변형(수학)

수학에서 변형 이론은 문제의 해법 P를 약간 다른 해법 P로_ε 변화시키는 것과 관련된 극소수의 조건에 대한 연구인데 여기서 ε은 소숫자 또는 소량의 벡터다.극소수의 조건은 미분학의 접근을 제약조건으로 문제를 해결하는 데 적용한 결과다.이름은 외부 힘을 수용하기 위해 약간 변형되는 비강체 구조물을 비유한 것이다.

일부 특성 현상: neglig량을 무시할 수 있는 제곱을 가진 것으로 처리함으로써 1차 방정식의 도출, 용액의 변화가 불가능할 수도 있고 새로운 것을 가져오지 않을 수도 있는 격리된 해결책의 가능성, 그리고 극소수의 제약조건이 실제로 '통합'되어 그 해결책이 해결되는가에 대한 질문이다.ution은 작은 변형을 제공한다.어떤 형태로든 이러한 고려사항들은 수학에서뿐만 아니라 물리학과 공학에서도 수세기 동안의 역사를 가지고 있다.예를 들어, 숫자의 기하학에서 (집단 작용의) 열린 궤도에 대한 위상학적 해석과 함께, 격리 이론이라고 불리는 결과의 클래스가 주어진 해법 주위에 인식되었다.섭동 이론은 또한 일반적으로 조작자의 변형을 살펴본다.

복합다지관의 변형

수학에서 가장 두드러진 변형 이론은 복잡한 다지관과 대수학 변종이었다.이것은 고다이라 구니히코와 도날드 C의 기초 작업에 의해 확고한 토대가 마련되었다. 스펜서, 변형 기법이 이탈리아 대수 기하학 학교에서 훨씬 더 잠정적인 적용을 받은 후였다.첫 번째 순서의 변형 이론은 모듈리 공간과 자리스키 접선 공간을 동일시해야 한다는 것을 직관적으로 예상한다.그러나 이러한 현상은 일반적인 경우라면 다소 미묘한 것으로 판명된다.

리만 표면의 경우 리만 구체의 복잡한 구조가 고립(모듈리는 없음)되어 있다는 것을 설명할 수 있다.속 1의 경우 타원곡선은 타원함수 이론에 나타난 바와 같이 복잡한 구조의 1-모수 집단을 가진다.일반적인 고다이라-스펜서 이론은 피복 코호몰로지 집단의 변형 이론의 핵심으로 파악한다.

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

여기서 θ은 홀로모르픽 탄젠트 다발의 (부분의 세균의 껍질)이다.같은 피복의 H에는² 방해물이 있는데, 일반적으로 치수의 이유로 곡선의 경우 항상 0이다.속 0의 경우 H도¹ 사라진다.속 1의 경우 치수는 호지 수 h로^1,0, 따라서 1이다.1의 모든 곡선은 y² = x³ + 도끼 + b 형식의 방정식을 가지고 있다고 알려져 있다.이러한 곡선의 이형성 등급은 한 개의 모수만 가지고 있는 반면, 이는 명백히 a와 b라는 두 개의 모수에 의존한다.따라서 이형 타원곡선을 설명하는 a와 b와 관련된 방정식이 있어야 한다.ba의²⁻³ 값이 같은 곡선은 이형성 곡선을 설명하는 것으로 밝혀졌다.즉, a와 b를 변화시키는 것은 y² = x + 도끼³ + b 곡선의 구조를 변형시키는 한 가지 방법이지만, a,b의 모든 변형이 실제로 곡선의 이형성 등급을 변화시키는 것은 아니다.

속 g > 1의 경우, 세레 이중성을 사용하여 H와¹ H를 연관시킬 수 있다.

