차우군

대수 기하학에서 차우 그룹(Wei-Liang Chow by Claude Chevalley (1958)의 어떤 분야에 걸친 대수적 다양성의 이름)은 위상학적 공간의 호몰로학의 알헤브로-기하학 아날로그들이다.차우 그룹의 원소들은 하위 복합체로부터 단순화 또는 세포 동질학 그룹이 어떻게 형성되는지와 유사한 방식으로 하위 분리(일명 대수학 주기)로 형성된다.품종이 부드러워지면 차우 그룹은 코호몰로지 그룹(콤팩트 푸앵카레 이중성)으로 해석할 수 있고 교차 제품이라고 하는 곱셈을 가질 수 있다.차우 그룹은 대수적 다양성에 대한 풍부한 정보를 가지고 있고, 그들은 일반적으로 계산하기가 어렵다.

합리적 동등성 및 차우 그룹

뒤에 나오는 것에 대해서는 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$}$을(를) $통해{\displaystyle }$ 다양성을$$k {\$displaystyle k}$보다 유한한 형식의 $일체형$ 구조로$$$정의$하십시오.$$k {\$displaystyle$ k$}$보다 유한한$$유형의 X {\$displaystyle$ X}에 대한 $대수학{\displaystyle }$ 주기는 X의 유한 선형 조합을 의미한다$.$${\displaystyle }$정수 계수가 있는$$ ${\displaystyle$ X$}.$(여기와 아래는 달리 명시되지 않은 한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 하위 분리가 닫히는 것으로 이해된다$.)$For a natural number ${\displaystyle i}$, the group ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ of ${\displaystyle i}$-dimensional cycles (or ${\displaystyle i}$-cycles, for short) on ${\displaystyle X}$ is the free abelian group on the set of ${\displaystyle i}$-dimensional subvarieties of ${\disp$$레이스타일$ X$}$.

치수 $i{\displaystyle +1}$의 다양한$$ $W{\displaystyle }$${\displaystyle i+1}$ 및$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 합리적인 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 동일한 0이 아닌 경우, $f{\displaystyle }${\$displaystyle f$}의 $구분자$는 i$${\$displaystyle i}$ -cycycle이다$$.

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

where the sum runs over all ${\displaystyle i}$-dimensional subvarieties ${\displaystyle Z}$ of ${\displaystyle W}$ and the integer ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ denotes the order of vanishing of ${\displaystyle f}$ along ${\displaystyle Z}$. (Thus ${\displaystyle {\mathrm{ord}}_Z(f)}$${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 $Z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Z}$을(를$)$ 따라 폴이 있는$$ 경우 {\displaystyle $\operatorname$ {$ord} _{Z}(f)$이 음수가 됨소멸 순서의 정의에는 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 단수형에$$ 대한 약간의 주의가 필요하다.^[1]

For a scheme ${\displaystyle X}$ of finite type over ${\displaystyle k}$, the group of ${\displaystyle i}$-cycles rationally equivalent to zero is the subgroup of ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ generated by the cycles ${\displaystyle (f)}$ for all ${\displaystyle (i+1)}$-dimensional subvarieties ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle X}$ and all nonzero rational functions ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle W}$. The Chow group ${\displaystyle CH_{i}(X)}$ of ${\displaystyle i}$-dimensional cycles on ${\displaystyle X}$ is the quotient group of ${\displaystyle Z_i}$${\displaystyle {}_{}(}$ ${\displaystyle X}$) 합리적으로 0과 동등한 사이클의 하위그룹에 의한$$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$Sometimes one writes ${\displaystyle [Z]}$ for the class of a subvariety ${\displaystyle Z}$ in the Chow group, and if two subvarieties ${\displaystyle Z}$ and ${\displaystyle W}$ have ${\displaystyle [Z]=[W]}$, then ${\displaystyle Z}$ and ${\displaystyle W}$ are said to be r등가물

For example, when ${\displaystyle X}$ is a variety of dimension ${\displaystyle n}$, the Chow group ${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$ is the divisor class group of ${\displaystyle X}$. When ${\displaystyle X}$ is smooth over ${\displaystyle k}$, this is isomorphic to the Picard group of$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 줄 번들$.$

합리적인 동등성 예제

투영공간의 합리적 등가성

하이퍼퍼페이스에 의해 정의되는 합리적으로 등가 사이클은 모두 동일한 벡터 번들의 소멸 로케이션으로 구성될 수 있기 때문에 투영 공간에 구축하기 쉽다.For example, given two homogeneous polynomials of degree ${\displaystyle d}$, so ${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$, we can construct a family of hypersurfaces defined as the vanishing locus of ${\displaystyle sf+tg}$.개략적으로, 이것은 다음과 같이 구성될 수 있다.

