불분해성분

대수 기하학에서, 불가역적 대수 집합 또는 불가역적 다양성은 두 개의 적절한 대수 하위 집합의 조합으로 쓸 수 없는 대수 집합이다.되돌릴 수 없는 요소는 이 속성에 대해 되돌릴 수 없고 최대(세트 포함)인 대수적 부분집합이다.예를 들어, xy = 0 방정식의 해법 집합은 수정할 수 없으며, 그 해법 구성요소는 방정식 x = 0과 y = 0의 두 선이다.

모든 대수 집합이 불가해한 성분의 유한 결합으로서 독특한 방법으로 쓰여질 수 있다는 것은 고전 대수 기하학의 근본적인 정리다.

이러한 개념은 Zariski 토폴로지를 사용하여 순전히 위상학적 용어로 재구성될 수 있으며, 이 토폴로지는 닫힌 집합이 대수적 하위 집합:위상학적 공간은 두 개의 적절한 닫힌 하위 집합의 결합이 아닌 경우 되돌릴 수 없으며, 되돌릴 수 없는 구성요소는 유도된 위상에 대해 되돌릴 수 없는 최대 하위 공간(필요하게 닫힘)이다.비록 이러한 개념들이 모든 위상학적 공간에 대해 고려될 수 있지만, 대부분의 일반적인 위상학적 공간은 하우스도르프 공간이고, 하우스도르프 공간에서는 불가해한 요소들이 단골격이기 때문에 대수 기하학 밖에서는 거의 수행되지 않는다.

위상

A topological space X is reducible if it can be written as a union ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$ of two closed proper subsets ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ of ${\displaystyle X.}$ A topological space is irreducible (or hyperconnected) if it is not reducible.마찬가지로, X의 비어 있지 않은 모든 하위 집합이 밀도이거나 비어 있지 않은 두 개의 열린 집합이 비어 있지 않은 교차점을 갖는 경우 X를 다시 정의할 수 없다.

위상공간 X의 부분집합 F는 하위공간 위상을 통해 위상공간으로 간주되는 F가 위와 같은 특성을 갖는 경우, 이를 unreducable 또는 roundable이라고 한다.That is, ${\displaystyle F}$ is reducible if it can be written as a union ${\displaystyle F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),}$ where ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ are closed subsets of ${\displaystyle X}$, neither of which contains ${\displaystyle F.$$}$

위상학적 공간의 회복 불가능한 구성요소는 최대 회복 불가능한 부분집합이다.부분집합이 회복 불가능한 경우, 부분집합도 회복할 수 없기 때문에, 부분집합은 회복할 수 없는 구성 요소들이 닫힌다.

공간 X의 모든 되돌릴 수 없는 부분 집합은 X의 (필수적으로 고유한 것은 아님) 되돌릴 수 없는 구성요소에 포함되어 있다.^[1]모든 포인트 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$은(는) X의 일부 수정 불가능한 구성요소에 포함되어$$ 있다.

대수 기하학에서

모든 아핀 또는 투사 대수 집합은 다항 링에서 이상적인 0의 집합으로 정의된다.일반적으로 대수적 다양성으로 더 잘 알려진 불가역적 대수 집합은 두 개의 더 작은 대수 집합의 조합으로 분해될 수 없는 대수 집합이다.라스커-노에더 정리는 모든 대수 집합이 그 분해할 수 없는 성분이라고 불리는 고유하게 정의된 대수 집합의 유한한 수의 결합임을 암시한다.이러한 불가해성 및 불가해성 구성요소의 개념은 Zariski 위상이 고려될 때, 대수 집합이 이 위상의 폐쇄 집합이기 때문에 위에서 정의한 개념이다.

반지의 스펙트럼은 주요 이상이 포인트인 위상학적 공간이며, 닫힌 집합은 고정된 이상을 포함하는 모든 주요 이상들의 집합이다.이 토폴로지의 경우, 어떤 프라임 이상을 포함하고 있는 모든 프라임 이상들의 집합이라면 클로즈드 집합은 리프레시할 수 없으며, 리프레시블 구성요소는 최소한의 프라임 이상에 해당된다.노메테리아 링의 경우 불가해한 구성품의 수는 한정되어 있다.

도표는 도표를 함께 접착하여 다지관을 얻는 것과 같은 방법으로 링의 스펙트럼을 접착하여 얻는다.그래서 불가해성과 불가해한 구성요소의 정의는 즉시 계획으로 확장된다.

예

하우스도르프 공간에서는 불분명한 하위 세트와 불분명한 구성 요소가 단골격이다.특히 실수의 경우 그렇다.실제로 X가 싱글톤이 아닌 실수의 집합이라면, x ∈ X, y x X, x y < y> 등 3개의 실수가 있다.$X{\displaystyle }$= (${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle ]}$ -${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle a}$] ( ${\displaystyle X}$ ∩ ] - ∞, ${\displaystyle ]}$ ] ) ${\displaystyle \cup }$( X ${\displaystyle \cap }$[ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$[${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$=(X\cap \,{-\cap \},a$])\컵 (X$\cap [a,\inft$ [\inft$])])$이므로 X를 변경할 수 없다$.$$}$

불가해한 성분의 개념은 대수 기하학에서 기본적이며 수학의 이 영역 밖에서는 거의 고려되지 않는다: 평면의 대수적 부분집합을 고려한다.

X = {(x, y) xy = 0}.

자리스키 위상의 경우 닫힌 하위 집합은 그 자체, 빈 집합, 단골격 및 x = 0과 y = 0으로 정의된 두 개의 선이다.따라서 세트 X는 이 두 선으로 줄일 수 없는 구성 요소로 축소할 수 있다.

정류 링의 스펙트럼은 자리스키 토폴로지를 부여한 링의 주요 이상 집합으로, 고정된 이상을 포함하는 모든 주요 이상 집합인 경우에만 일련의 프라임 이상이 닫힌다.이 경우, 수정할 수 없는 부분집합은 고정된 프라임 이상을 포함하는 모든 프라임 이상들의 집합이다.

메모들

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