${\displaystyle H^{0}(\Oomega^{[2]})}$

여기서 Ω은 홀모픽 코탄젠트 번들이며, Ω은^[2] 텐서 사각형(제2의 외부 전원이 아님)을 의미한다.다시 말해, 기형은 리만 표면의 홀로모르픽 이차 미분들에 의해 조절되며, 다시 말해 고전적으로 알려진 것이다.이 경우 Teichmüller space라고 불리는 모듈리 공간의 치수는 리만-로치 정리에 의해 3g - 3으로 계산된다.

이러한 예는 어떤 차원의 복잡한 다지관의 홀로모픽 계열에 적용되는 이론의 시작이다.추가 개발: 스펜서에 의한 미분 기하학의 다른 구조로의 기법의 확장, 고다이라-스펜서 이론을 그로텐디크의 추상 대수 기하학으로 동화시켜, 그 결과 이전의 작업에 대한 실질적인 명확화, 그리고 알헤브라와 같은 다른 구조물의 변형 이론 등이 포함되었다.

변형 및 평면 지도

변형의 가장 일반적인 형태는 한 공간에 있는 기능의 복잡한 분석적 공간, 체계 또는 세균의 평면$$ 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to$ S$}$이다.그로텐디크는^[1] 변형에 대한 이 광범위한 일반화를 가장 먼저 발견했고 그 맥락에서 이론을 발전시켰다.$일반적$인 생각은 X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak{X}\to$ B$}$의 범용 패밀리가 존재해야 한다는 것이다$$.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to >{\mathfrak {X}\\downarrow &&\to &B\end{matrix}}}$

많은 경우에, 이 보편적인 가족은 힐버트 계획이나 quot 계획 또는 그들 중 한 사람의 몫이다.예를 들어, 곡선의 모둘리 구조에서 힐버트 구조에서 부드러운 곡선의 지수로 구성된다.풀백 스퀘어가 독특하지 않다면, 그 가족은 단지 다재다능한 것이다.

분석 알헤브라의 세균 변형

변형 이론의 유용하고 쉽게 계산할 수 있는 영역 중 하나는 스타인 다지관, 복합 다지관 또는 복합 분석 품종과 같은 복잡한 공간의 세균의 변형 이론에서 나온다.^[1]이 이론은 홀로모르픽 기능, 접선 공간 등의 세균 덩어리를 고려함으로써 복잡한 다지관과 복잡한 분석적 공간으로 글로벌화할 수 있다는 점에 유의한다.그런 알헤브라는 형식이다.

${\displaystyle A\cong {\frac {\\mathb {C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}}}{{}}}}}{{}}}}}}}{}}}}}}{I}}$

여기서 $C{\displaystyle \mathbb{}}${ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$z ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathb {C} \{z_{1},\ldots, z_{n}\}\}}}$은(는) 수렴 파워시리즈의 링이며$$ $I{\displaystyle }$ ${\\displaysty I}$이 이상적이다.예를 들어, 많은 저자들은 대수학처럼 특이점의 기능의 세균을 연구한다.

${\displaystyle A\cong {\frac {\\mathb {C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}}{(y^{2}-x^{n})}}}}}$

비행기의 특이점을 나타냄.분석 알헤브라의 세균은 그런 알헤브라의 반대 범주에 속하는 물체가 된다.Then, a deformation of a germ of analytic algebras ${\displaystyle X_{0}}$ is given by a flat map of germs of analytic algebras ${\displaystyle f:X\to S}$ where ${\displaystyle S}$ has a distinguished point ${\displaystyle 0}$ such that the ${\displaystyle X_{0}}$ fits into the pullback s수선을 떨다

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}\to &X\\\\downarrow \\*&\xrightarrow[{0}]{}}{}&\xrightarrow[{0}]{}&S\end{matrix}}}}}}}}}}}}$

이러한 변형은 역제곱에 의해 주어지는 동등성 관계를 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &\to &S\end{matrix}}$

수평 화살표가 이형화인 곳.예를 들어, 분석 알헤브라의 정류 도표의 반대 다이어그램에 의해 주어진 평면 곡선 특이점의 변형이 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

사실, 밀너는 그러한 변형을 연구했는데, 이 변형은 특이점이 상수에 의해 변형되기 때문에 $0$이 아닌 s$[\디스플레이$ 스타일 s$]$에 걸친 섬유는 밀너 섬유라고$$ 불린다.

