콜지브라

수학에서, 콜게브라 또는 코게브라는 단합성 알헤브라와 (화살을 반전시키는 범주의 이론적 의미에 있어서) 이중적인 구조다.단수적 연관성 알헤브라의 공리는 교감 도표의 관점에서 공식화될 수 있다.모든 화살을 돌리면, 석탄게브라 공리를 얻는다.모든 연골은, (벡터 공간) 이중성에 의해, 대수학을 낳지만, 일반적으로 다른 방법은 아니다.유한 치수에서 이 이중성은 양방향으로 간다(아래 참조).

콜지브라는 여러 맥락에서 자연적으로 발생한다(예를 들어, 표현 이론, 알헤브라를 포괄하는 보편적인 알헤브라와 집단 계획).

또한 컴퓨터 공학에 중요한 응용을 하는 F-석탄도 있다.

비공식 토론

자주 되풀이되는 콜브라의 한 예는 대표이론에서, 특히 회전집단의 대표이론에서 나타난다.물리학에 실용적으로 사용되는 일차적인 과제는 각운동량과 스핀의 상태가 다른 시스템의 조합을 얻는 것이다.이를 위해 클렙슈-고단 계수를 사용한다.각진 모멘텀a ${\displaystyle J_{}}$ ${\$ 각진 모멘텀을 가진$$ 두 시스템 $, B$가 주어진다.$A},$ $j$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ 특히 중요한 작업은 총 각도 운동량 $j{\displaystyle {}_{}}$ A +${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$를 찾는 것이다.$A}+j_{B}$ 결합된 상태 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \otimes }$ B ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle A\rangele \otimes B\rangele }}$을(를) 부여한 것으로$,$ 텐서 제품의 양쪽에서 필요한 양을 추출하는 Total angular motion operator에 의해 제공된다."외부" 텐서 상품으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j}}$

텐서 대수의 "내부" 텐서 곱과 대조적으로 "외부"라는 단어가 여기에 나타난다.텐서 대수학에는 텐서 제품(내부 제품)이 함께 제공되며, 위의 형식을 가진 두 번째 텐서 제품, "외부" 제품 또는 코프로덕트를 장착할 수도 있다.벡터와 스칼라의 내부 텐서 제품은 단순 스칼라 곱셈에 불과하다는 점을 상기시켜 서로 다른 두 제품임을 강조한다.외부 제품은 그들을 분리시켜 준다.이 설정에서 코프로덕트는 지도가 된다.

${\displaystyle \Delta :J\to J\othes J}$

그것은 필요하다.

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j}}$

이 예에서 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 회전 그룹의 스핀 표현 중 하나로 간주할 수 있으며$$, 기본적인 표현은 상식적인 선택이다.이 복식은 자유 객체에 적용되는 간단한 보조정리기로 모든 텐서 대수학으로 들어올릴 수 있다: 텐서 대수학은 자유 대수학이므로, 서브셋에 정의된 모든 동형성은 전체 대수학으로 확장될 수 있다.리프팅에 대해 자세히 살펴보면, 기본적으로 위의 두 요소인 왼쪽과 $오른쪽{\displaystyle \mathbf{}}$ j ${\$가) 다중 각도 모멘텀 a 제품(회전은 역교환이 아님) 동안 순차적으로 유지되어야$$ 하기 때문에 결합물이 셔플 제품으로 작용하는 것으로 관찰된다.

The peculiar form of having the ${\displaystyle \mathbf {j} }$ appear only once in the coproduct, rather than (for example) defining ${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$ is in order to maintain linearity: for this example, (and for representation theory in general), the coproduct mus일직선이다일반적인 규칙으로서 표현 이론의 결합은 축소될 수 있다; 그 요인은 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 주어진다. (리틀우드-리처드슨 규칙은 클렙슈-고단 계수와 같은 생각을 전달하지만, 보다 일반적인 환경에서는 전달한다.

아래의 공식적 정의는 이 특별한 사례와 그 필수 속성을 일반적인 환경으로 추상화한다.

