대수적 스택

수학에서 대수적 스택은 대수적 공간, 즉 계략의 방대한 일반화로서 모듈리 이론을 연구하는 데 기초가 된다.많은 모듈리 공간은 Artin의 대표성 정리처럼 대수적 스택에 특화된 기법을 사용하여 구성되는데, 이는 뾰족한 대수적 곡선 M ${\displaystyle g_{,}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 모듈리 공간과 타원형 곡선의 모듈리 스택을 구성하는 데 사용된다.원래 그것들은 모듈리 공간의 자동화를 추적하기 위해 Grotendieck에^[1] 의해 도입되었는데, 이것은 이러한 모듈리 공간을 그들의 기본 체계나 대수적 공간이 부드러운 것처럼 다룰 수 있는 기술이다.그러나, 많은 일반화를 통해, 대수적 스택의 개념은 마침내 마이클 아틴에 의해 발견되었다.^[2]

정의

동기

One of the motivating examples of an algebraic stack is to consider a groupoid scheme ${\displaystyle (R,U,s,t,m)}$ over a fixed scheme ${\displaystyle S}$. For example, if ${\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$ (where ${\displaystyle \mu$$_{n}}$은(는) $통합$의 뿌리의 집단 구성표, U${\displaystyle }$= A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ U$=\mathb {A} _{S}^{n$ $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ s$={\text}}}}{pr}}}_{{$pr}}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}$U}}$은(는) 투영 맵이고 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$은(는) 그룹 작업임

${\displaystyle \jeta _{n}\cdot(x_{1},\ldots,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\dots,\n}x_{n}}}}}}$

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 곱셈 맵입니다.

${\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$

on ${\displaystyle \mu _{n}}$. Then, given an ${\displaystyle S}$-scheme ${\displaystyle \pi :X\to S}$, the groupoid scheme ${\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}$ forms a groupoid (where ${\displaystyle R,U}$ are their associated functors).또한${\displaystyle }$이 구조는 (${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$/ $){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$에 대칭 2-functor를 형성하는$$ functorial이다.

${\displaystyle(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op}\to {\text{Cat}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \text{Cat}}$ ${\$은(는) 작은 범주의 2개 범주다.이것을 바라보는 또 다른 방법은 Grotendieck 건설을 통해$$ 섬유화된 범주${\displaystyle }$[${\displaystyle U}$/${\displaystyle }$R${\displaystyle }$] →${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{S}}$c${\displaystyle h}$ / S ) ${\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$로 보는 것이다.$($${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$/ $){\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$의 그로텐디크 위상과 같은 정확한 기술 조건을 얻는 것은 대수 스택의 정의를 제공한다.For instance, in the associated groupoid of ${\displaystyle k}$-points for a field ${\displaystyle k}$, over the origin object ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}$ there is the groupoid of automorphisms ${\displaystyle \mu _{n}(k)}$. Note that in order to get an algebraic 스택뿐만 아니라${\displaystyle }$[${\displaystyle U/R}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [U/R$로부터 스택을 쌓기 위해${\displaystyle }$[${\displaystyle U/R}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [U/R]}$에 필요한 추가적인 기술적 가설이 있다$.$^[3]

대수적 스택

이는${\displaystyle }$(${\displaystyle Sc\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}/S}$ $){\displaystyle (\$${\displaystyle \mathrm{mathrm}}$${Sch}/$${\displaystyle S{}_{}}$에 표시된 fppf-topology^[4](실제적으로 평평하고 유한한 표현)를 사용하는 것으로 밝혀졌으며$,$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ p {\${\displaystyle p_{}}$ p p p ${\$(\$mathrm {Sch}/S)_{fpp$이 대수적 스택을 정의하는 기초를 형성한다.그렇다면 대수적 스택은^[5] 섬유화된 범주다.