${\displaystyle X={\text{Proj}\왼쪽({\frac {\\mathb {C} [s,t][x_{0},\ldots,x_{n}]}{{(sf+tg)}}}}}\\오른쪽)\hookrightarrow \mathb {P} ^{1}\times \mathb {P} ^{n}}}}$

$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 투영 사용$X\to \mathb {$${\displaystyle {}_{}}$$}$^{1}:{${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$}$ 지점$$ 상공에서 섬유질을 볼 수 있음${\displaystyle {}_{}}$[ 0 : ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0$]$ {\$displaystyle$ [$s_{0}t_{$0}}}}}은$$(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f + ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$g {\$displaystyle s_{0}f+t_{0}$g}에 의해 정의된 투영된 과외면이다$.$${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 s f +${\displaystyle t}$$$x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ {\$displaystyle$ $d$$}$의 모든 과외면의 사이클 클래스가 합리적으로 $d{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ d$[\mathb {P}$$$^{$n-1$$}]$와 동등하다는$$ 것을 보여주는 데 사용될 수 있다$.$$}}^{d}}}}$을(를) 사용하여 합리적 등가성을 확립할$$ 수 있다.$x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}{}_{}^{}}$= 0 ${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$의 중심은 P ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이며$,$ 사이클 등급의 계수인 다중성 $d{\displaystyle }$ ${\displaystytyd}$을(를) 가지고 있다는 점에 유의하십시오.

곡선에서의 주기의 합리적 등가성

If we take two distinct line bundles ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$ of a smooth projective curve ${\displaystyle C}$, then the vanishing loci of a generic section of both line bundles defines non-equivalent cycle classes in ${\displaystyle CH(C)}$. This is because ${\displaystyle \mathrm{Div}(}$${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$ for smooth varieties, so the divisor classes of ${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$ and ${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$ define inequivalent classes.

차우 링

체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 걸쳐 매끄러울$$ 때, 차우 그룹들은 등급이 매겨진 아벨리안 그룹만이 아니라 반지를 형성한다$.$Namely, when ${\displaystyle X}$ is smooth over ${\displaystyle k}$, define ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ to be the Chow group of codimension-${\displaystyle i}$ cycles on ${\displaystyle X}$. (When ${\displaystyle X}$ is a variety of dimension ${\displaystyle n}$, this just means저 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle CH^{i}(X)=$$CH_{n-i}($${\displaystyle X}$$)})$ 그러면 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle CH^{*}(X)}$ 그룹이 제품과 함께 역방향 등급의 링을 형성한다$$.

${\displaystyle CH^{i}(X)\time CH^{j}(X)\오른쪽 화살표 CH^{i+j}(X).}$

그 제품은 교차 대수학 사이클에서 발생한다.예를 들어, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$과 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 코드션$$ i {\$displaystyle$ $i$$}$과 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $j$$}$의 X ${\displaystyle X}$의 부드러운 하위 변수인 경우$$$,{\displaystyle }$ $Y${\$d$와${\displaystyle }$$Z{\displaystyle }$${\displaystyle \}}$이($)$가 가로로 교차하는$$ 경우, 제품인 경우,$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$+ j (${\displaystyle {}^{}}$X${\displaystyle }$)의 $isplaystyle$$[Y$$][Z$$]}$은$(는)$ 교차로 $Y{\displaystyle }$$$${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Z}$의 불가역 구성요소의 합으로, 모두 코드인션 $i{\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$ + ${\displaystyle i+j}$을(를$)$ 가지고 있다$.$

보다 일반적으로 교차로 이론은 차우 링에서${\displaystyle }$[${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$[ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ 제품을 나타내는 명시적 사이클을 구성한다.예를 들어 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 및 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 교차로에 치수가 0인 보완 $차원$의 하위 변수(${\displaystyle \mathrm{이들}}$의 치수가 X ${\displaystyle$ X$\}$의 치수에 합치됨을 의미)인$$ 경우${\displaystyle }$[ $]$ [\$displaystyle [Y][Z]}$은 교차로에 대한 점의 합계와 동일하다$$.교차로 번호라는 계수교차로 치수에 대해 가정하지 $않고{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$을(를$)$ 통한 매끄러운 체계 X ${\displaystyle X}$의 하위 $변수{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle$ $Y$$}$ 및$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Z$}$에 대해 William Fulton과 Robert MacPherson의 교차로 이론은 Y${\displaystyle }canon{\displaystyle }$ Z의 ${\displaystyle \mathrm{표준}}$ $요소$를 구성한다$.$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 차우 그룹에 있는 이미지가 제품$$${\displaystyle }$[${\displaystyle Y]}$ [ Z${\displaystyle }$]$${\$displaystyle [Y][Z$^[2]인 $레이스타일$ Y$\cap$ Z$}.$