형식 정의

형식적으로 필드 K 위에 있는 합금자는 K-선형 지도 Δ: C → C → C 및 ε: C → K와 함께 K 위에 있는 벡터 공간이다.

1. ${\displaystyle(\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circle \Delta =(\Delta \otimes \otimes \mathrmatrm {id} _{C}\circ \Delta }}$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(여기서 ⊗은 K 이상의 텐서 제품을 말하며 id는 ID 기능이다.)

동등하게, 다음의 두 도표는 통근한다.

첫 번째 도표에서 C ⊗ (C ⊗ C)은 (C ⊗ C) ⊗ C와 동일하며, 이 둘은 자연적으로 이형성이다.^[1]마찬가지로 두 번째 다이어그램에서 자연 이형 공간 C, C ⊗ K 및 K ⊗ C가 식별된다.^[2]

첫 번째 도표는 대수 곱셈의 연관성을 표현하는 도표 중 두 번째 도표이며, 두 번째 도표는 복수 정체성의 존재를 표현하는 도표 중 두 번째 도표다.따라서 지도 Δ는 C의 comultiplication(또는 coproduct)이라고 하며, ε은 C의 상담이다.

예

임의 세트 S를 취하여 다음과 같이 기본 S로 K-벡터 공간 C = K를^(S) 형성한다.이 벡터 공간 C의 원소는 S에서 K까지 모든 원소를 정밀하게 0으로 매핑하는 기능이다; s를 1에 매핑하는 함수와 S에서 0에 매핑하는 다른 모든 원소로 S의 원소를 식별한다.정의

Δ(s) = s ⊗ s 및 εs(s) = 모든 s에 대한 1

선형성에 의해 Δ와 ε 둘 다 C의 전체로 고유하게 확장될 수 있다.벡터 공간 C는 콤멀티제이션 Δ와 카운슬링 ε을 가진 콤비제라가 된다.

두 번째 예로는 다항 링 K[X]를 하나의 불확실한 X로 간주한다.만약 모든 n 0 0에 대해 다음과 같이 정의한다면, 이것은 공동 지브라(분할된 동력 지브라^[3][4])가 된다.

${\displaystyle \Delta(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}}X^{k}\otimes X^{n-k}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon(X^{n})={\begin{case}1&{\mbox{if{n=0\\\\mbox{if}}}}}$

다시 말하지만, 선형성 때문에, 이것은 모든 K[X]에서 Δ와 Δ를 고유하게 정의하기에 충분하다.이제 K[X]는 단수 연상 대수학이고 겸상하며, 두 구조는 양립할 수 있다.이와 같은 물체는 바이알게브라라고 불리며, 실제로 실제로 고려된 중요한 콜게브라들의 대부분은 바이알게브라다.

콜브라의 예로는 텐서 대수학, 외부 대수학, 홉프 알제브라스, 리 바이알게브라가 있다.위의 다항식 사례와 달리, 이 중 어느 것도 상쇄되지 않는다.따라서 위에서 부여한 분할된 동력 구조가 아니라, 조합물이 셔플 제품이 된다.셔플 제품은 비고정 알헤브라가 필요로 하는 것처럼 제품에 나타나는 용어의 순서를 보존하기 때문에 적합하다.

위상학적 공간의 특이한 호몰로지(homology)^[5]는 귄네스 이소모르프리즘이 유지될 때마다 등급이 매겨진 공동거울을 형성한다(예를 들어 계수를 한 필드로 보는 경우).

C가 기본이 {s, c}인 K-벡터 공간인 경우 Δ: C → C는 다음과 같이 주어진다.

Δs = s s c + c ⊗ s

Δ(c) = c ⊗ c − s ⊗ s

그리고 ε: C → K는 다음과 같이 주어진다.

ε = 0

ε(c) = 1

이 상황에서 (C, Δ, ε)는 삼각 공칭으로 알려진 공칭이다.^[6][7]

구간 J 집합이 있는 국소적으로 유한한 poset P의 경우, 발생 연골 C를 기준으로 정의하고, x < z에 대한 발생 연골(comultiplation)을 정의한다.

