은 대수곡선의 모듈리 스택을 건설하는 첫 번째 단계다.다른 주요 기술 도구는 GIT 인용구인데, 이 모듈리 공간은 인용구로 구성되기 때문이다.

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {Ug}_{}}$/ ${\displaystyle G}$ L ${\displaystyle 5_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 6_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\m}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6$

여기서 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 힐버트 체계에서 부드러운 곡선의 하위 locus이다$$.

Hilbert 설계의 다지관 점

"힐버트 계획"은 때때로 힐버트 계획을 0차원적으로 축소시키는 시간을 엄수하는 것을 가리킨다.비공식적으로 이것은 어떤 계획상의 유한한 점 집합과 같은 것으로 생각할 수 있지만, 이 그림은 여러 점이 일치할 때 매우 오도될 수 있다.

힐버트-초 형태론(Hilbert-Chow morphism)은 포인트의 감소된 힐버트 방식에서 0차원 방식을 연관된 0-cycle로 가져가는 사이클의 다양성에 이르기까지 존재한다. (Fogarty 1968, 1969, 1973년)

M에 있는 n개의 포인트 중$$ 힐버트 체계 $M{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\$은 M의 n번째 대칭 산물에 대한 자연스러운 형태론을 갖추고 있다.이 형태론은 최대 2차원의 M에 대한 결합이다.최소 3차원 M의 경우, 형태론은 큰 n에 대해 비합리적이다. Hilbert 체계는 일반적으로 축소 가능하며 대칭 산물의 그것보다 훨씬 더 큰 차원의 구성요소를 가지고 있다.

곡선 C(차원-1 복합 다지관)에 있는 점들의 힐버트 체계는 C의 대칭적인 힘에 대해 이형성이 있다.매끈매끈하다.

표면에 있는 n개의 점의 힐버트 구조도 부드럽다(그로텐디크).If ${\displaystyle n=2}$, it is obtained from ${\displaystyle M\times M}$ by blowing up the diagonal and then dividing by the ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ action induced by ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$. This was used by Mark Haiman in his proof of the p일부 맥도날드 다항식 계수의 확실성

3차원 이상의 부드러운 다지관의 힐버트 체계는 보통 부드럽지 않다.

힐베르트 체계와 하이퍼켈러 기하학

M을 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c_{1}=0}($K3 표면 또는 토러스)의 복잡한 Kahler 표면이 되도록 한다.M의 표준 다발은 표면의 고다이라 분류에서 다음과 같이 사소한 것이다.따라서 M은 홀로모픽의 동시적 형태를 인정한다.후지키 아키라($n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2$}의$$경우)와 아르노우드 보빌에${\displaystyle {}^{}}의해{\displaystyle {}^{}}$ M [$]$ {\$displaystyle$ M$^{[n]}}}}}$도 홀형적으로 동질성이 있는 것으로$$ 관찰되었다.This is not very difficult to see, e.g., for ${\displaystyle n=2}$. Indeed, ${\displaystyle M^{[2]}}$ is a blow-up of a symmetric square of M. Singularities of ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}M}$ are locally isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{$$\time \mathb {C}^{2}/\{\pm$ 1$\backslash \}\}\}.$$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle }${${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$}$${\$displaystyle \mathb {C}$$^{$$2}/\{\pm$ 1$\}}$의 Blow-up은 $T{\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) {\$displaystyle$T^{*}\$mathb${P}$^{1$}(\$mathb${C$$$}$ )이고$$이 공간은 동일하다.이것은 동정형 형태가 $M{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\$의 예외적인 구분체의 매끄러운 부분까지 자연스럽게 확장됨을 보여주기 위해 사용되며, 하토그스의 원리에 의해$$ $나머지{\displaystyle {}^{}}$ M${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\$까지 확장된다.

홀모형적으로 동감하는 Kahler 다지관은 Calabi–에서 다음과 같이 하이퍼켈러다.야우 정리.K3 표면과 4차원 토러스 위의 힐베르트의 점 체계들은 하이퍼켈러 다지관의 두 가지 시리즈 예를 제시한다: K3의 점 체계와 일반화된 쿠머 표면이다.

참고 항목

• 인용구획정
• 카스텔누오보-뭄포드 정기성
• 마츠사카의 큰 정리
• 대수곡선의 모둘리
• 모둘리 공간
• 힐버트 모듈러 표면
• 시겔 모듈러 품종

참조

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• I. Dolgachev (2001) [1994], "Hilbert scheme", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3541-8, MR 2222646
• Fogarty, John (1968), "Algebraic families on an algebraic surface", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi:10.2307/2373541, JSTOR 2373541, MR 0237496
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• Fogarty, John (1973), "Algebraic families on an algebraic surface. II. The Picard scheme of the punctual Hilbert scheme", American Journal of Mathematics, Johns Hopkins University Press, 95 (3): 660–687, doi:10.2307/2373734, JSTOR 2373734, MR 0335512
• Göttsche, Lothar (1994), Hilbert schemes of zero-dimensional subschemes of smooth varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1572, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, MR 1312161
• Grothendieck, Alexander (1961), Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221 다시 인쇄됨
• Hartshorne, Robin (1966), "Connectedness of the Hilbert scheme", Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR 0213368
• Macaulay, Francis Sowerby (1927), "Some properties of enumeration in the theory of modular systems", Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 26: 531–555, doi:10.1112/plms/s2-26.1.531
• Mumford, David (1966-08-21), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6
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• Qin, Zhenbo (2018), Hilbert schemes of points and infinite dimensional Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 228, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4188-3

예제 및 응용 프로그램

• Bott의 공식 및 열거형 기하학
• 5중주 3배 꼬인 큐빅의 수
• 칼라비의 합리적 곡선Yau 3배:미러 대칭 예측 확인

외부 링크

• Bertram, Aaron (1999), Construction of the Hilbert scheme, retrieved 2008-09-06
• Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, A general introduction to the Hilbert scheme of points on the plane (PDF), archived from the original on 2017-08-30{{citation}}: CS1 maint : bot : 원본 URL 상태 미상(링크)
• Maclagan, Diane, Notes on Hilbert Schemes (PDF), archived from the original on 2016-03-07{{citation}}: CS1 maint : bot : 원본 URL 상태 미상(링크)