${\displaystyle p:{\mathcal {X}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

그런

1. ${\displaystyle \mathcal{X}}$ ${\$은(는) groupoids로 섬유화된 범주로서$$, 일부 $\pi$에 대한 범주:${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle \pi :X\to S}$은(는) groupoid이다.
2. 섬유화된 범주의$$ 대각선 지도 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \times {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ ${\$ {$X}}}}}$은(는) 대수공간으로 나타낼 수 있다.
3. f ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle fppf}$ scheme$$ $U{\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ → S ${\displaystyle U\to S}$와 섬유화된 $범주{\displaystyle \mathcal{}}$ U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\displaystyle {U}\mathcal {X}$의 관련 1-모르프리즘이 존재하는데, 이는$$ 아틀라스라 불리는 굴절적이고 매끄러운 것이다.

기술 조건 설명

fppf 토폴로지 사용

우선 fppf-토폴로지(pppf-topology)는 하강과 관련하여 잘 작용하기 때문에 사용된다.For example, if there are schemes ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}$ and ${\displaystyle X\to Y}$can be refined to an fppf-cover of ${\displaystyle Y}$, if ${\displaystyle X}$ is flat, locally finite type, or locally of finite presentation, then ${\$디스플레이 $스타일 Y}$^[6]에 이 속성이 있음$$this kind of idea can be extended further by considering properties local either on the target or the source of a morphism ${\displaystyle f:X\to Y}$. For a cover ${\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}$ we say a property ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is local on the source if

${\displaystyle }$${\displaystyle f_{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y${\displaystyle {}_{}}$ 각 Xi$$→ Y {\$displaystyle$ $X_${$i$$}\$$to Y}$이(가) $있는{\displaystyle \mathcal{}}$ 경우에만$$P {\$displaystyle${\$mathcal${P$\}$이$($가) 있음.

목표물의 국부라고 불리는 유사한 개념이 있다.이는 커버 {${\displaystyle {Yi}_{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\$ I$}}}$을(를) 제공함을 의미한다.

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$에 $각{\displaystyle }$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$→ Y ${\displaystyle i_{}}$ ${\$인 경우에만$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {P}이$($가) 있음$$$Y_{i}\to Y_{i}}$에는 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 있다$.$

fppf 토폴로지의 경우, 몰입도는 목표물의 국부적이다.^[7]fppf 토폴로지의 소스에 로컬인 이전 속성 외에, 보편적으로 열려 있는$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$도 소스의 로컬 속성이다.^[8]또한, 지역적으로 노메테리아와 제이콥슨이 되는 것은 fppf 토폴로지의 근원과 목표물에 해당된다.^[9]이는 fpqc 토폴로지에서 유지되지 않아 기술적 특성 면에서 "좋음"이 아니다.이것이 사실이지만 fpqc 위상 위에 대수적 스택을 사용하는 것은 색도 호모토피 이론과 같이 여전히 그 용도가 있다.정식 그룹법률 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ f ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 모둘리 스택이$$ fpqc-algebraic^{[10]pg 40} 스택이기 때문이다.

표현 가능한 대각선

정의에 의해 범주 groupoids에 섬유질의,1-morphism f:X→ Y{\displaystyle f:{{\mathcal X}}\to{{Y\mathcal}}}대수 spaces[11]에 의해 대표적인 있는fppf 사상 U→ S3{\displaystyle U\to S}과 어떤 1-morphism는 y:(Sch/U)를 위해 fppf→ Y{\displaystyle는 y:(Sch/U)_{fppf}.\to${\mathcal{Y$ groupoids로 구성된 관련 범주

${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\time _{\mathcal{Y}{\mathcal{X}}}$

대수적 공간으로서 대표할 수 있으며,^[12][13] 이는 대수적 공간이 존재한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

관련fibered 범주 SF→(Sch/S)fppf{\displaystyle{{S\mathcal}}_{F}\to}[14]fppf(Sch/U)에 해당합니다(Sch/S)_{fppf}×YX{\displaystyle(Sch/U)_{fppf}\times _{{Y\mathcal}}{{X\mathcal}그런}}. 표현 가능성으로 환산한 조건을 많다.의이 기술적 상태를 위해 직관. 하지만 한가지 주된 동기 부여들 중 다음과 같습니다.:계획 U{U\displaystyle}및 개체에 대하)을 돕는 diagonal[15], y∈ 오브 ⁡(XU){\displaystyle x,y\in \operatorname{오비}({\mathcal{X}}_{U})}은 사향 속 Isom ⁡(), y){\displaystyle \operatorname{Isom}(x, y)}. r은대수적 공간으로서의 경지특히 스택 $x$의 임의 지점에 대한 스태빌라이저 그룹은 사양${\displaystyle :}$ ( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{사양}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( k${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ x$:\operatorname {Spec}(k)\to {\mathcal{X}_{\operatorname {Spec}(k$)}}을(k$)$로 대수공간으로 나타낼 수 있다$$.대표 가능한 대각선을 갖는 것의 또 다른 중요한 등가성은 대수적 스택에서 두 개의 대수적 공간의 교차점이 대수적 공간이라는 기술적 조건이다.섬유 제품을 사용하여 리폼

