일반 방식

Normal scheme

대수 기하학에서 대수적 다양성 또는 체계 X는 모든 점에서 정상이면 정상이며, 그 지점의 국소 고리통합적으로 닫힌 영역임을 의미한다.어핀 버라이어티 X(해결할 수 없는 것으로 이해됨)는 X정규 기능인 O(X)가 통합적으로 폐쇄된 도메인인 경우에만 정상이다.한 분야에 걸친 품종 X는 모든 품종 Y에서 X까지의 모든 유한생식 형태주의가 이형성일 경우에만 정상이다.

정상 품종은 자리스키(1939년, 섹션 III)가 도입했다.

정규성의 기하학적 해석과 대수학적 해석

모든 점의 역영상이 유한하고 형태론이 적절하다면 변종 형태론은 유한하다.품종의 형태주의는 밀집된 오픈 서브셋 사이의 이형성으로 제한한다면 분생이다.따라서 예를 들어, x2 = y3 정의한 아핀 평면2 A에 있는 정점입방곡선 X는 이형성이 아닌 유한생성 형태론1 A → X(명칭, t maps to (t3, t)가2 존재하기 때문에 정상적이지 않다.대조적으로, 아핀 선 A1 정상이다: 유한한 생식 형태론으로는 더 이상 단순화할 수 없다.

일반적인 복합 품종 X는 고전적 위상을 이용하여 층화된 공간으로 볼 때 모든 링크가 연결되는 특성을 가지고 있다.동등하게, 모든 복잡한 지점 xU에서 X의 단수 세트를 빼는 것과 같은 임의로 작은 이웃 U를 가지고 있다.예를 들어, x2 = y(y + 1)로2 정의되는 그림의 노달 입방곡선 X가 정규가 아니라는 것을 따른다.이것은 또한 정규성의 정의에서도 따르며, A에서1 X까지 유한한 혼성 형태주의가 존재하기 때문에 이형성이 아닌, A1 두 점을 X의 같은 지점으로 보낸다.

원곡선2 y = x2(x + 1)

일반적으로, 체계 X는 각각의 국소적인 벨이 울리면 정상이다.

Oxx

통합적으로 닫힌 도메인이다.즉, 이들 링 각각은 통합 영역 R이고, R-모듈로 S가 미세하게 생성되는 RS ⊆ Frac(R)가 있는 모든 링 SR과 같다(여기 Frac(R)는 R의 분수 필드를 나타낸다).X에 대한 모든 유한한 쌍생형 형태론이 이소모르프리즘이라는 기하학적 조건의 국소고리의 관점에서 이것은 직역한 것이다.

오래된 개념은 내장을 주는 선형 시스템이 완성되면 투영 공간의 하위 변수 X선형적으로 정상이라는 것이다.마찬가지로 X ⊆ Pn 내장 X ⊆ P의n+1 선형 투영법이 아니다(X가 하이퍼플레인 Pn 포함되어 있지 않는 한).이것은 합리적인 정규 곡선합리적인 정규 스크롤에서 "정상"의 의미를 나타낸다.

모든 규칙적인 계획은 정상이다.반대로 자리스키(1939년, 정리 11년)는 모든 정상 품종이 적어도 2개의 코디네이션의 부분집합 바깥에서 규칙적이며, 계략에 대해서도 유사한 결과가 사실이라는 것을 보여주었다.[1]그래서 예를 들어, 모든 정규 곡선은 규칙적이다.

정규화

축소된 체계 X는 고유한 정규화: 통합형 버라이어티즘 Y → X를 갖는 정규 체계 Y를 가지고 있다. (X의 경우, 분야에 걸친 다양성의 경우, 형태론 Y → X는 유한하여 "통합"보다 강하다.)[2]치수 1의 체계의 정상화는 규칙적이며, 치수 2의 체계의 정상화는 단지 고립된 특이점만을 가지고 있다.정규화는 일반적으로 더 높은 차원의 체계에 대한 특이점 해결에 사용되지 않는다.

정규화를 정의하려면 먼저 X되돌릴 수 없는 축소 체계 X라고 가정하십시오.X의 모든 부속서식 오픈 서브셋은 R통합된 도메인을 갖는 Spec R 형식을 가지고 있다.아핀 오픈 서브셋의 조합으로 X를 쓰세요 Spec Ai.Bi 분수 분야에서 Ai 일체형 폐쇄가 되게 하라.그런 다음 X의 정규화는 첨부 체계 Spec Bi 함께 붙임으로써 정의된다.

초기 계획이 되돌릴 수 없는 경우, 정규화는 되돌릴 수 없는 구성 요소의 정규화에 대한 공동 결합으로 정의된다.

중단의 정규화

아핀 곡선을 고려

원점에서 특이점을 발견했네정상화는 지도에 의해 주어질 수 있다.

대수도에서 유도한.

아핀 평면에서 축의 정규화

예를 들어,

두 가지 요소를 가지고 있기 때문에 수정할 수 없는 계획은 아니다.그 정상화는 계획 형태주의에 의해 주어진다.

두 개의 지도로부터 유도하여.

환원 가능 투영 품종 정상화

마찬가지로, UFD에서 동종 unreducable polyomials 1,… , k{\의 경우, 의 정규화

형태론에 의해 주어진다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 아이젠버드, D.정류 대수(1995)베를린 스프링거정리 11.5
  2. ^ 아이젠버드, D.정류 대수(1995)베를린 스프링거코롤라리 13.13

참조

  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, 페이지 91
  • Zariski, Oscar (1939), "Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.", Amer. J. Math., 61 (2): 249–294, doi:10.2307/2371499, JSTOR 2371499, MR 1507376