예

투영 공간

모든 ${\displaystyle {}^{}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 걸쳐 투사 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P ${\$의 차우 링이 링이다$$.

${\displaystyle CH^{*}(\mathb {P}^{n})\cong \mathbf {Z}[H]/(H^{n+1}),}$

여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 하이퍼플레인 클래스(단일 선형 함수의 영점)이다$$.또한 투사 공간에서$$ 도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 및$$ $코드imension{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$의 하위 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\$displaystyle Y$}$은(는) 합리적으로 d $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$$displaystyle dH$$^{a}$와 동일하다$.$ 보완 딤돌 Y ${\$dispariet Y$}$의 $하위{\displaystyle }$ 변수 $Y {\d$.P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$과(와) $각각{\displaystyle }$ ${\displaystyle a$ b ${\displaystyle b}$의 엔션으로, 차우 링에 있는 그들의 제품은 단순하다$.$

$\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}}$

where ${\displaystyle H^{n}}$ is the class of a ${\displaystyle k}$-rational point in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. For example, if ${\displaystyle Y}$ and ${\displaystyle Z}$ intersect transversely, it follows that ${\displaystyle Y\cap Z}$ is a zero-cycle of degree ${\displaystyle ab}$$(\displaystyle ab$ 베이스 필드 $k{\displaystyle }$ {\$displaystyle k}$이(가$)$ 대수적으로 닫혀 있다면$$ 이는 ${\displaystyle \mathrm{정확히}}$ b ${\displaystyle ab}$개의$$ 교차점이 있다는 것을 의미하며, 이는 열거형 기하학의 고전적인 결과인 베주트의 정리 버전이다.

투영 번들 공식

Given a vector bundle ${\displaystyle E\to X}$ of rank ${\displaystyle r}$ over a smooth proper scheme ${\displaystyle X}$ over a field, the Chow ring of the associated projective bundle ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ can be computed using the Chow ring of ${\displaystyle X}$ and the Chern classes of ${\displaystyle E}$. If we let ${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$ and ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$ the Chern classes of ${\displaystyle E}$, then there is an isomorphism of rings

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

히르제브루치 표면

예를 들어, Hirzebruch 표면의 차우 링은 투영 번들 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다.$P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$$\mathb \mathb {$O}+{\mathcal{O}(a)}$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ F a${\displaystyle {}_{}}$= P${\displaystyle }$(${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle O}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\mathb$ {$P} ^{1})$로 구성된 것을 상기하십시오$.$그렇다면 이 벡터 번들의 유일한 비경쟁적인 체르누스 클래스는 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle c_{1}=aH}$이다$.$이것은 차우 링이 이형성이라는 것을 암시한다.

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

언급

다른 대수적 품종의 경우, 차우 그룹은 더 풍부한 행동을 할 수 있다.예를 들어, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 위에 있는 타원형 곡선으로 두십시오$$$.$ 그런 $다음{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X$}$에 대한 제로 사이클의 차우 그룹이 정확한 순서에 맞도록$$ 하십시오.

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 X(k)\오른쪽 화살표 CH_{0}(X)\오른쪽 화살표 \mathbf {Z}\오른쪽 화살표 0.}$

Thus the Chow group of an elliptic curve ${\displaystyle X}$ is closely related to the group ${\displaystyle X(k)}$ of ${\displaystyle k}$-rational points of ${\displaystyle X}$. When ${\displaystyle k}$ is a number field, ${\displaystyle X(k)}$ is called the Mordell–Weil group of ${\displaystyle X}$(\$displaystyle X}$와 숫자 이론에서 가장 깊은 문제들 중 몇 가지는 이 그룹을 이해하려는 시도들이다$.$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이 복잡한$$ 숫자일 때 타원형 곡선의 예는 차우 그룹이 셀 수 없는 아벨 그룹일 수 있음을 보여준다.