변형에 대한 공동해석

분석 기능의 단일 세균의 많은 변형이 있을 수 있다는 것은 분명해야 한다.이 때문에, 이 모든 정보를 정리하는 데 필요한 장부 기록 장치가 있다.이러한 조직 장치는 접선 코호몰리를 사용하여 구성된다.^[1]이것은 Koszul-Tate의 분해능을 사용하여 형성되며$,$ 비정규 $알헤브라스$ $A$에 $대한$ 발생기 추가에 의해 잠재적으로 수정된다$.$ 분석 알헤브라의 경우 이러한 분해능은 그러한 대상을 처음 연구한 수학자인 Galina Tyurina에게 Tjurina 분해능이라고 불린다.${\displaystyle {이것}_{}}$은 R${\displaystyle {}_{}}$0 → ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{0}\to$ A$}$ 분석적$$ 알헤브라의 굴절적 지도로서$$, 이 지도가 정확한 순서에 맞도록 하는 단계별 차등 등급별 대수$(R$ , ${\displaystyle s}$)$${\$displaystyle$ R_{0}\$s}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s}R_{-2}\xrightarrow {s}R_{0}\xrightarrow {p}A\to 0}$

그리고 나서, 파생의 차등 등급의 모듈$({\displaystyle \text{Der}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$)${\displaystyle }$, $){\displaystyle ({Der})(R_{\bullet }),d)$을 취함으로써$,$ 그것의 동호몰리학은 분석적 알헤브라스 $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$의 생식체의 탄젠트 코호몰리학을 형성한다$.$이러한 공동호몰로지 $그룹$은 T ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle T^{k}(A)}$로 표시되며$,$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle T^{1}(A)}$에는 A${\displaystystyle$A}의 모든 변형에 대한 정보가 포함되어 있으며 정확한 순서를$$ 사용하여$$ 쉽게 계산할 수 있다.

${\daystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text}홈}_{R_{0}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대수에 대해 이형인 경우

${\displaystyle {\frac {\\mathb {C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}{{(f_{1}}}}}})}$

그 변형은 다음과 같다.

${\dapplaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}{df\cdot A^{n}}}}}$

were ${\displaystyle df}$ is the jacobian matrix of ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$. For example, the deformations of a hypersurface given by ${\displaystyle f}$ has the deformations

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac{A^{n}}{\frac({\partial f}{1}}},\ldots,{\frac {\partial f}{\partial z}{n}}}}\right)}}}$

특이점 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ y$^{2}-x^{3}}$의 경우 이것이$$ 모듈이다.

${\displaystyle {\frac {A^{2}}:{(y,x^{2})}}$

hence the only deformations are given by adding constants or linear factors, so a general deformation of ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$ is ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2$$}x}$ 여기서$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 변형 매개 변수다.

교구 설명

변형 이론을 공식화하는 또 다른 방법은 ${\displaystyle {\text{Art}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 범주에 functors를 사용하는 것이다.들판 위에 있는 지방 아르틴 알헤브라의 $아트$$}_{k}.$변형 전 펑터는 펑터로 정의된다.

${\displaystyle F:{\text{아트}}_{k}\to {\text{세트}}$

F${\displaystyle (k}$) ${\displaystyle F(k)}$이(가) 포인트인$$ 것.그 아이디어는 우리가 그 지점 위에 누워있는 것이 관심의 공간인 지점을 중심으로 모듈리 공간의 극소량 구조를 연구하고자 한다는 것이다.실제 공간을 찾는 대신 모듈리 문제에 대한 펑터를 설명하는 것이 더 쉬운 경우가 대표적이다.예를 들어, $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{P}$ ^{$n}}$에서 $d{\displaystyle }${\$displaystyle$d}의 하이퍼퍼페이스 모듈리 공간을 고려하려면 functor를 고려해 보십시오$.$