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{x<j}[x,y]\otimes [y,z]\}$

길이 0의 간격은 P의 점에 해당하며 그룹과 같은 원소다.^[8]

유한 치수

유한 치수에서는 알헤브라와 합게브라 사이의 이중성이 더 가깝다: 유한 차원(단일 연관성) 대수의 이중성은 합게브라인 반면, 유한 차원 결합성(단일 연관성) 대수의 이중성은 (단일 연관성) 대수인 것이다.일반적으로 대수학의 이중은 결합형이 아닐 수도 있다.

요점은 유한 치수에서 (A a A)^∗와^∗ A ⊗ A가^∗ 이형체라는 것이다.

이를 구별하기 위해: 일반적으로 대수학 및 공칭은 이중 개념(그 공리가 이중이라는 의미: 화살표를 반전시키는 의미)인 반면, 유한 차원에 대해서는 이중 개념(공칭은 대수학의 이중 개체라는 의미)이기도 하다.

A가 유한차원 결합 K-algebra라면, A에서 K까지의 모든 K-선형 지도로 구성된 K-dual^∗ A는 결합형 지도가 된다.A의 곱셈은 선형 지도 A ⊗ A → A로 볼 수 있는데, 이중화하면 선형 지도 A^∗ → (A ⊗ A)가 산출된다.^∗유한차원 사례에서 (A ⊗ A)^∗는 자연적으로 A^∗ ⊗ A와^∗ 이형성이므로, 이것은 A에^∗ 대한 배합성을 정의한다.A의^∗ 상담은 1에서 선형 함수를 평가하여 주어진다.

스웨들러 표기법

합금류와 함께 작업할 때, 배합을 위한 특정한 표기법은 공식을 상당히 단순화시키고 꽤 인기를 끌었다.합골의 원소 c(C, Δ, ε)를 주어 C에는 다음과 같은 원소 c와₍₁₎⁽ⁱ⁾ c가₍₂₎⁽ⁱ⁾ 존재한다.

${\displaystyle \Delta(c)=\sum _{i}c_{(1)^{{(1)}^{}\otimes c_{(2)^{{i)}}}}}}}}}}$

스위들러의 ^[9]표기법(모스 스위들러의 이름)에서는 이것을 약칭으로 한다.

${\displaystyle \Delta(c)=\sum _{(c)c_{(1)}\otimes c_{(2)}}}$

ε이 상담자라는 사실은 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)}}c_{(2)}=\sum _{(c)c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)})\;}$

Δ의 조합성은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

스위들러의 표기법에는 이 두 가지 표현이 모두 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle \sum \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}}}}$

일부 저자들은 합계 기호를 생략하기도 한다; 이 합이 없는 스위들러 표기법에서는 한 사람이 쓴다.

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)\time c_{(2)}}}$

그리고

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)=c_{(1)\varepsilon(c_{(2)})\;}$

이러한 종류의 표현에서 낮은 지수와 괄호화된 지수를 가진 변수가 발견될 때마다 해당 변수에 대한 합계 기호가 암시된다.

추가 개념 및 사실

A coalgebra (C, Δ, ε) is called co-commutative if ${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$, where σ: C ⊗ C → C ⊗ C is the K-linear map defined by σ(c ⊗ d) = d ⊗ c for all c, d in C.스위들러의 무합계 표기법에서 C는 만약의 경우에 한해서만 공동 표기된다.

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}}$

C의 모든 C에 대해 (여기서는 함축된 합계가 유의하다는 것을 이해하는 것이 중요하다. 모든 합계가 쌍으로 같을 필요는 없으며, 합계가 같을 뿐, 훨씬 약한 요구사항이 필요하다.)