교감성

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한$$ 계획의 적절한 $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$에 대해$,$ 푸시포워드 $동형성{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {\ast }_{}}$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle Y}$) ${\displaysty f_{*}:$$CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$ for each integer ${\displaystyle i}$. For example, for a proper scheme ${\displaystyle X}$ over ${\displaystyle k}$, this gives a homomorphism ${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$, which takes a closed point in ${\displaystyle X}$ to its degree over ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$. (A closed point in ${\displaystyle X}$ has the form ${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$ for a finite extension field ${\displaystyle E}$ of ${\displaystyle k}$, and its degree means the degree of the field ${\displaystyle E}$ over ${\displaystyle k}$.)

치수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}($아마도 비어 있을 것이다)의 섬유를$$ $가진{\displaystyle }$k {\$displaystyle k}$ 위에 편평한$$ $형태론{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\$$displaystyle$ f$:X\to Y}:$ 동형성 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}Y}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {Hi}_{}}$+ r $X$$CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$.

차우 그룹의 핵심 연산 도구는 다음과 같은 국산화 시퀀스다.필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 및$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 $하위{\displaystyle }$ 시스템 Z ${\displaystyle Z}$ 위에$$ $있는{\displaystyle }$ 스키마 X ${\displaystyle$ X$}$의 경우 정확한 순서가 있다$.$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\오른쪽 화살표 CH_{i}(X)\오른쪽 화살표 CH_{i}(X-Z)\오른쪽 화살표 0,}$

여기서 첫 번째 동형성은 적절한 형태론 $Z{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ $[\displaystyle Z\to X}$ 와 관련된$$푸시포워드이고, 두 번째 동형주의는 평면 $형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$- Z → ${\displaystyle X-Z\to$ X$}$ 에 관한 풀백이다$.$^[3]국산화 순서는 상위 차우 그룹으로도 알려진 차우 그룹, (보렐-모어) 동기식 호몰로지 그룹을 일반화하여 왼쪽으로 확장할 수 있다.^[4]

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 부드러운 계획의 모든$$ ${\displaystyle \mathrm{형태주의}}$ $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ f$:X\to Y}$에 대해$$풀백 동형성 $f{\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$→ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$( X )${\displaysty f^{*}:$$CH^{i}(Y)\to CH^{i}($${\displaystyle X}$$)\},$ 사실상 고리 동형상 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ H ${\displaystyle {\ast }^{}}$( X )${\displaystyle CH^{*(Y)\to CH^{*}(X$

플랫 풀백의 예

예를 들어, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$^{$2}}$에서 원점을 블로우업하면 원점 위의 섬유는 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 이형성이 된다$.$

곡선의 분기 덮개

곡선의 분기 피복 고려

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \좌측({\frac {\\mathb {C} [x,y]}{(f)(x)-g(x,y)))}}}\\mathb {A} _{x}^{1}에$

형태론은 ${\displaystyle \mathrm{f}(\alpha }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$마다 충돌하기 때문에 우리는 인자를 얻게 된다$$.

${\displaystyle g(\property,y)=(y-a_{1}^{1}^{1}e_{k}^{k}}}}}$

여기서 e > ${\displaystyle e_{i}>1}$ 중 하나를 사용하십시오이는 지점${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \{\nalpha _{1},\ldots,\alpha _{k}\=f^{1}(\alpha$)이 각각$$ 승수 ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ k …, e ${\displaystyle k_{}}$, ${\$}를 가지고$$ 있음을 의미한다$.$점 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}의 평평한 풀백은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle f^{*}[\displaysty ]=e_{1}[\display ]+\cdots +e_{k}[\displaysty _{k}]}$

평탄한 품종

평평한 품종의 품종을 고려하라.

$X\to S}$

S 하위 $변수{\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle }$′ ${\displaystyle S}$ ${\displaysty S'\subset S}$을(를) 사용한 다음 데카르트 사각형을 사용하십시오$.$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\time _{S}X\to &X\\\downarrow &&\to &S\end{matrix}}}$

$S{\displaystyle {}^{}}$ ′${\displaystyle {}^{}\times {}_{}}$ S ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ S$'\times _{S}X}$의 이미지가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 변수임을$$ 알 수 있다$.$ 따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

사이클 맵

차우 그룹부터 좀 더 계산 가능한 이론까지 몇 가지 동음이의어(cycle maps)가 있다.