${\displaystyle {\display}Y\time _{\mathcal{X}Z&\to &Y\\\downarrow &\\downarrow \\\\z&to &\\mathcal{X}\end{matrix}}}}}$

the representability of the diagonal is equivalent to ${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}$ being representable for an algebraic space ${\displaystyle Y}$. This is because given morphisms ${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}$ from algebraic spaces, they extend to maps ${\displaystyle \mathcal{X}}$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\$ 대각선 지도에서$$.대수공간으로${\displaystyle }$(${\displaystyle F/S{}_{}}$)${\displaystyle f_{}}$ p ${\displaystyle p_{}}$ ${\$에 있는$$ 피복의 표현가능성을 부여하는 대수공간과 유사한 문장이 있다.^[16]

대각선 표현성의 유사한 조건은 섬유 제품이${\displaystyle }$$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$$-stack$인 (${\displaystyle \mathrm{n}}$ - 1${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$$($n-1)$-stack인$$ 일부 상위 스택^[17] 형식에 대해 유지된다는 점에 유의하십시오$.$

굴욕적이고 매끄러운 지도책

2요네다 보조정리

f ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle fppf}$ scheme$$ $U{\displaystyle }$→ S → ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ U$\to S}$ 및 섬유화된$$ $범주{\displaystyle \mathcal{}}$ U${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle {U}\mathcal {X}$의 1-모르프리즘의 존재는$$ 섬유화된 범주의 매끄럽고 돌출적인 형태론을 정의하는 데 달려 있다.Here ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ is the algebraic stack from the representable functor ${\displaystyle h_{U}}$ on ${\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$ upgraded to a category fibered in groupoids where the categories only have trivial morphisms. 이것은 세트를 의미한다.

${\displaystyle h_{U}(T)={\text{홈}_{{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}}$

$범주$로 간주되며, 객체가 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$($){\displaystyle h_{\mathcal{U}(T)$이고$,$ ${\displaystyle \mathrm{개체}}$가 h U ($){\displaysty h_{U}(T)$인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaysty fppf}$ 형태변수로$$ 표시된다.

${\displaystyle f:T\to U}$

형태론은 정체성 형태론이다그러므로

${\displaystyle h_{\mathcal{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\Groupoids}$

조로이드를 2폭으로 만든 거야이 2연속자가 피복임을 보여주는 것은 2요네다 보조정리기의 내용물이다.Grotendieck 구조를 사용하여 groupoids에서 Fibrated한 연관 범주가 있으며 $이$는${\displaystyle }$U → ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {U}\to${\$mathcal {X}$을(를) 나타낸다$.$

groupoids에서 피복된 범주의 표현 가능한 형태

이 형태론 $U{\displaystyle \mathcal{}}$→ ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\$이(가)^[18] 부드럽거나 허탈하다고 하기 위해서는 대표 가능한 형태론을 도입해야 한다.A morphism ${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ of categories fibered in groupoids over ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$ is said to be representable if given an object ${\displaystyle T\to S}$ in ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$및 객체 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ob}}$(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$) ${\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}_{T})$ 2-Fibered 제품

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\time _{t,{\mathcal{Y}}{\mathcal{X}_{{}}}{\mathcal}}}}{{{}}}}}}}}{}}}T}$

계략으로 대표할 수 있다.그렇다면, 우리는 groupoids $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서 fibrated한 범주의 형태주의는 관련$$ 형태론이라면 매끄럽고 굴절적이라고 말할 수 있다.