${\displaystyle F:{\text{Sch}\to {\text}세트}}$

어디에

${\displaystyle F(S)=\left\{\begin{matrix}X\\\\downarrow \\S\end{matrix}:{\text{ 각 섬유는 도{}d{\text{ }}}}}}}}}{{n}\right\}}}}의 하이퍼서페이스.$

일반적으로 세트보다는 그룹오이드의 펑터(functor)로 작업하는 것이 더 편리하고/필요하다.이것은 곡선의 모듈리에 적용된다.

infinitesimal에 대한 기술 설명

수학자들은 오랫동안 미적분학에서 비고집적 논거를 위해 인피니티즘을 사용해 왔다.그 아이디어는 만약 우리가 소수점 $이하$인 F${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \epsilon }$$){\$$displaystyle F (x,\varepsilon )}$을(를) 가진 $다항식{\displaystyle }$ F (x,\$displaystyle \varepsilon$ $\}\}$을(를) 고려한다면 첫 번째 순서 조건만 정말 중요할 수 있다는 것이다.

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

이것의 간단한 적용은 우리는 infinitesimal을 사용하여 단수체의 파생상품을 찾을 수 있다는 것이다.

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

$\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ 용어는$$ 단량체의 파생상품을 포함하고 있어 미적분학에서 그 용도를 보여준다.우리는 또한 이 방정식을 단조선의 테일러 팽창의 처음 두 용어로 해석할 수 있다.인피니티시멀은 지역 아르틴 알헤브라의 영점 원소를 사용하여 엄격하게 만들어질 수 있다.링 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y]}$ /${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle k[y]/(y^{2})$에서 infinitesimals가 있는 인수가 작동할 수 있음을 알 수 있다$$.이것은 $표기법{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle k}$[ y ${\displaystyle ]}$/ (${\displaystyle }$y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$의 동기를 부여하는데$,$ 이를 이중 숫자의 링이라고 한다.

게다가 테일러 근사치의 고차 항을 고려하려면 아르틴 알헤브라스 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$를 고려해 볼 수 있다$.$ 단수로는 2차 확장문을 작성한다고 가정하면 된다.

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{3}}$

테일러 확장(0)은 다음과 같이 기재할 수 있음을 상기하십시오.

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(x)}{1!}}}}{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}}}{{\frac {f^{(3)}(x)}{3!}}}+\cdots }$

따라서 앞의 두 방정식은 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 두 번째 파생상품이 ${\displaystyle 6}$ $x{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 6x}$임을$$ 보여준다$.$

일반적으로 우리는 임의의 수의 변수에 있어서 테일러의 임의적인 순서 확장을 고려하기를 원하기 때문에, 우리는 한 분야를 넘어 모든 지역 아르틴 알헤브라의 범주를 고려할 것이다.

동기

사전 변형 펑터의 정의에 동기를 부여하려면 필드에 투영된 하이퍼러면을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\operatorname {Spec}(k)\end{matrix}}}$

만약 우리가 이 공간의 극히 미미한 변형을 고려하고 싶다면, 우리는 카르테시안 정사각형을 쓸 수 있을 것이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\operatorname {Spec}(k)&\to &\\operatorname {Spec}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $0{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3$$}}=4$ 그렇다면, 오른쪽 구석의 공간은 극소변형의 한 예로서, ${\displaystyle \mathrm{스펙}}$⁡ ${\displaystyle (k}$ [${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(k[\varepsilon ])}($위상적으로 포인트)에 있는 nilpotent 원소의 추가적인 체계 이론 구조를 통해 이 극소수 데이터를 정리할 수 있다.우리는 가능한 모든 확장을 고려하기를 원하기 때문에, 우리는 우리의 사전 설정형 펑터가 물체에 대해 다음과 같이 정의되도록 할 것이다.