첫째, 복잡한 숫자에 대한 체계 X의 경우, 차우 그룹부터 보렐-모어 호몰로지까지의 동형성이 있다.^[5]

${\displaystyle {\mathit{CH}_{i}(X)\오른쪽 화살표 H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z}).}$

X의 i차원 하위변수는 실제 치수 2i를 가지기 때문에 2의 인수가 나타난다.X가 복잡한 숫자에 걸쳐 매끄러울 때, 이 사이클 맵은 동음이의어로서 푸앵카레 이중성을 이용하여 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\mathit{CH}^{j}(X)\오른쪽 화살표 H^{2j}(X,\mathbf {Z}).}$

이 경우(X smooth over C) 이러한 동형체는 차우 링에서 코호몰로지 링에 이르는 고리 동형성을 형성한다.직관적으로 이것은 차우 링과 코호몰로지 링에 있는 제품들이 사이클의 교차점을 설명하기 때문이다.

매끄러운 복잡한 투영적 다양성을 위해, 더 풍부한 이론인 Deligne chomology를 통해 차우 링에서 일반적인 코호몰로지 인자에 이르는 사이클 맵이 있다.^[6]이것은 아벨-자코비 지도를 동질학적으로 0에 해당하는 사이클에서 중간 자코비안까지 통합한다.지수 순서는 CH¹(X) 지도가 Deligne cohomology에 비형상적으로 분포되어 있음을 보여주지만, 그것은 J > 1을 가지는 CH^j(X)의 경우 실패한다.

임의 필드 k에 대한 체계 X의 경우, 차우 그룹부터 (보렐-모어) 에탈레 호몰로지까지의 유사한 주기 지도가 있다.X가 k에 걸쳐 매끄러울 때, 이 동형성은 차우 링에서 에탈레 코호몰로지까지의 고리 동형성과 동일시될 수 있다.^[7]

K-이론과의 관계

필드 위의 매끄러운 체계 X에 있는 (알제브라틱) 벡터 번들 E는 위상과 동일한 형식 특성을 가진 CHⁱ(X)에 체르노 등급 c_i(E)를 가지고 있다.^[8]체르누스 계급은 벡터 번들과 차우 그룹 사이에 밀접한 관계를 제공한다.즉, K₀(X)를 X에 있는 벡터 번들의 그로텐디크 그룹이 되게 한다.그로텐디크-리만-로치 정리의 일환으로, 그로텐디크는 체르누스 캐릭터가 이소모르프주의를 준다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle K_{0}(X)\times _{\mathbf {Z}}\\mathbf {Q}\cong \prod _{i}{\mathit{CH}^{i}(X)\times _{\mathbf {Z}}}}.$

이러한 이형성은 대수적 주기에 대한 다른 적절한 동등성 관계와 비교하여 합리적 동등성의 중요성을 보여준다.

추측

대수 기하학과 숫자 이론에서 가장 심오한 추측 중 일부는 차우 그룹을 이해하려는 시도들이다.예를 들면 다음과 같다.

• Mordell-Weil 정리는 divisor class 그룹_n-1 CH(X)가 숫자 필드에 걸쳐 차원 n의 모든 다양성 X에 대해 정밀하게 생성됨을 암시한다.모든 차우 그룹이 숫자 필드에 걸쳐 모든 다양성에 대해 정확히 생성되는지는 공공연한 문제다.L-기능 값에 대한 Bloch-Kato 추정치는 이러한 그룹이 정밀하게 생성된다고 예측한다.더욱이, 주기 그룹의 순위는 모듈로 동질적 등가성, 그리고 동질학적으로 0에 해당하는 주기 그룹의 순위는 특정 정수 지점에서 주어진 다양성의 L-함수의 소멸 순서와 같아야 한다.이러한 등급의 정밀도 역시 대수학 K 이론의 Bass 추측에서 따르게 될 것이다.
• 부드러운 복잡한 투영 버라이어티 X의 경우, Hodge 추측에 따르면 Chow 그룹으로부터 단수 코호몰로지까지의 사이클 맵의 이미지(합리성 Q로 관측됨)를 예측한다.미세하게 생성된 필드(예: 유한 필드 또는 숫자 필드)에 걸쳐 부드러운 투사적 다양성을 위해, 테이트 추측에 따르면 차우 그룹부터 l-adic 코호몰로지까지 사이클 맵의 이미지_l(Q로 관측됨)가 예측된다.
• 어떤 분야에서든 부드러운 투영 버라이어티 X의 경우, Bloch-Beilinson 추측은 강한 성질을 가진 X의 차우 그룹(합리적인 것으로 관측됨)^[9]의 여과를 예측한다.이 추측은 X의 단수 또는 에탈 코호몰로지(etale cohomology)와 X의 차우 그룹 사이에 밀접한 관계가 있음을 암시한다.