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\time _{t,{\mathcal{Y}}{\mathcal{X}_{{}}}{\mathcal}}}}{{{}}}}}}}}{}}}T}\to (Sch/T)_{fppf}}$

계략은 매끄럽고 처절하다.

Deligne-Mumford 스택

Algebraic stacks, also known as Artin stacks, are by definition equipped with a smooth surjective atlas ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$, where ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ is the stack associated to some scheme ${\displaystyle U\to S}$. If the atlas ${\displaystyl$$e {\mathcal{U}\to {\mathcal{X}}$은(는) 게다가 étale이고, 그러면 $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) Deligne-Mumford 스택이라고 한다$$.Deligne-Mumford 스택의 하위 클래스는 대수 곡선의 모듈리 스택과 같이 고려되는 많은 자연 스택에 대해 정확한 설정을 제공하기 때문에 유용하다.또한 Deligne-Mumford 스택에서 점으로 표현되는 물체가 극소수의 자동화를 가지지 않을 정도로 엄격하다.이것은 매우 중요한데, 극소수의 자동화 때문에 아르틴 스택의 변형 이론을 연구하는 것이 매우 어렵기 때문이다.For example, the deformation theory of the Artin stack ${\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}$, the moduli stack of rank ${\displaystyle n}$ vector bundles, has infinitesimal automorphisms controlled partially by the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$.이것은 일반적으로 무한한 변형과 장애의 연속을 초래하는데, 이것은 안정된 다발의 모듈리를 연구하는 동기 중 하나이다.선다발 변형 이론의 특수한 경우에만 [${\displaystyle \ast }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \ast }$/ G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathb {G} _{m}]$은 관련 리 대수학이 아벨리안이기 때문에 변형 이론 트랙터블이다$$.

많은 스택은 유한 커버 또는 유한 커버를 가진 대수적 스택만을 허용하기 때문에 Deligne-Mumford 스택으로 자연스럽게 표현될 수 없다는 점에 유의하십시오.모든 Etale 커버가 평평하고 한정된 표시의 국소적이기 때문에 fppf-topology로 정의한 대수적 스택은 이 이론을 지지하지만, 자연에서 발견되는 많은 스택은 곡선 M ${\displaystyle g_{}}$ ${\${M$}_{g}}$과 같이 이러한 형태의 스택이기 때문에 여전히 유용하다$.$그러한 스택의 ue는 오비폴즈라고 불린다.Etale 조건은 2-functor를 의미한다.

${\displaystyle B\mu _{n}(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}\to {\text{Cat}}}}}}$

sending a scheme to its groupoid of ${\displaystyle \mu _{n}}$-torsors is representable as a stack over the Etale topology, but the Picard-stack ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ of ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-torsors (equivalently the category of line bundles) is not representable.이 형태의 스택은 fppf-토폴로지 위에 스택으로 나타낼 수 있다.fppf-토폴로지 대 에탈 위상(etale $topology{\displaystyle }$)을$$고려하는 또 다른 이유는 특성 p {\$displaystyle p}$Kummer 시퀀스 때문이다.

${\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathb {G} \mathb {G}to 0}$

fppf shaves의 순서와 같이 정확할 뿐 에탈리 shaves의 순서는 안 된다.

다른 위상에 대한 대수적 스택 정의

$){\displaystyle (F/S)}$의 다른 Grotendieck 토폴로지를 사용하면 충분히 일반적이지 않거나 커버의 베이스에서 전체 공간으로 속성을 교환하는 것과 관련하여 잘 동작하지 않는 대수적 스택의 대체 이론을 제공한다$$.일반화의 다음과 같은 계층이 있다는 것을 상기하는 것이 유용하다.

${\displaystyle {\textqc}\ssipset {\text{fppf}\ssipset {\text{smooth}\text{etale}\ssipset {\text{Zariski}}}}}$

$({\displaystyle F/S}$) ${\displaystyle$$F/S)}$에 있는 큰 토폴로지의 .