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to >{\mathfrak{X}\\downarrow &&\\downarrow \\\operatorname {Spec}(k)&to &\to &\operatorname {Spec}(A)\end{matrix}\right\}}}}}}}}}}}:$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 로컬 $Artin{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ -algebra이다$$.

부드러운 사전 변형 펑커

낟알에 있는 원소의 제곱이 0이 되도록$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ A ${\displaystyle$ A$'\to$ A$}$의 어떤 추출을 할 경우 전변형 functor는 smooth라고 불린다.

$F(A)\to(A)}$

이것은 다음과 같은 질문에 의해 동기가 부여된다: 변형된 경우

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to >{\mathfrak {X}\\\downarrow \\\\opername {Spec}(k)&\to &\operatorname {Spec}(A)\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

데카르트 다이어그램에 대한 이 데카르트 다이어그램의 확장이 있는가?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

매끄러운 이름은 계획의 매끄러운 형태론의 리프팅 기준에서 유래한다.

접선 공간

${\displaystyle \mathrm{스키마}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 접선 공간을 홈 ${\displaystyle \operatorname {Hom}$-set으로$$ 설명할 수 있다는$$ 점을 상기하십시오.

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{\text{Sch}/k}(\operatorname {Spec})(k[\varepsilon ]),X)}$

여기서 출처는 이중 숫자의 링이다.모듈리 공간의 어느 한 지점의 접선 공간을 고려하고 있기 때문에 우리(사전) 변형 펑터의 접선 공간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle T_{F}=F(k[\varepsilon ])}$

변형 이론의 적용

곡선모듈리 치수

$대수곡선{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ M ${\displaystyle g_{}}$ ${\${\$mathcal {\m}_{g}}$의 모듈리의 첫 번째 속성 중 하나는 기초 변형 이론을 사용하여 추론할 수 있다$$.그것의 치수는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\dim({\mathcal {M}_{g}}=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

변형 공간은 모듈리 공간의 접선 공간이기 때문에$$ $속{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g$}의 임의의 부드러운 곡선에 대해.Serre 이중성을 사용하여 접선 공간은 이형화된다.

${\displaystyle {\reasoned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

따라서 리만-로치 정리는

${\displaystyle {\begin}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\&=3g-3\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

$속{\displaystyle }$ g ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$의 곡선의 경우 ${\displaystyle \mathrm{h}}$ 1${\displaystyle {}^{}C}$, ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ C ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes$ 2$}=0}).$ 왜냐하면$$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C, (\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \otimes \omega _{C}}}}}}}}}}$

정도가

${\displaystyle {\begin{igned}{\text{deg}}((\omega_{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \otimes \omega _{C}&=4g+2g-2g-end}}}}}}}}}}$

및 음의 선다발에 대해$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}L}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ h$^{0}(L)=0}.$따라서 모듈리 공간의 치수는 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ -${\displaystyle }$3 ${\displaystyle 3g-3}$이다$.$

굽히고 끊기

변형 이론은 모리 시게후미가 품종에 대한 이성적 곡선의 존재를 연구하기 위해 혼성 기하학에서 응용한 것으로 유명하다.^[2]파노의 다양한 긍정적인 차원에 대해 모리는 모든 지점을 통과하는 합리적인 곡선이 있음을 보여주었다.그 증명 방법은 후에 모리의 굽힘과 꺾임으로 알려지게 되었다.대략적인 아이디어는 선택된 지점을 통과하는 어떤 곡선 C로 시작해서 그것이 몇 개의 구성요소로 부서질 때까지 계속 변형시키는 것이다.성분 중 하나로 C를 대체하면 속이나 C의 정도가 줄어드는 효과가 있다.그래서 이 과정을 몇 번 반복한 후에, 우리는 결국 0의 속, 즉 합리적인 곡선을 얻게 될 겁니다.C의 변형의 존재와 성질은 변형이론으로부터의 주장과 양성으로의 축소가 필요하다.