예를 들어, X는 매끄러운 복잡한 투영 표면이 되도록 한다.X에 있는 제로 사이클의 차우 그룹은 동형성의 정도에 의해 정수에 매핑된다; K를 커널이 되게 한다.만일 기하학적 속 h⁰(X, Ω²)가 0이 아니라면, Mumford는 K가 "무한 차원"(X에 0 사이클의 어떤 유한 차원 계열의 이미지가 아님)^[10]이라는 것을 보여주었다.Bloch-Beilinson 추측은 제로 사이클에 대한 Bloch의 추측을 만족스럽게 함축할 수 있다: 기하학적 속 0이 있는 매끄러운 복잡한 투영 표면 X의 경우, K는 유한한 차원이어야 한다. 보다 정확하게는 알바니아계 다양한 X의 복잡한 지점 그룹에 이형적으로 매핑되어야 한다.^[11]

변형

바이바리안트 이론

풀턴과 맥퍼슨은 "운영적인 차우 링"과 더 일반적으로 어떤 형태의 계획과도 연관된 이변 이론들을 정의함으로써 차우 링을 단수 품종으로 확장시켰다.^[12]이변량 이론은 지도에 각각 그룹과 반지를 할당하는 공변량과 반향성 펑커스의 한 쌍이다.그것은 코호몰로지 이론을 일반화하는데, 이것은 반향적인 펑터로서 공간에 고리, 즉 코호몰로지 링을 할당한다.이바리안트(bivariant)라는 명칭은 이 이론에 공변량과 반변성 펑거가 모두 포함되어 있다는 사실을 가리킨다.^[13]

이것은 어떤 의미에서 차우 링을 단수 품종으로 가장 기본적인 확장이다; 동기식 코호몰로지 맵과 같은 다른 이론들이 차우 링을 작동시키는 것에 대한 것이다.^[14]

기타 변형

산술 차우 그룹은 Q에 걸친 차우 그룹과 아라켈로프-이론적 정보, 즉 관련 복합 다지관의 미분형 형태를 인코딩하는 구성요소 인코딩을 합친 것이다.

한 분야에 걸친 유한형의 계략집단의 차우 이론은 대수적 공간의 계략에 쉽게 확장된다.이 확장의 주요 장점은 후자의 범주에서 인용구를 형성하는 것이 더 쉬우므로 대수적 공간의 등가 차우 집단을 고려하는 것이 더 자연스럽다는 것이다.훨씬 더 가공할 확장자는 스택의 차우 그룹의 확장인데, 이는 특별한 경우에만 구성되었으며 특히 가상의 기본 클래스를 이해하는데 필요한 것이다.

역사

19세기에는 분수의 합리적 등가성(선형 등가성)이 다양한 형태로 연구되어 수 이론에서는 이상적인 계급 집단, 대수 곡선 이론에서는 제이콥의 다양성으로 이어졌다.더 높은 코디멘션 주기의 경우, 합리적인 동등성은 1930년대에 프란체스코 세베리에 의해 도입되었다.1956년 Wei-Liang Chow는 Chow의 움직이는 보조정리기를 사용하여 부드러운 준프로젝트 품종을 위한 사이클 모듈로 합리적인 동등성에 대해 교차로 제품이 잘 정의되어 있다는 유력한 증거를 제시했다.1970년대부터 풀턴과 맥퍼슨은 차우 그룹에게 현재의 표준기반을 주었고, 가능한 한 모든 곳에서 특이 품종과 함께 일했다.그들의 이론에서, 매끄러운 품종을 위한 교차 생산물은 일반 원뿔에 변형되어 만들어진다.^[15]

참고 항목

• 교차로이론
• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 호지 추측
• 동기(알지브라질 기하학

참조

인용구

소개

• Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry

고급

• Bloch, Spencer (1986), "Algebraic cycles and higher K-theory", Advances in Mathematics, 61 (3): 267–304, doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2, ISSN 0001-8708, MR 0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, I", Anneaux de Chow et applications, Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Claude, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, II", Anneaux de Chow et applications, Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Chow, Wei-Liang (1956), "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 64: 450–479, doi:10.2307/1969596, ISSN 0003-486X, MR 0082173
• Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-08066-4, MR 0463174
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