구조물 덮개

대수적 스택의 구조 피복은 현장의${\displaystyle }$범용 구조물 피복 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ ${\mathcal{O}}$${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$에서 뒤로 당겨진 물체다$.$^[19]이 보편적 구조 피복은^[20] 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{O}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{{{}여기서 }U/X\mapsto \Gamma(U, {\mathcal}_{U})}$

그리고 그룹오이드로 피복된 범주의 관련 구조 피복

${\displaystyle p:{\mathcal {X}\to (Sch/S)_{fppf}}$

로 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathcal {X}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$

여기서 $p{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ p$^{-1}$는 Grotendieck 토폴로지 지도에서 나온다.특히 이 수단은 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$위에 놓여$$ 있는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ob}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle x\in {\text{Ob}({\mathcal{X})$이므로 $p{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= U ${\displaystyp(x)=$$U}$, then ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$. As a sanity check, it's worth comparing this to a category fibered in groupoids coming from an ${\displaystyle S}$-scheme ${\displaystyle X}$ for various topologies.^[21]예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle({\mathcal{X}_{Zar},{\mathcal{O}_{\mathcal{X}}}=(Sch/X)_{\mathcal {O}}}}}$

$({\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$/ S${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 위에 있는 groupoids로 구성된 범주$,$ 오픈 서브쉐임 $U{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ U$\to$ X$}$에 대한$$ 구조 피복.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathcal {X}(U)={\mathcal {O}_{X}(U)=\감마(U, {\mathcal {O}_{X})}}}$

그래서 이 정의는 어떤 계획에서 고전적인 구조를 회복한다.더욱이, 지수 $스택{\displaystyle \mathcal{}}$ X${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$ / G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle${\$mathcal{X}=[X/$G]}의 경우$,$ 이렇게 만든 구조물은 $단지{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$G} - invariant$$ 단면을 제공한다.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathcal {X}}=\Mathcal {X}=\Gamma(U,u^{*}{\mathcal {O}_{X}}^{G}}})}$

${\displaystyle u}$: ${\displaystyle U}$→ X ${\displaystyle u:$$U$$\backslash {\displaystyle \mathrm{to}}$ X${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle in}$ (${\displaystyle S}$$$c h / $S$) ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$^[22][23]

예

스택 분류

대수 그룹의 많은 분류 스택은 대수적 스택이다.사실 유한 표시의 평면인$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$에 대한$$ 대수 그룹 $공간{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 경우 스택 ${\displaystyle B}$ G ${\displaystyle BG}$은 대수학이다$$^{[2]theorem 6.1}.

참고 항목

• 게르베
• 스택의 차우 그룹
• 스택의 코호몰로지
• 지수 쌓기
• 대수학 스택에 있는 셰프
• 토릭 스택
• 아르틴의 기준
• 스택 추적
• 파생대수 기하학

참조

외부 링크

아르틴의 공리

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - "Axioms" 및 "Algebraic 스택"을 보십시오.
• Artin 대수화 및 지수 스택 - Jarod Alper

페이퍼스

• Alper, Jarod (2009). "A Guide to the Literature on Algebraic Stacks" (PDF). S2CID 51803452. Archived from the original (PDF) on 2020-02-13. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "The Hilbert stack". Advances in Mathematics. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016/j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
• Behrend, Kai A. (2003). "Derived ℓ-Adic Categories for Algebraic Stacks" (PDF). Memoirs of the American Mathematical Society. 163 (774): 1–93. doi:10.1090/memo/0774. ISBN 978-1-4704-0372-0.

적용들

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introduction to chtoucas for reductive groups and to the global Langlands parameterization". arXiv:1404.6416 [math.AG].
• Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Modular Functions of One Variable II. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 349. pp. 143–316. doi:10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "The projectivity of the moduli space of stable curves, II: The stacks ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10.7146/math.scand.a-12001.
• Jiang, Yunfeng (2019). "On the construction of moduli stack of projective Higgs bundles over surfaces". arXiv:1911.00250 [math.AG].

산술 오버플로 스레드

• 대수적 스택이 fpqc 강하를 만족하는가?
• fpqc 토폴로지의 스택
• 스택의 fpqc 커버

기타

• 스택의 예
• Grotendieck 위상, 섬유화된 범주 및 하강 이론에 대한 참고 사항
• 대수적 스택에 대한 참고 사항