산술 변형

변형 이론의 주요한 적용 중 하나는 산술에 있다.It can be used to answer the following question: if we have a variety ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$, what are the possible extensions ${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$? If our variety is a curve, then the vanishing ${\displaystyle H^{2}}$ implies that every deformation은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 걸쳐 변화를 유도한다. 즉, 곡선이 매끄러운 경우

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\operatorname {Spec}(\mathb {F} _{p}\end{matrix}}}})$

그리고 변형

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to >{X}_{2}\\downarrow \\downarrow 이름 {Spec}(\mathb {F} _{p}>\operatorname {Spec})(\mathb {Z} /(p^{2})\end}}}}}}}}}}}}}}}})\matrix {matrix}$

그러면 우리는 항상 그것을 형태 다이어그램으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec}(\mathb {Z} /(p^{3})&\to \cdots \end{data}}$

이는 $공식{\displaystyle \mathfrak{}}$$체계{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ =$$${\displaystyle \mathrm{Spet}}$fr ${\displaystyle ({\mathfrak{}}_{}}$ $){\displaystyle {\mathfrak {X}=\operatorname {Spet}({\mathfrak {X}_{\bullet}}})$을(를) 구성하여 Z p {\$displaystystyle \mathb{Z}_{p$

아벨식 계략의 변형

세레-테이트 정리는 대략적으로 아벨 체계 A의 변형이 그것의 p-파워 비틀림 $포인트$로 구성된$$ p-분할 그룹 $[$ p ${\displaystyle {}^{}}$p ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ][$p^{\inforty }}]$의 변형에 의해 제어된다고 주장한다.

갈루아 변형

변형 이론의 또 다른 적용은 갈루아 변형이다.그것은 우리가 이 질문에 대답할 수 있게 해준다.우리가 갈루아 대표성을 가지고 있다면

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathb {F} _{p})}$

어떻게 그것을 대표제로 확대시킬 수 있을까?

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathb {Z} _{p}}{\text{?}}}$

끈 이론과의 관계

알헤브라스(및 Hochschild cohomology)의 맥락에서 발생하는 소위 델리뉴 추측은 끈 이론과 관련하여 변형 이론에 대한 많은 관심을 자극했다(거의 말로 하면 끈 이론을 점 입자 이론의 변형이라고 볼 수 있다는 생각을 공식화한다).^{[citation needed]}이것은 초기 발표와 함께 몇 번의 히트 후에 입증된 것으로 받아들여진다.막심 콘체비치는 이것에^{[citation needed]} 대해 일반적으로 받아들여지는 증거를 제시한 사람들 중 하나이다.

참고 항목

• 고다이라-스펜서 지도
• 이중수
• 슐레신저의 정리
• 엑살콤
• 코탄젠트 복합체
• 그로모프-위튼 불변제
• 대수곡선의 모둘리
• 변성(골격 기하학)

메모들

원천

• "deformation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 게르스텐하버, 머레이와 스타셰프, 제임스, 에드스(1992)수학물리학, 미국수학협회(Google eBook) ISBN 0821851411에 적용된 변형 이론 및 양자 그룹

교육학

• 팔라모도프, V. P., III.복잡한 공간의 변형.복합 변수 IV(지구 소개까지 매우 낮음)
• 변형 이론에 대한 코스 노트(Artin)
• 계획변형 이론에 관한 연구
• Sernesi, Eduardo, Deformations of Algebraic Schemes
• Hartshorne, Robin, Deformation Theory
• 변형 이론에 관한 하트숀의 강좌에서 나온 노트
• MSRI – 대수기하에서의 변형 이론과 모둘리

조사기사

• Mazur, Barry (2004), "Perturbations, Deformations, and Variations (and "Near-Misses" in Geometry, Physics, and Number Theory" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 41 (3): 307–336, doi:10.1090/S0273-0979-04-01024-9, MR 2058289
• Anel, M., Why deformations are cohomological (PDF)

외부 링크

• "A glimpse of deformation theory" (PDF)., Brian Osserman의 강의 노트