그룹과 같은 요소(또는 세트와 같은 요소)는 Δ(x) = x ⊗ x 및 ε(x) = 1. 그룹과 같은 요소가 항상 그룹을 형성하지 않으며 일반적으로 집합만 형성한다는 것을 나타내는 요소 x이다.홉프 대수학의 그룹 같은 요소들은 그룹을 형성한다.원시 원소는 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x를 만족하는 원소 x이다.홉프 대수학의 원소들은 리 대수학을 형성한다.^[10][11]

만약(C1, Δ1, ε1)과(C2, Δ2, ε2)은 같은 분야 K2coalgebras, C1C2에 이른 다음coalgebra 사상은K-linear 지도 f:C1→ 지휘 통제가(f⊗ f)∘ Δ 1)Δ 2∘ f{\displaystyle(f\otimes다면)\circ \Delta_{1}=\Delta _{2}\circ f}과ϵ 2∘ f)ϵ 1{\displaystyle \epsilon_{2}\circ f=\epsilon _{1}}..Sweedler의ss 무염 표기법, 이러한 속성 중 첫 번째는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(c_{(1)}}\otimes f(c_{(2)}=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}}}$

두 개의 결합형 형태론의 구성은 다시 결합형 형태론이며, K 위에 있는 결합형 형태론 개념과 함께 하나의 범주를 형성한다.

C에서 선형 아공간 I는 I ⊆ ker(ε)와 Δ(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I. 그 경우 지분의 공간 C/I는 자연적 방식으로 합금자가 된다.

C의 아공간 D는 Δ(D) ⊆ D ⊗ D이면 아연석석석석이라고 불리는데, 이 경우 D는 그 자체로서 ε to D의 협의로 제한을 받는다.

모든 연골 형태론의 낟알 : C₁ → C는₂ C의₁ 공동체로, 이미지는 C의₂ 아석탄이다.일반적인 이형성 이론은 합금형에 유효하므로, 예를 들어₁ C/ker(f)는 im(f)에 이형성이다.

만약 A가 유한차원 결합 K-알지브라라면, A는^∗ 유한차원 결합형 K-알지브라인데, 실제로 모든 유한차원 합지브라 는 어떤 유한차원 대수학(명칭 합지브라 K-dual로부터)에서 이런 식으로 생겨난다.이 대응에서, 상호 작용하는 유한차원 알헤브라는 코코메트 유한차원 콜게브라에 대응한다.그래서 유한차원의 경우, 알헤브라와 합게브라의 이론은 이중적이다; 하나를 공부하는 것은 다른 하나를 공부하는 것과 같다.그러나 무한대의 경우 관계가 분화된다: 모든 합골의 K-dual은 대수인 반면, 무한대의 K-dual은 합골일 필요는 없다.

모든 연골은 한정된 차원 아석탄불의 합으로 알제브라에게는 사실이 아니다.추상적으로 볼 때, 콜지브라는 유한차원 단이탈적 연관성 알헤브라의 일반화 또는 이중화다.

알헤브라의 표현 개념에 대응되는 것은 핵심 표현 또는 결합이다.

참고 항목

• 코프리스탄지브라
• 탄지브라 측정
• 다이얼게브라

참조

추가 읽기

• Block, Richard E.; Leroux, Pierre (1985), "Generalized dual coalgebras of algebras, with applications to cofree coalgebras", Journal of Pure and Applied Algebra, 36 (1): 15–21, doi:10.1016/0022-4049(85)90060-X, ISSN 0022-4049, MR 0782637, Zbl 0556.16005
• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl 0962.16026.
• Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras and comodules over a commutative ring", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées, 43: 591–603
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Cofree coalgebras and multivariable recursiveness", Journal of Pure and Applied Algebra, 183 (1): 61–103, doi:10.1016/S0022-4049(03)00013-6, ISSN 0022-4049, MR 1992043, Zbl 1048.16022
• Montgomery, Susan (1993), Hopf algebras and their actions on rings, Regional Conference Series in Mathematics, vol. 82, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0738-2, Zbl 0793.16029
• Underwood, Robert G. (2011), An introduction to Hopf algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234.16022
• Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, Translations of mathematical monographs, vol. 108, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4564-0, Zbl 0754.15028
• 제3장 제11절

외부 링크

• 윌리엄 친: 유대교 표현 이론에 대한 간략한 소개